Solution partielle du problème de géométrie énoncé
à la page 288 du XIIe volume du présent recueil ;
MM. A. L. Boyer et
Ch. Sturm.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
PROBLÈME. Déterminer, en fonction des quatre côtés d’un quadrilatère rectiligne inscrit au cercle, 1.o l’angle de deux côtés opposés ; 2.o l’angle des deux diagonales ?
Solution. Soient, comme dans le mémoire de la page 269 du XIIe volume,
les quatre côtés consécutifs du quadrilatère, et
les deux diagonales ; la première se terminant aux sommets
et la seconde aux sommets
on aura, comme alors,
![{\displaystyle x^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}},\qquad y^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ad+bc}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120d090a59fa73d060d4c415b7b2a7e930c4165f)
en outre, en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b+c+d-a=A,\\&c+d+a-b=B,\\&d+a+b-c=C,\\&a+b+c-d=D,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5471778ff1e525edd2db5e37a9edf1615c9082)
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(a,d)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ad+bc)}},\qquad \operatorname {Sin} .(a,b)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ab+cd)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224dd69451676442d88e1111cd6ddbeb812c39b1)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(a,d)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},\qquad \operatorname {Cos} .(a,b)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a7f49b261ccd38be41ad5cc65e0e5aed08e478)
Mais les prolongemens des côtés opposés
et
forment avec le côté
un triangle dans lequel l’angle opposé à ce côté
est précisément l’angle cherché
de deux côtés opposés ; en supposant donc, pour fixer les idées,
nous aurons
![{\displaystyle (b,d)=\varpi -\left[(a,d)+(a,b)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3ad2f5507389afbb4205431047aaf91cb7b293)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)=\operatorname {Sin} .\left[(a,d)+(a,b)\right]=\operatorname {Sin} .(a,d)\operatorname {Cos} .(a,b)+\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcd98f5e1c33a9a908fe511d4341c7ec198983f)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left[\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)+\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\right]{\sqrt {ABCD}}}{4(ad+bc)(ab+cd)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983c88ac6b47d31f9cc1f6bbc3ce374a47dafd90)
ou, en réduisant
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left(a^{2}-c^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07776d01da1ec2eea4339f1df65c236f1aab101)
tel est le sinus de l’angle des deux côtés opposés
et
on trouverait de même
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(a,c)={\frac {\left(b^{2}-d^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b311037a712321741f97b5b62e847b9db0a114)
Si l’on cherche les cosinus des mêmes angles, on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(b,d)=\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Sin} .(a,d)-\operatorname {Cos} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32e1a13cef7a0be51e99f75334d451b15edd397)
ou, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {ABCD-\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{4(ab+cd)(ad+bc)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1cf9db870197731a99fdb75eceb32108b20cc5)
ou, en développant et réduisant
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {(ab+cd)^{2}+(ad+bc)^{2}-\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa52a7c958ebd947e84d4fe08dd951c12bb5d57)
et on trouvera de même
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(a,c)={\frac {(ab+cd)^{2}+(ad+bc)^{2}-\left(b^{2}-d^{2}\right)^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbe4afa5ee24e45b545acefc87e3b620566e60c)
De là on déduit
![{\displaystyle 2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}(b,d)=1-\operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}-\left[(ab+cd)-(ad+bc)\right]^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475a94950f9e5ff8ae44c8de95d88e7ef62b6680)
ou, en décomposant, divisant par
et extrayant la racine quarrée
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a-c}{2}}{\sqrt {\frac {BD}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8e3a4a6f01d7802c48778f63f90f315f157959)
et on aurait de même
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b-d}{2}}{\sqrt {\frac {AC}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8dfdc38d698de02b8354f53b14729164016fee)
et, comme on a
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {\operatorname {Sin} .(b,d)}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b,d)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {\operatorname {Sin} .(a,c)}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a,c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b5557f0808618de8a37a3d1243357bb173b964)
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a+c}{2}}{\sqrt {\frac {AC}{(ab+cd)(ad+bc)}}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b+d}{2}}{\sqrt {\frac {BD}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c4fa484bf3e4a1d76bab156cf09463d1ea4bb0)
et de là encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a-c}{a+c}}{\sqrt {\frac {BD}{AC}}}\,;\\\\&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b-d}{b+d}}{\sqrt {\frac {AC}{BD}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83301d2e7d67f39b6f1c712cb7e7f8e425e670eb)
formules très-commodes pour le calcul par logarithmes.
Passons à la recherche de l’angle des diagonales ; pour cela remarquons que ces diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles dont la somme des aires sera, en appelant
et
les deux segmens de
et
et
les deux segmens de
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x'y'+x'y''+x''y'+x''y'')\operatorname {Sin} .(x,y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347ba0e3ba0121a917d0bfc5730324bd5165210e)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x'+x'')(y'+y'')\operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {1}{2}}xy\operatorname {Sin} .(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addd2fb0e1384649491f0b519e6cc9afc6a1423b)
mais il a été prouvé, dans le mémoire cité que l’aire de ce quadrilatère a aussi pour expression
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {ABCD}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b062ecb41faa95ecbf5616783dd22d460a8b31)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2xy}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99815909e82fbc80ea1cec4fdf325b1441c7f294)
mais on a
![{\displaystyle xy=ac+bd\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048381fcb229566a5f97d69abe5087a9de8b9a7c)
donc finalement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ac+bd)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2299a2f60ea86eff2bcaa78f01a4b40737c99fb5)
De là on conclura facilement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(x,y)={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2(ac+bd)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dca3fcf18e3ce62859055db7682bdde451280e)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}(x,y)&=1-\operatorname {Cos} .(x,y)&={\frac {AC}{2(ac+bd)}},\\\\2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(x,y)&=1+\operatorname {Cos} .(x,y)&={\frac {BD}{2(ac+bd)}}\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54315a8d5d97f46bd6f8f81adf16b8bb7eea4426)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x,y)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {AC}{ac+bd}}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x,y)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {BD}{ac+bd}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8115a4ede46b5cf5a5579603f6393e76ca93e347)
et, par suite
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(x,y)={\sqrt {\frac {AC}{BD}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f0ebe88f9cf7efff1779abfaab54267bcc3134)
formule très-commode pour le calcul par logarithmes.[1]