ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Recherche du nombre des termes d’un polynome complet,
d’un degré quelconque, composé d’un nombre de lettres aussi quelconque ;
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J’ai donné, à la page 115 du IVe volume de ce recueil, d’après M. G. Fornier, un procédé fort simple, pour parvenir à la formule générale qui donne le nombre des termes d’un polynome complet d’un degré quelconque, composé d’un nombre de lettres aussi quelconque. En revenant de nouveau sur ce sujet, je me suis aperçu que la recherche dont il s’agit pouvait être présentée sous une forme plus régulière, et par conséquent plus simple, et c’est à la reproduire sous cette nouvelle forme que je destine l’article que l’on va lire.
Soit un polynome complet du me degré composé des lettres au nombre de En supposant tous les coefficiens positif et égaux à l’unité, il devra d’abord renfermer le terme Soient ensuite l’ensemble de ses termes d’une seule dimension, l’ensemble de ses termes de deux dimensions, et ainsi de suite, l’ensemble de ses termes de dimensions, l’ensemble de ses termes de dimensions, et enfin l’ensemble de ses termes de dimensions, ce polynome sera
(1)
dont il s’agit d’assigner le nombre des termes.
Ce nombre étant évidemment déterminé, dès que et sont connus, ne saurait être qu’une fonction de ces deux nombres ; fonction encore inconnue, que nous pouvons désigner par Tout se réduit donc à assigner la forme de la fonction désignée par
Soient multipliés
L’ensemble des termes par ou n,
L’ensemble des termes par
L’ensemble des termes par
L’ensemble des termes par
L’ensemble des termes par
Et enfin le terme par
et soit prise, sans faire de réductions, la somme des différens produits, que nous désignerons par
Comme chacun des termes du polynome (1) aura été multiplié par un polynome de termes, il s’ensuit que aura fois autant de termes que (1), et qu’ainsi le nombre des termes de avant toutes réductions, sera exprimé par
De plus, dans chaque multiplication, le multiplicande et le multiplicateur étant homogènes, et la somme de leurs dimensions étant constamment égale à sera aussi le nombre des dimensions des différens produits, et par suite de leur somme qui sera ainsi un polynome homogène de dimensions, formé avec les lettres
Or il est aisé de voir que, non seulement le polynome renfermera tous les termes de dimensions que l’on peut former avec les lettres mais que de plus chacun de ces termes s’y trouvera répété fois ; car soit un de ces termes
avec la condition on l’aura obtenu en multipliant, savoir
on l’aura donc obtenu un nombre de fois exprimé par
comme nous l’avions annoncé.
Ainsi la somme sera, après les réductions faites, un polynome homogène complet de dimensions, formé avec les lettres et dont tous les termes seront affectés du coefficient de sorte qu’on aura
étant un pareil polynome dans lequel tous les coefficiens sont égaux à l’unité. D’où l’on voit qu’avant les réductions devait avoir fois autant de termes que
Présentement si, dans on fait une des lettres par exemple égale à l’unité, le nombre de ses termes n’en sera pas changé ; mais il deviendra alors évidemment un polynome complet du me degré, formé des lettres dont le nombre des termes devra être exprimé par dont tel était aussi le nombre des termes de avant d’avoir fait d’où il suit qu’avant toutes réductions le nombre des termes de devait être
puis donc que nous venons de trouver, tout à l’heure, que le nombre de ces termes devait être
il s’ensuit qu’on doit avoir
(2)
Si l’on considère présentement que cette dernière équation doit avoir lieu quel que soit le nombre entier en observant d’après la nature de la fonction on doit avoir on pourra écrire cette suite d’équations
en les multipliant donc membre à membre, supprimant les facteurs communs dans l’équation résultante et résolvant enfin cette équation par rapport à on aura
(3)
telle est la formule générale cherchée.
On conclut évidemment de là
(4)
on peut donc choisir, entre ces deux formules, celle qui se compose d’un moindre nombre de facteurs. Il résulte, aussi de leur équivalence qu’il y a autant de termes dans un polynome complet du nme degré formé avec m lettres qu’il y en a dans un polynôme complet du mme degré formé avec n lettres. C’est ainsi, par exemple, que l’équation complète du 3.e degré à deux variables et l’équation complète du 2.e degré à trois variables ont également dix termes.
Si dans le polynome (1) on suppose le nombre de ses termes ne changera pas, et sera toujours mais alors les polynomes deviendront des polynomes complets des degrés marqués par leurs indices respectives formés des lettres restantes le nombre des termes de chacun d’eux pourra donc être représenté par de sorte qu’on doit avoir
en changeant en on aura pareillement
ce qui donne, en retranchant,
ou en transposant
(6)
formule qui justifie la construction du triangle arithmétique de Pascal.
La formule (4) donne successivement
substituant ces valeurs dans l’équation (5) et mettant dans son premier membre pour sa valeur (4), on aura
formule utile pour opérer des réductions dans divers résultats algébriques.