ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ;
Par
M. Treuil, professeur de mathématiques au collège
royal de Versailles, professeur de mathématiques
et de physique des Pages du Roi.
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Soient les deux expressions
si l’on a on aura
(I)
car, soit il viendra et de là
d’où, en ajoutant
qui, en mettant dans le second membre et pour et revient au théorème (I). On prouvera d’une manière tout-à-fait semblable que
(II)
Si, dans l’équation (I), on suppose que se changent respectivement en elle deviendra
mais, si l’on a on aura, par ce qui précède,
donc, en substituant,
On pourrait présentement supposer que et se changent respectivement en
et et continuer ainsi indéfiniment, en supposant toujours et ainsi de suite ; d’où l’on voit qu’en posant, pour abréger,
et supposant d’ailleurs
on doit avoir
(III)
On démontrerait pareillement que, si l’on fait
et qu’on ait à la fois
on aura
Le théorème (III) trouve son application en géométrie. Si, en effet, sont les bases inférieures et les bases supérieures respectives des troncs de pyramides triangulaires résultant de la décomposition d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en représentant par les volumes des premiers et par le volume du dernier ; et si, en outre, on représente par ses deux bases, on aura
mais on démontre, par les élémens que étant la hauteur du tronc
donc
mais on a de plus
donc
donc enfin
Versailles, le 11 juin 1821.