ANALISE TRANSCENDANTE.
Recherches sur les intégrales définies ;
Par
M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.
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I. L’intégrale
prise depuis jusqu’à se réduit à une fonction de seul ; de sorte qu’en convenant de représenter cette fonction par on a
Faisant étant une quantité positive quelconque, mais indépendante de on aura, en substituant, après avoir effacé les accens,
(1)
d’où, en différentiant par rapport à et faisant ensuite ,
donc, suivant notre notation,
(2)
or donc
En multipliant les deux membres de l’équation (1) par
et intégrant depuis jusqu’à on trouve
or, d’après l’équation (1), l’on a, entre les limites désignées,
donc
(3)
Si l’on pose on trouvera
Si l’on pose, au contraire, on trouvera
d’où
ce qui établit entre les intégrales Eulériennes une relation très-remarquable, déjà connue depuis long-temps. Nous ne discuterons pas les cas particuliers que présente l’équation (3). On peut les voir dans les Exercices de calcul intégral de M. Legendre.
L’on a, en mettant au lieu de son développement,
d’où, en intégrant depuis jusqu’à
(4)
On trouverait de même, et entre les mêmes limites,
(5)
partant
pourvu qu’on prenne les intégrales depuis jusqu’à et depuis jusqu’à
Faisant, dans ces formules, et étant une quantité positive quelconque, mais indépendante de on aura, en substituant et supprimant les accens,
multipliant les deux membres par et intégrant entre deux limites positives de mais d’ailleurs quelconques, on aura, en faisant et l’intégrale du second membre étant prise entre les limites désignées,
on trouverait de même
De là on déduira, comme cas particulier, Le théorème de M. Fourier.
Saint-Affrique, 26 avril 1821.