ANALISE TRANSCENDANTE.
Recherches sur les intégrales définies ;
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Toute fonction se développant, en général, suivant les puissances de la variable indépendante, on peut toujours mettre une fonction quelconque sous la forme le signe s’étendant à tous les nombres entiers, depuis jusqu’à et étant indépendant de
Cela posé, le problème général de la sommation des suites revient à transformer la quantité de la manière la plus propre à l’évaluation de la fonction et les différentes méthodes qu’offre l’analise pour cet objet, soit par le calcul des différences finies, soit par les substitutions employées par Euler, se ramènent toutes aux fonctions génératrices.
Mais si, au lieu de transformer de diverses manières la série qui équivaut à la fonction on se proposait d’en déduire de nouvelles, qui répondissent à certaines conditions, le problème serait essentiellement différent du premier ; et les différentes méthodes qui se présentent, dans cette partie de l’analise, se rattachent presque toutes à la théorie des intégrales définies, quoiqu’on voie difficilement la liaison qui existe entre elles. C’est pourquoi je me propose de présenter quelques recherches où elles sont comprises comme des conséquences d’un seul principe que je vais d’abord exposer dans toute sa généralité.
Soit une fonction quelconque linéaire de c’est-à dire telle que et pouvant par conséquent renfermer un nombre quelconque de différentiation et d’intégrations par rapport à toutes les variables contenues dans on aura en supposant que le signe se rapporte uniquement à la quantité faisant donc on aura L’on voit ainsi que chaque forme différente de mène à une valeur différente de et par conséquent de mais, dans l’impossibilité de les parcourir toutes, il faut se borner à celles qui se présentent naturellement les premières, et qui peuvent servir de base à des recherches plus compliquées.
La forme la plus simple que l’on puisse donner à après celle d’un simple produit, est la forme différentielle. En supposant, pour plus de généralité, et de plus et des fonctions quelconques de on aura
Donnant, par exemple, à et des formes de puissances ou d’exponentielles, on aura de la forme ou et l’on en peut déduire une infinité d’autres séries, en continuant les mêmes opérations si loin qu’on voudra. Si avait la forme d’une différence ou intégrale aux différences finies, on ne trouverait facilement des résultats élégans que lorsque et auraient la forme d’exponentiels ; mais ces opérations n’ayant d’ailleurs aucune difficulté, je vais m’occuper du cas où a la forme d’une intégrale ordinaire ; ce qui donne lieu à des conséquences très-variées et très-remarquables. Mais, pour ne pas être entraîné en des recherches trop compliquées, je me bornerai à la comparaison des séries à simple entrée, et c’est ce qu’on fait en admettant pour les quantités et des formes qui ne soient pas plus générales que celle du binôme, dont on sait que les fonctions exponentielles et circulaires ne sont que des cas particuliers.
Dans cette supposition, le principe qui sert de base aux recherches contenues dans ce mémoire se réduit au fond à celui que Euler a employé le premier pour représenter, par des intégrales définies, la série qui intègre une certaine espèce d’équations différentielles ; mais, si on l’expose dans toute sa généralité, on voit s’y rattacher les résultats les plus généraux qu’on ait obtenu sur la théorie des intégrales définies. Parmi les résultats que présente cette théorie, il faut bien, distinguer ceux qui comprennent une infinité de fonctions différentes, assujetties seulement à une propriété commune, de ceux qui, par leur nature, se bornent à une classe particulière de fonctions ; et, quoique ceux-ci soient presque tous trouvés par des considérations particulières et par des artifices très-divers, il faut néanmoins qu’ils se déduisent, comme des corollaires, de ceux-là.
En effet, la méthode générale, dont nous allons exposer les conséquences, consiste à former l’équation
où il s’agit de déterminer pour les différentes formes de et de la variable étant prise entre des limites convenables. D’abord, on peut laisser à et à une forme quelconque, ce qui donne une grande généralité à celles qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l’on substitue pour et des exponentielles imaginaires, on en déduira, par des considérations très-simples que nous exposerons plus bas, le théorème de M. Fourier. Mais, la plupart des recherches qu’on a faites sur les intégrales définies dépendent de valeurs particulières de parmi lesquelles on s’est sur-tout attaché à discuter celles qui ramènera en même temps les deux séries et à des fonctions qu’on a adoptées dans la langue analitique. C’est ainsi, par exemple ; que la supposition fait la première égale à et celle de fait la seconde égale à Cependant, il faut encore, dans cette partie, remarquer des formes fondamentales, d’où dépendent un grand nombre de formes secondaires plus ou moins élégantes, telles sont, par exemple,
etc.
qu’on a trouvées par la rédaction à des équations différentielles, par le passage du réel à l’imaginaire, etc. Nous aurons soin de les exposer, comme des corollaires de la formule générale
et ne supposant pas et des fonctions plus générales que le binôme, nous rappellerons seulement la formule connue
d’où on tire, en supposant et positifs, et prenant l’intégrale depuis jusqu’à
Faisant d’abord et on aura
mais il est facile de voir, par la formule précédente, que cette quantité doit, en général, dépendre d’un nombre d’intégrales différentes. En effet, étant un nombre entier, on peut toujours lui donner la forme d’un multiple de plus un nombre entier moindre que en supposant ce dernier nombre également entier, ce qui donne les relations suivantes :
d’où l’on déduit
et, dans le cas particulier où p on aura
Ces suites infinies se réduisent à une seule, dans le cas où
la fonction ne contient que les puissances de car, en faisant on aura
Pouvant répéter ces opérations tant de fois qu’on voudra, on formera facilement l’équation
Les qualités étant des constantes quelconques, assujetties à la seule condition de ne pas rendre les intégrales infinies entre les limites assignées ; et chacune des quantités ayant la forme
toutes ces intégrales étant prises d’ailleurs entre les limites et
On trouve facilement que cette formule donne, sous forme finie, l’intégrale de l’équation
En effet, l’on trouve, par un procédé que j’ai exposé ailleurs (Annales, tom. XI) pour la valeur complète de un nombre de séries, dont chacune présente un nombre de constantes égal à celui des quantités Quant à la fonction on trouve que, pour ce cas, elle prend la forme les quantités devant être de simples puissances d’une constante
Nous avons uniquement considéré le cas où l’intégrale
se ramène à une seule série, pour des valeurs quelconques de et nous allons maintenant discuter les simplifications que comportent des valeurs particulières de cette quantité. D’abord, il est facile de voir que, lorsque on n’aura jamais qu’une seule série pour l’intégrale proposée ; mais il est encore possible d’y ramener le cas où En effet, si l’on observe que l’intégrale
prise depuis jusqu’à est on verra que la valeur de
se réduit à la seule série
Si l’on suppose et on a la formule par laquelle M. Laplace a présenté, sous forme finie, l’intégrale de l’équation Pour les autres valeurs de il paraît, en général, impossible de ramener à une seule les séries différentes ; c’est pourquoi nous nous bornerons, pour le moment, aux cas ou ou
Soit donc et on aura, en supposant et des nombres entiers,
d’où
Si, par exemple, on a on aura
et si l’on fait
et ainsi de suite.
Si n’était pas entier, il faudrait ramener l’intégrale à celle-ci
mais étant différent pour les différens termes de la suite, il faut absolument supposer à moins que l’on ne veuille introduire une transcendante irréductible dans chaque terme.
Faisant, par exemple,
on aura
d’où
On fait aisément disparaître les imaginaires contenus dans cette dernière expression, en observant que
et faisant d’où
on aura ainsi
d’où l’intégrale connue
Si, au lieu de on avait on procéderait d’une manière analogue.
Faisant présentement et l’on aura
d’où
Supposant et on trouve, pour le seeond membre
Soient, par exemple, en observant que
on trouve facilement
et, si les limites étaient et cette dernière quantité se réduirait à la moitié de sa valeur.
Mais ces recherches se continuant sans difficulté, par le principe que nous avons posé, je passe aux fonctions circulaires ; et quoique ces dernières fonctions puissent être considérées comme cas particuliers de celles que nous venons de discuter, elles exigent néanmoins des modifications remarquables.
En effet, de la formule connue
en faisant
on tire
et, en continuant ces opérations jusqu’à ce que l’exposant de soit devenu on aura deux séries dont l’une contiendra la fonction et l’autre la fonction et les limites qui les rendent étant différentes, il sera impossible d’assigner deux limites entre lesquelles tous les termes hors du signe d’intégration disparaissent. En conséquence, si l’on ne veut, dans le problème qui nous occupe, que des séries à simple entrée, il faudra faire c’est-à-dire, ne prendre pour et que des valeurs de la forme d’où l’on peut toujours former des quantités réelles, en réunissant deux séries où les signes soient différens.
Faisant
on aura
entre des limites quelconques ; et, à moins que celles-ci ne rendent des termes infinis, on peut étendre le signe à tous les nombres entiers, soit positifs, soit négatifs. Il est facile d’ailleurs de ramener cette dernière expression à une forme réelle, comme nous l’avons déjà fait plus haut. Cependant, ces formes ne mènent à des résultats élégans que lorsque les puissances se changent en exponentiels, et, si l’on fait
on aura
En assignant à les limites et on réduit la dernière expression à si l’on suppose qu’aucune des valeurs de depuis jusqu’à ne rend infini.
On a ainsi, pour la même quantité deux transformations différentes, dont chacune a ses avantages ; nous allons présentement les discuter, en commençant par la première, où la valeur de est exprimée par la fonction génératrice Supposons celle-ci ) ; on aura, en développant suivant les puissances de et la série à double entrée
Maintenant, on peut faire égal à une puissance quelconque entière de et, quelle qu’elle soit, on est toujours en état d’exprimer, par une intégrale définie, le coefficient d’une puissance quelconque de qui provienne de cette substitution pour Faisant, par exemple, d’où le coefficient de devient
depuis jusqu’à Soit, par exemple, on trouve, par cette formule, en faisant la série
L’introduction des imaginaires dans les intégrales comportant de grandes difficultés, relativement à l’évaluation ; il est intéressant de discuter le cas le plus étendu où il serait possible de les faire disparaître ; c’est-à-dire, où les exponentiels imaginaires pourraient se réduire en des cosinus ou sinus réels. On voit que cela ne peut avoir lieu que lorsque a la forme où et dans ce cas, on trouve pour le coefficient de
Soit, par exemple,
on aura, en multipliant par faisant et prenant la partie indépendante de dans la supposition de et pairs, attendu que, pour qu’elle ne soit pas nulle, il faut qu’une partie des nombres soient pairs. On aura ainsi
Si l’on avait fait et on aurait eu
Dans le cas particulier où la fonction que nous avons considérée plus haut, a la forme en supposant
on aura
ou
c’est le théorème de Parseval.
Le cas le plus étendu où les imaginaires disparaissent étant déterminé par la condition on a ici la condition
de laquelle on déduit facilement que les fonctions doivent avoir la forme exponentielle. En effet, on a, dans ce cas, la formule connue
que l’on pourrait aussi déduire de la formule en y faisant
Considérons présentement la seconde valeur de savoir
le signe s’étendant à tous les nombres entiers, depuis jusqu’à D’abord, on peut donner à cette quantité une forme beaucoup plus commode, en changeant les différences finies en des différentielles : c’est ce qu’on fait en supposant
et effaçant ensuite les accens. Ou trouve ainsi
Observant de même que
le signe s’étendant depuis jusqu’à d’où
on en tire les deux équations
qui sont dues à M. Fourier. Parmi un grand nombre de conséquences importantes qu’offre ce beau théorème, je vais rappeler quelques-unes des formules les plus simples et les plus remarquables de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont obtenues par d’autres voies.
Faisant, par exemple, on trouve
et l’on sait que ces formes servent de base à un grand nombre d’autres, plus ou moins élégantes, telles que
étant des fonctions quelconques rationnelles qui ne contiennent que des puissances paires de et n’ayant aucun diviseur qui devienne zéro, pour des valeurs réelles positives de
De même, la fonction étant développable, suivant des cosinus multiples ; on fait dépendre de la même forme l’intégrale
et, dans le cas où a la forme on sait que cette intégrale se ramène à une forme finie.
Soit encore
dans ce cas, on aura
Intégrant par rapport à et faisant on aura
d’où, comme l’on sait,
Mais, une des conséquences les plus générales du théorème de M. Fourier, est celle par laquelle on fait dépendre une série d’une autre de la forme
En effet, si l’on fait
on voit que
or, nous avons vu que, par le théorème de Parseval, on fait dépendre cette série des deux suivantes
mais l’introduction des imaginaires rend, en général, la première de ces deux méthodes préférable à la seconde, dans tous les cas où la quantité en est débarrassée ; comme, par exemple, lorsque les quantités forment une suite de puissances.
Les recherches que je viens d’exposer me paraissent donner les développemens nécessaires au principe général que j’ai présenté au commencement de ce mémoire. On en déduit une infinité d’autres, en répétant et combinant les différentes opérations qu’on y trouve exposées, et sur-tout en différenciant et intégrant par rapport à de nouvelles variables.