Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Dynamique, article 2
QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des deux problèmes de dynamique, et réflexions
sur le problème de situation proposés à la page 380
du VIII.e volume des Annales ;
de l’académie royale des sciences.
Il est dans votre recueil un assez grand nombre de questions proposées qui sont demeurées jusqu’ici sans solution ; soit que vos lecteurs, trop superficiellement peut-être, les aient jugées de peu d’intérêt, soit qu’ils les aient trouvées trop difficiles, comme il arrive en effet pour quelques-uns, soit encore qu’ils n’en aient obtenu que des solutions trop compliquées et trop peu élégantes pour mériter d’être mises au jour. Il n’en est pas en effet de celui qui publie un recueil de problèmes de son choix comme de celui qui traite des problèmes qui lui sont indiqués. Le premier peut, en effet, s’essayer sur un très-grand nombre, et faire ensuite parade de sa sagacité, en ne mettant en lumière que ceux d’entre eux de la solution desquels il a lieu d’être pleinement satisfait, tandis que l’autre, dont la tâche est tracée, se trouve dans une position beaucoup moins favorable.
En examinant, en particulier, les trois questions proposées à la fin de votre VIII.e volume, et qui sont du nombre de celles qui sont demeurées sans solution, il m’a paru que les deux premières pouvaient facilement être ramenées à d’autres sur la solution desquelles les traités élémentaires de mécanique ne laissent plus aujourd’hui rien à désirer ; et quant à la troisième, elle ne semble abordable que dans un seul cas où elle est extrêmement facile. Je consigne ici mes réflexions sur ces trois questions, sans aucune prétention, et telles exactement qu’elles se sont offertes à mon esprit.
Je vais d’abord ramener le premier des deux problèmes de dynamique à un énoncé un peu plus général qui, sans le compliquer davantage ; le rendra d’un aspect plus élégant, et en fera dépendre la solution de calculs tout-à-fait symétriques.
PROBLÈME I. Un point, sollicité par une force accélératrice, constante ou variable, tant d’intensité que de direction, est assujetti à se mouvoir librement sur une droite indéfinie ; cette droite elle-même est assujettie à se mouvoir sur deux courbes fixes, de manière à avoir constamment les deux mêmes points de sa direction sur ces courbes ; on demande, d’après ces conditions, d’assigner les circonstances du mouvement du point dont il s’agit.
Solution. Soit l’intervalle entre les points de la droite mobile qui doivent se trouver constamment sur les deux courbes fixes. Si l’on conçoit que de l’un quelconque des points de la première de ces deux courbes pris pour centre, et avec le rayon , on décrive une sphère, cette sphère coupera généralement la seconde courbe, en deux points au moins dont les rayons indiqueront les directions que pourra prendre la droite mobile, lorsqu’elle passera par le point ainsi choisi sur la première courbe ; et, comme il en ira de même pour tous les autres points pris sur cette courbe, il s’ensuit que toutes les situations que pourra prendre dans l’espace la droite que le point mobile est assujetti à parcourir appartiendront à une certaine surface gauche, ayant deux nappes au moins qui se couperont suivant cette courbe ; et, comme on peut prendre la seconde courbe pour la première et vice versâ, on peut dire que toutes les situations possibles de la droite que le mobile est assujetti à parcourir sont comprises dans une surface gauche à deux nappes au moins se coupant suivant les deux courbes fixes. Il est évident en outre que toute droite tracée sur l’une ou l’autre nappes peut être réputée une des positions de la droite mobile ; et puisque le point mobile peut avoir une situation quelconque sur cette droite, il s’ensuit que ce point peut, d’après les conditions du mouvement, occuper une place quelconque sur l’une ou l’autre nappes, et ne saurait se trouver hors d’elles.
Tout l’effet de l’appareil qui maîtrise le mouvement du point que nous considérons se réduit donc à le contraindre à ne pas abandonner une surface courbe tout-à-fait déterminée, sur laquelle d’ailleurs il peut se mouvoir librement, de telle sorte que cette surface courbe peut être substituée à l’appareil dont il s’agit, sans que les circonstances du mouvement en éprouvent la moindre altération. Le problème se trouve donc ainsi ramené à celui du mouvement d’un point sur une surface déterminée ; problème dont la solution est familière à tous ceux qui ont cultivé la mécanique rationnelle.
Quant à la recherche de l’équation de la surface gauche sur laquelle le mobile est assujetti à se mouvoir, elle ne présente que des difficultés ordinaires de calcul. En désignant en effet par un quelconque des points de la droite mobile, par les points communs à cette droite et aux deux courbes fixes sur lesquelles elle repose, on aura d’abord
On pourra ensuite supposer que les équations données des deux courbes fixes sont
étant des fonctions données de et des fonctions également données de Éliminant donc les six quantités entre ces sept équations, l’équation résultante en sera celle de la surface demandée.
Si les courbes fixes données étaient deux courbes planes situées dans un même plan, ce plan serait évidemment la surface sur laquelle le point mobile serait assujetti à se mouvoir ; et les lois de son mouvement se trouveraient indépendantes de la nature de ces deux courbes. Si, dans ce cas particulier, la force accélératrice était constante d’intensité et de direction, on se trouverait ramené à la théorie ordinaire du mouvement des graves sur les plans inclinés.
Et si, en outre, cette force accélératrice constante était située dans le plan même que le point mobile est assujetti à parcourir, le problème reviendrait à celui de la chute libre des corps pesans dans l’espace.