QUESTIONS RÉSOLUES.
Solutions du premier des deux problèmes de géométrie
énoncés à la page 360 du XIII.e volume des Annales ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
PROBLÈME. Déterminer la surface convexe et le volume de l’onglet conique détaché d’un cône droit, du côté de sa base, par un plan passant par le centre de cette base ?
Première solution ;
Par
M. Stein, ancien élève de l’école polytechnique,
professeur de mathématiques au gymnase de Trèves.
Soient
(fig. 10) le sommet du cône,
le centre de sa base,
le diamètre suivant lequel le plan coupant rencontre cette base,
un diamètre perpendiculaire à celui-là, et
la droite suivant laquelle le plan du triangle
rencontre le plan coupant ; le triangle
divisera en deux parties parfaitement symétriques tant la surface que le volume demandés ; de
sorte qu’il nous suffira d’obtenir la surface et le volume de l’une des parties et de les doubler, pour résoudre la question proposée.
Les données du problème sont, la hauteur du cône que nous désignerons par
son angle générateur que nous représenterons par
et enfin l’angle
que fait le plan coupant avec l’axe ; angle que nous appellerons
En conséquence le rayon de la base du cône sera
Soit décomposée la surface cherchée en élémens infiniment petits, par des droites partant du sommet du cône ; soient
les points où deux droites consécutives rencontrent la circonférence de sa base et
ceux où les deux mêmes droites rencontrent le contour
de la section ; le quadrilatère
sera la différentielle de la surface
de sorte qu’il ne s’agira que d’en intégrer l’expression depuis
jusqu’à
pour obtenir la moitié de la surface cherchée. En outre, si sur
on abaisse la perpendiculaire
le produit de la surface
par le tiers de cette perpendiculaire sera l’élément différentiel du volume de la pyramide conique ayant pour base le triangle
et son sommet en
de sorte qu’en intégrant encore l’expression de cet élément, entre
et ![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {DCN} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffdc1edf930e038b0172866dcdaaa737ad43644)
on aura la moitié du volume du corps cherché.
Soient
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {DCN} =x,\quad \operatorname {Ang} .\mathrm {MCN} =y,\quad \mathrm {MN} =z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b275ecd3664a7876a768269398432275afab3bab)
l’angle trièdre dont les arêtes sont
rectangle suivant la dernière, donnera, par les principes connus,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .y=\operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e36f4735754bc0bab382a587fe3b9e0daeb00b)
mais le triangle rectiligne
donne
![{\displaystyle z=k.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .(\alpha -y)}}=k.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .y}{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Tang} .y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b44fa46130bf06c26d263fefaab0ad298d2ca8)
on aura donc, en substituant pour
sa valeur
![{\displaystyle z=k.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}}={\frac {k}{\operatorname {Cos} .\beta }}.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}{1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3841660d0b9e545faba55f86eb172980ce6d542e)
posant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {k}{\operatorname {Cos} .\beta }}=a,\qquad \operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfed443611528de215f4089a5bc1d7343e55080)
nous aurons
![{\displaystyle z=a{\frac {\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9687f531193c57ce53999fdc4c0ca70f971cc0e)
Si, par le point
nous concevons un plan perpendiculaire à l’axe, ce plan déterminera une section circulaire dont l’arc intercepté entre
et
sera
semblable à
et dans l’évaluation de la surface
nous pourrons faire abstraction du triangle
infiniment petit par rapport à elle ; cette surface deviendra ainsi un trapèze ; et, en représentant par
la surface
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {d} S=\mathrm {MN.{\frac {NN'+MH}{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a2279e0668047146f69a61c02ca60e025e73e6)
or, nous avons
![{\displaystyle \mathrm {MH=NN'.{\frac {SM}{SN}}=NN'.{\frac {SN-MN}{SN}}=NN'.\left(1-{\frac {MN}{SN}}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131628087834e50f494103b7fa8e05cfb13f6642)
donc
![{\displaystyle \mathrm {NN'+MH=NN'\left(2-{\frac {MN}{SN}}\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eae02d13e2799b4bd3a46f0f16ee9a646ecb3e1)
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {d} S=\mathrm {MN.NN'\left(1-{\frac {MN}{2SN}}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249e8534f2028e27dceb02bf9f5f7184d68deabf)
or, nous avons
![{\displaystyle \mathrm {MN} =z,\quad \mathrm {SN} ={\frac {k}{\operatorname {Cos} .\alpha }}=a,\quad \mathrm {NN'} =k\operatorname {d} x\operatorname {Tang} .\alpha =a\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e7e75cf8ddcf19fd0cfae1ae3097d9041a7f46)
donc
![{\displaystyle \operatorname {d} S=az\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .\alpha \left(1-{\frac {z}{2a}}\right)={\frac {z\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}\left[a+(a-z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab6a25c00e3aecb64cb064b5aa1d42a82e637a8)
en mettant donc ici pour
sa valeur en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} S={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}\left\{{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+{\frac {n\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09192802f0aa3814f71321f51bd7fab52f3800e)
(I)
Le triangle rectangle
donne
![{\displaystyle \mathrm {CP={\frac {SC.CN}{SN}}} =k\operatorname {Sin} .\alpha =a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c43cc9bbdd0dfa69f178baa1af2f89e01848334)
mais, en représentant par
le volume de la pyramide qui a la surface
pour base et son sommet en
on a
![{\displaystyle \operatorname {d} V={\frac {1}{3}}CP.\operatorname {d} S\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c016e1e8c7ff128b0eea447fdd6f4eecd4f45c93)
donc, en substituant, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{6}}\left\{{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+{\frac {n\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe242e06c3daf06c8e7a0efe2ca8c53ee4c4d9d)
(II)
tout se réduit donc à intégrer les deux formules,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecac13b7171005490c453eaef1ee102b572ecad)
Or, il suffit pour cela de savoir intégrer la première ; car en différentiant sous le signe, par rapport à
l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d3fbdb1be10c9414e738b2e531c3bf6794d79c)
il vient
![{\displaystyle -\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a63a06e23653a22fd5c109e95268384486d81f3)
d’où l’on voit qu’en posant
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}=\operatorname {f} (n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af12b014e1bd11c1c2c4e8672c5fb15a3b095a0)
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=-{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a837313209637dd8b63a47fdf4a812f9a83027d4)
et par suite
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+n\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=\operatorname {f} (n)-n.{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203735fff955816dbc5046be3857246bbe4a2411)
[1]
valeur qu’il ne s’agira plus que de substituer dans les formules (I) et (II).
Pour intégrer donc la formule
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedbd5617a9b269f4f37f6d22951247e67512b31)
nous poserons d’abord
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72049e1fa0f65e569cb84a6b4b732132e7cfe79)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x=\operatorname {d} y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a26d5b994c61ef8f6a60afa417592d8dbfeb4d9)
et
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b941b5d569f63c69100b72e6a6980aea749cabba)
elle deviendra ainsi
![{\displaystyle {\frac {y\operatorname {d} y}{(y+n){\sqrt {1-y^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b966de81f2a613f10289605ad7b0fa612a2bca2f)
qu’il faudra intégrer entre
et ![{\displaystyle y=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef7c33df0c4a9c6b609f8a1f2502d74e003f5f)
Nous poserons ensuite
![{\displaystyle {\sqrt {1-y^{2}}}=t(1-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d125177051e45a93fe456fc133b59a55da0e38)
d’où
![{\displaystyle y={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \operatorname {d} y={\frac {4t\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}},\quad {\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfc1b382c976412dbc6aca798cd432b3f5e3b4d)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle {\frac {2\left(t^{2}-1\right)\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)\left[(n+1)t^{2}+(n-1)\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb85975345788101ad6dfe28f1a0eecce0a6b535)
différentielle qui se rapporte aux fractions rationnelles, et dont il faudra prendre l’intégrale entre
et ![{\displaystyle t=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdde85f4a3d1cc3b5e8baaee84ded3cd5cf9fcdd)
Mais pour poursuivre l’intégration sans tomber dans les imaginaires ou dans l’indétermination, il est nécessaire de distinguer les trois cas de
on obtiendra alors les intégrales définies que voici :
Pour
![{\displaystyle n>1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-{\frac {n}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9acc8c4c361310faa05852b5a2d10927a6b4a22)
Pour
![{\displaystyle n<1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}+{\frac {n}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4200dbfd45906d9e30407331543a4f3ee553afd)
Pour
![{\displaystyle n=1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b5829e9b0cc2584f9d4d8a05ca97124fd8b209)
En achevant le calcul, comme il a été dit ci-dessus, et ayant toujours égard aux limites des intégrales, on trouvera finalement, en doublant le résultat,
Pour
(Section elliptique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}+{\frac {n}{n^{2}-1}}\left[1-{\frac {n^{2}}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right)\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50b2f2888b8ee2210e3a347cb74464753d18b29)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}+{\frac {n}{n^{2}-1}}\left[1-{\frac {n^{2}}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right)\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef23d7f6a42cedcf50f12c9f5b17dea9540597e8)
Pour
(Section hyperbolique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {n}{1-n^{2}}}\left[1+{\frac {n^{2}}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc96751f9ec267febca9471c34a7332b243c63ce)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {n}{1-n^{2}}}\left[1+{\frac {n^{2}}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5427fce0b3ebe7072e673d70f95ce355b0be9168)
Enfin, pour
(Section parabolique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a054f469263af6970ab6a30a0a25f899059020e7)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212c4aa6c6e0b219f9ac96c56107a2cbe7d6e693)
À la vérité, les deux dernières formules ne sauraient, à cause de la disparition de
s’obtenir par le procédé général que nous avons indiqué ; mais lorsque
l’intégration est de première facilité.
Si l’on remarque que
est l’arête ou côté du cône, et que conséquemment on a pour sa demi-surface convexe et son demi-volume
et
on verra que la partie de ces intégrales indépendante de
exprime
et le volume compris entre cette surface et les deux plans
et
Les quatre premières formules se simplifient assez et deviennent plus commodes pour le calcul par logarithme, en y introduisant un angle auxiliaire ; soit posé,
Pour les deux premières
Et pour les deux autres
elles deviendront alors, savoir, les deux premières,
![{\displaystyle 3V=aS\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta -\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Cos} .\theta }{\operatorname {Sin} .^{3}\theta }}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f656669475a22ebe755a250559d5e1ad5bf49526)
et les deux autres
![{\displaystyle 3V=aS\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d9d4a1c0c1792ee033a82888e17505ea727eb6)
![{\displaystyle =a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\operatorname {Tang} .\theta }{\operatorname {Cos} .\theta }}-\operatorname {Tang} .^{3}\theta \operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .{\frac {\theta }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7228a36951386efe79333dafd4091513987ebe8f)
Il est presque inutile de dire que dans les premières, l’arc
devra être réduit en parties du rayon.