Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Algèbre élémentaire, Article 1

Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ; par M. Treuil.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 12, 1822 (p. 104-107).

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ;

Par M. Treuil, professeur de mathématiques au collège
royal de Versailles, professeur de mathématiques
et de physique des Pages du Roi.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient les deux expressions

$a+b+{\sqrt {ab}},\qquad a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\,;$

si l’on a ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}},$ on aura

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a+a')+(b+b')+{\sqrt {(a+a')(b+b')}}\,;\quad$(I)

car, soit ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}=m,$ il viendra $b=ma,\ b'=ma',$ et de là

${\begin{array}{ll}a\ +b\ +{\sqrt {ab}}&=a\ (1+m+{\sqrt {m}}),\\a'+b'+{\sqrt {a'b'}}&=a'(1+m+{\sqrt {m}}),\end{array}}$

d’où, en ajoutant

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a+a')+(ma+ma')+{\sqrt {(a+a')(ma+ma')}},$

qui, en mettant dans le second membre $b$ et $b'$ pour $ma$ et $ma'$ revient au théorème (I). On prouvera d’une manière tout-à-fait semblable que

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)-\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a-a')+(b-b')+{\sqrt {(a-a')(b-b')}}.\quad$(II)

Si, dans l’équation (I), on suppose que $a',b'$ se changent respectivement en $a'+a'',\ b'+b'',$ elle deviendra

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left\{(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}\right\}$

$=(a+a'+a'')+(b+b'+b'')+{\sqrt {(a+a'+a'')(b+b'+b'')}}\,;$

mais, si l’on a ${\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ on aura, par ce qui précède,

$(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}$

$=\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\,;$

donc, en substituant,

$\left.{\begin{aligned}&\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {a\ b\ }}\ \right)\\+&\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\,}}\right)\\+&\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\end{aligned}}\right\}=(a+a'+a'')+(b+b'+b'')+{\sqrt {(a+a'+a'')(b+b'+b'')}}.$

On pourrait présentement supposer que $a''$ et $b''$ se changent respectivement en $a''+a'''$ et $b''+b''',$ et continuer ainsi indéfiniment, en supposant toujours ${\frac {b'''}{a'''}}={\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ et ainsi de suite ; d’où l’on voit qu’en posant, pour abréger,

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)+\ldots$

$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\qquad \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots \,;$

et supposant d’ailleurs

${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots ,$

on doit avoir

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.\qquad$(III)

On démontrerait pareillement que, si l’on fait

$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)=$

$\left\{{\begin{aligned}&(a\ \,+b\ \ +c\ \ +{\sqrt {b\ \ c\ \ }}+{\sqrt {c\ \ a\ \ }}+{\sqrt {a\ \ b\ \ }}\\+&(a'\,+b'\,+c'\,+{\sqrt {b'\,c'\,}}+{\sqrt {c'\,a'\,}}+{\sqrt {a'\,b'\,}}\\+&(a''+b''+c''+{\sqrt {b''c''}}+{\sqrt {c''a''}}+{\sqrt {a''b''}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\ \ \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots ,\ \ \Sigma (c)=c+c'+c''+\ldots ,$

et qu’on ait à la fois

${\frac {a}{c}}={\frac {a'}{c'}}={\frac {a''}{c''}}=\ldots ,\qquad {\frac {b}{c}}={\frac {b'}{c'}}={\frac {b''}{c''}}=\ldots ,$

on aura

$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)$

$=\Sigma (a)+\Sigma (b)+\Sigma (c)+{\sqrt {\Sigma (b)\Sigma (c)}}+{\sqrt {\Sigma (c)\Sigma (a)}}+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.$

Le théorème (III) trouve son application en géométrie. Si, en effet, $a,a',a'',\ldots$ sont les bases inférieures et $b,b',b'',\ldots$ les bases supérieures respectives des troncs de pyramides triangulaires résultant de la décomposition d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en représentant par $v,v',v'',\ldots$ les volumes des premiers et par $V$ le volume du dernier ; et si, en outre, on représente par $A,B$ ses deux bases, on aura

$A=\Sigma (a),\qquad B=\Sigma (b),\qquad C=\Sigma (c)\,;$

mais on démontre, par les élémens que $h$ étant la hauteur du tronc

${\begin{aligned}&v\ \ =\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {\ a\ \ b\ \ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v'\,=\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v''=\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right){\frac {h}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc

$V=\left\{\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)\right\}{\frac {h}{3}}\,;$

mais on a de plus

${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots \,;$

donc

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}=A+B+{\sqrt {AB}}\,;$

donc enfin

$V=\left(A+B+{\sqrt {AB}}\right){\frac {h}{3}}.$

Versailles, le 11 juin 1821.