Ceci n’est encore qu’une induction, et c’est sans doute déjà beaucoup ; mais on peut prouver aisément que telle est en effet la loi de la série. Posons en effet
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+Fx^{11}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b873760583bbff80a2f310ef3aa5c68d9071bd)
(1)
où l’on voit déjà que
doit être égal à l’unité ; en différentiant deux fois consécutivement, il viendra
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+11Fx^{10}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b361297c3bd1dff48dde67c8e710c2eb7a1715)
(2)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Tang} .x}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8235af63c97278d2ef3f4ffb73e16631769b1e1b)
(3)
Comparant ensuite le produit des équations (1) et (2) à l’équation (3), on aura
![{\displaystyle \left(A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+\ldots \right)\left(Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02939a6b6eb0b0f000629330cbb59cb66f65e211)
![{\displaystyle =1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c173e67046374aea3d038afeac339de5f645cb)
ou, en développant le premier membre et ordonnant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+AB&\\+3AB&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{3}+AC&\\+3B^{2}&\\+5AC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+AD&\\+3BC&\\+5BC&\\+7AD&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{7}+AE&\\+3BD&\\+5C^{2}&\\+7BD&\\+9AE&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{9}+AF&\\+3BE&\\+5CD&\\+7CD&\\+9BE&\\11AF&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe46c8b57cf5fe2b1249c2e93f6a45e65bb1819)
![{\displaystyle =1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c173e67046374aea3d038afeac339de5f645cb)
La loi de ces résultats est manifeste : on peut les prolonger en toute sécurité aussi loin qu’on le voudra, et on voit qu’ils donneront, en réduisant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+4ABx^{3}+6AC&\\+3B^{2}&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+8AD&\\+8BC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{array}{rr|}x^{7}+10AE&\\+10BD&\\+5C^{2}&\end{array}}{\begin{array}{rr|}x^{9}+12AF&\\+12BE&\\+12CD&\end{array}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f619a77e35c7d92c13f90ebe9a72e2971cd5de8)
![{\displaystyle =1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c173e67046374aea3d038afeac339de5f645cb)
En exprimant donc que cette dernière équation a lieu quel que soit
et réduisant, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&3B=A^{2},\\\\&5Cx=2AB,\\\\&7Dx=2AC+B^{2},\\\\&9E=2(AD+BC),\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67228072247566e72f006c1fe75f753cbd8f5e79)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&11F=2(AE+BD)+C^{2},\\\\&13G=2(AF+BE+CD),\\\\&15H=2(AG+BF+CE)+D^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07db2c070eaa96fb132312dd016ae108222237f5)
et ainsi de suite, ce qui démontre la loi annoncée.
Ces résultats, auxquels il serait aisé de parvenir, sans rien emprunter du calcul différentiel, peuvent servir de supplément à ce qui a déjà été publié dans ce recueil (tom. III, pag. 344).
J. D. G.