ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Recherche du nombre des termes d’un polynome complet,
d’un degré quelconque, composé d’un nombre de lettres aussi quelconque ;
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J’ai donné, à la page 115 du IVe volume de ce recueil, d’après M. G. Fornier, un procédé fort simple, pour parvenir à la formule générale qui donne le nombre des termes d’un polynome complet d’un degré quelconque, composé d’un nombre de lettres aussi quelconque. En revenant de nouveau sur ce sujet, je me suis aperçu que la recherche dont il s’agit pouvait être présentée sous une forme plus régulière, et par conséquent plus simple, et c’est à la reproduire sous cette nouvelle forme que je destine l’article que l’on va lire.
Soit un polynome complet du
me degré composé des lettres
au nombre de
En supposant tous les coefficiens positif et égaux à l’unité, il devra d’abord renfermer le terme
Soient ensuite
l’ensemble de ses termes d’une seule dimension,
l’ensemble de ses termes de deux dimensions, et ainsi de suite,
l’ensemble de ses termes de
dimensions,
l’ensemble de ses termes de
dimensions, et enfin
l’ensemble de ses termes de
dimensions, ce polynome sera
![{\displaystyle P_{m}+P_{m-1}+\ldots +P_{k}+\ldots +P_{2}+P_{1}+1\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecdd8821b36635bb7106ff51cbbac123c9707d9)
(1)
dont il s’agit d’assigner le nombre des termes.
Ce nombre étant évidemment déterminé, dès que
et
sont connus, ne saurait être qu’une fonction de ces deux nombres ; fonction encore inconnue, que nous pouvons désigner par
Tout se réduit donc à assigner la forme de la fonction désignée par
Soient multipliés
L’ensemble des termes
par
ou n,
L’ensemble des termes
par
L’ensemble des termes
par
L’ensemble des termes
par
L’ensemble des termes
par
Et enfin le terme
par
et soit prise, sans faire de réductions, la somme des différens produits, que nous désignerons par ![{\displaystyle S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbb1f0f6ebdfa78b4fed06049640f7386bb44b)
Comme chacun des termes du polynome (1) aura été multiplié par un polynome de
termes, il s’ensuit que
aura
fois autant de termes que (1), et qu’ainsi le nombre des termes de
avant toutes réductions, sera exprimé par
![{\displaystyle n\phi (m,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa392944eb74a276d48e7d959ece786a969c25f)
De plus, dans chaque multiplication, le multiplicande et le multiplicateur étant homogènes, et la somme de leurs dimensions étant constamment égale à
sera aussi le nombre des dimensions des différens produits, et par suite de leur somme
qui sera ainsi un polynome homogène de
dimensions, formé avec les
lettres ![{\displaystyle a,b,c,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502c55592cd283419e4767a0c2bca6a672a0b1be)
Or il est aisé de voir que, non seulement le polynome
renfermera tous les termes de
dimensions que l’on peut former avec les
lettres
mais que de plus chacun de ces termes s’y trouvera répété
fois ; car soit un de ces termes
![{\displaystyle a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74b1eccaa6527b0ef3899690de3a8553bcfa50d)
avec la condition
on l’aura obtenu en multipliant, savoir
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a^{\alpha }\ \ \ &\mathrm {par} \ b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&b^{\beta }\ \ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }c^{\gamma }\ldots ,&c^{\gamma }\ \ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }\ldots ,\ldots \\a^{\alpha -1}&\mathrm {par} \ ab^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&\qquad b^{\beta -1}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }bc^{\gamma }\ldots ,\qquad &c^{\gamma -1}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c\ldots ,\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bc09694aa571528be6855eabc4487a5da6fa54)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha -2}bc^{\gamma }\ldots ,&b^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta -1}c^{\gamma }\ldots ,&c^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma -2}\ldots ,\ldots \\a\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha -1}b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\qquad &b\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta -1}c^{\gamma }\ldots ,\qquad &c\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma -1}\ldots ,\ldots \\a^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&b^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&c^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905f8d0f1271234102cdb0d96967215c1fbc02d6)
on l’aura donc obtenu un nombre de fois exprimé par
![{\displaystyle (\alpha +1)+(\beta +1)+(\gamma +1)+\ldots =(\alpha +\beta +\gamma +\ldots )+(1+1+1+\ldots )=m+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a206159ec5e27c3f6da62311e49a07a29b6bf83b)
comme nous l’avions annoncé.
Ainsi la somme
sera, après les réductions faites, un polynome homogène complet de
dimensions, formé avec les
lettres
et dont tous les termes seront affectés du coefficient
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle S=(m+n)S',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeda7eb16dd84b35e1b4b93565a3fe96d8360dd)
étant un pareil polynome dans lequel tous les coefficiens sont égaux à l’unité. D’où l’on voit qu’avant les réductions
devait avoir
fois autant de termes que ![{\displaystyle S'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f4a4c9e86ff6684e7ac7b1403a40d349721d77)
Présentement si, dans
on fait une des lettres
par exemple égale à l’unité, le nombre de ses termes n’en sera pas changé ; mais il deviendra alors évidemment un polynome complet du
me degré, formé des
lettres
dont le nombre des termes devra être exprimé par
dont tel était aussi le nombre des termes de
avant d’avoir fait
d’où il suit qu’avant toutes réductions le nombre des termes de
devait être
![{\displaystyle (m+n)\phi (m,n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f526a35e39a90bdeba81edd532f94ed9bfb114f0)
puis donc que nous venons de trouver, tout à l’heure, que le nombre de ces termes devait être
![{\displaystyle n\phi (m,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe94b5744ec17ca849d8fe0c9d8a63165c04469)
il s’ensuit qu’on doit avoir
![{\displaystyle n.\phi (m,n)=(m+n).\phi (m,n-1).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056b5a2e4229a6cb466fdaff2580536e7d96b881)
(2)
Si l’on considère présentement que cette dernière équation doit avoir lieu quel que soit le nombre entier
en observant d’après la nature de la fonction
on doit avoir
on pourra écrire cette suite d’équations
![{\displaystyle n\phi (m,n)=(m+n).\phi (m,n-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00df78fd699dce3abec50d63e2b3b967866e29e)
![{\displaystyle (n-1)\phi (m,n-1)=(m+n-1).\phi (m,n-2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae92a8d0ecb5e1e3ae9d389b09084530869ca44)
![{\displaystyle (n-2).\phi (m,n-2)=(m+n-2).\phi (m,n-3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e1189c58ed5665e4508e7bd68317488749d6ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&3.\phi (m,3)=(m+3).\phi (m,2),\\&2.\phi (m,2)=(m+2).\phi (m,1),\\&1.\phi (m,1)=(m+1),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c315f1c444dbf8f666da6ac97190f4ddaae01cd2)
en les multipliant donc membre à membre, supprimant les facteurs communs dans l’équation résultante et résolvant enfin cette équation par rapport à
on aura
![{\displaystyle \phi (m,n)={\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{n}}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8bd0617d54e8903dd9325f81387e3bd04692e3)
(3)
telle est la formule générale cherchée.
On conclut évidemment de là
![{\displaystyle \phi (m,n)=\phi (n,m)={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{m}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55086c2c2eb254ec0494afaa7dc8995fc5aec035)
(4)
on peut donc choisir, entre ces deux formules, celle qui se compose d’un moindre nombre de facteurs. Il résulte, aussi de leur équivalence qu’il y a autant de termes dans un polynome complet du nme degré formé avec m lettres qu’il y en a dans un polynôme complet du mme degré formé avec n lettres. C’est ainsi, par exemple, que l’équation complète du 3.e degré à deux variables et l’équation complète du 2.e degré à trois variables ont également dix termes.
Si dans le polynome (1) on suppose
le nombre de ses termes ne changera pas, et sera toujours
mais alors les polynomes
deviendront des polynomes complets des degrés marqués par leurs indices respectives formés des
lettres restantes
le nombre des termes de chacun d’eux pourra donc être représenté par
![{\displaystyle \phi (k,n-1),\ldots ,\phi (2,n-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c3fcadfd3786fe972b2291e7bf829c32fffc2c)
de sorte qu’on doit avoir
![{\displaystyle \phi (m,n)=1+\phi (1,n-1)+\phi (2,n-1)+\ldots +\phi (m-1,n-1)+\phi (m,n-1)\,;(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405e8bb7dc0538d5652b7980765c61995620863a)
en changeant
en
on aura pareillement
![{\displaystyle \phi (m-1,n)=1+\phi (1,n-1)+\phi (2,n-1)+\ldots +\phi (m-1,n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed7d5811e1517ac273190417eaac72d14be0cce)
ce qui donne, en retranchant,
![{\displaystyle \phi (m,n)-\phi (m-1,n)=\phi (m,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d10e355af8a22d6ecec9e73ace3dea0f3f48a8)
ou en transposant
![{\displaystyle \phi (m,n)=\phi (m,n-1)+\phi (m-1,n)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1ce5ef7e87fc1738387ddeb7653d2d78685745)
(6)
formule qui justifie la construction du triangle arithmétique de Pascal.
La formule (4) donne successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi (1,n-1)={\frac {n}{1}},\\\\&\phi (2,n-1)={\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}},\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db63a8e4114fcabfccf52657e4de9e7e185d0bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi (3,n-1)={\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}.{\frac {n+2}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\phi (m,n-1)={\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}.{\frac {n+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{m}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1de77a6f800625aae9e2e9d2719fac08f29a7a)
substituant ces valeurs dans l’équation (5) et mettant dans son premier membre pour
sa valeur (4), on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{r}1\\+{\frac {n}{1}}\\\\+{\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}\\\\+{\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}.{\frac {n+2}{3}}\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}.{\frac {n+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{m}}\end{array}}\right\}={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}.{\frac {n+4}{4}}\ldots {\frac {m+n}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703a3667ac8e11ae60e2bddefe4c912fee5c790f)
formule utile pour opérer des réductions dans divers résultats algébriques.