Démonstration du théorème de la page 279
du IX.e volume de ce recueil ;
M. Vallès, élève au collége royal de Montpellier.
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Après avoir démontré, en l’endroit cité, que si par les sommets
d’un triangle quelconque, et par un même point
pris arbitrairement dans son intérieur, on mène trois droites rencontrant les directions des côtés opposés en
on doit avoir
![{\displaystyle {\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}=1\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5939335f8a9d810ff5f0af8e43a0be28d74b6e6a)
on a démontré, d’une manière analogue, que si, par les sommets
d’un tétraèdre quelconque, et par un même point
pris arbitrairement dans son intérieur, on mène quatre droites, terminées aux faces opposées en
on aura
![{\displaystyle {\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}=1.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25179c1f316906ee36e711dfbea38f88cd28cf53)
M. Vallès a trouvé moyen de déduire très-simplement le second théorème du premier. Pour cela, il conçoit, par le point
deux plans passant, l’un par l’arête
et l’autre par son opposée
Désignant alors par
le point où le premier de ces deux plans coupe l’arête
et par
celui où le second coupe l’arête
les deux triangles
donneront, par le premier théorème,
![{\displaystyle {\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PN}{MN}}=1,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35da3488a5cbeaa9fc47de987093f7c57823c90b)
![{\displaystyle {\rm {{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}+{\frac {PM}{MN}}=1\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c886fc03db49548bcd84278c6ea10e728ce9af)
d’où, en ajoutant, faisant attention que
et réduisant
![{\displaystyle {\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}=1.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25179c1f316906ee36e711dfbea38f88cd28cf53)