STATIQUE.
Essai sur quelques cas particuliers d’attraction ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
On trouve à la fin du second volume de la traduction du livre
des Principes, par Madame du Chatelet, une suite de recherches
relatives à l’attraction exercée, dans diverses hypothèses, par des
corps symétriques, sur un point symétriquement situé par rapport
au corps attirant.
Tout récemment, dans un mémoire présenté à l’académie de
Turin, M. le professeur Plana a traité, dans le même genre, des
questions plus générales et plus difficiles, et dont la solution exige
toutes les ressources de la haute analise.
Mais personne ne paraît s'être encore occupé jusqu’ici d’un autre
genre de questions qui ont quelque analogie avec celles-là, et qui
ne semblent pas moins dignes d’intérêt : ce sont celles où il s’agit
de déterminer l’intensité et la direction de l’action totale exercée
par un angle polyèdre solide, homogène et indéfini, sur un point
situé à son sommet. Ce problème comprend évidemment, comme
cas particulier, celui où l’on demanderait d’assigner l’intensité et
la direction de l’action totale exercée par un angle dièdre, solide,
homogène et indéfini, sur l’un quelconque des points de son arête.
Il comprend donc également celui où il s’agirait de l’attraction
exercée par un corps homogène terminé d’une part par une surface plane indéfinie, et lui-même d’une étendue indéfinie au-delà de cette surface, sur l’un quelconque des points de celle même
surface.
Ces divers cas d’attraction ont cela de particulier et de très-remarquable qu’ils permettent d’assigner la direction et même l’intensité relative de l’action totale exercée par le corps attirant sur
le point attiré, indépendamment de la loi d’attraction ; c’est-à-dire,
sans qu’on ait préalablement besoin de statuer sur la fonction de
la distance qui mesure cette force, ni même de songer, en aucune sorte, à la nature de cette fonction. Que l’on conçoive, en
effet, l’angle polyèdre attirant partagé en une infinité d’autres infiniment petits, de même sommet que lui et équivalens en capacité ;
c’est-à-dire, de nature à intercepter des portions équivalentes d’une
sphère d’un rayon quelconque, ayant son centre à leur sommet
commun. Ces angles polyèdres partiels exerceront sur le point
attiré, et chacun d’eux suivant sa direction, une infinité d’actions
infiniment petites, d’une même intensité ; la direction de la résultante ne dépendra donc uniquement que des directions des composantes, c’est-à-dire, de la figure de l’angle polyèdre total ; et son
intensité sera simplement proportionnelle à celle de chacune de ces
composantes.
On peut remarquer, au surplus, que ce cas est exactement le
même que celui où tous les points de diverses portions d’une même
surface sphérique exerceraient des actions égales sur son centre.
Il est clair, en effet, que l’action totale de chacune de ces portions de surface sphérique ne dépendrait nullement, quant à sa
direction, de l’action commune exercée par chacun de ses points ;
et que le rapport d’intensité des actions totales de deux de ces
portions n’en dépendrait pas davantage.
Et par là on voit aussi que, dans le cas où l’intensité de la
force attractive dépendrait de la masse des molécules attirantes,
il n’y aurait encore rien de changé si le corps attirant, au lieu d’être
homogène, était d’une densité variable, pourvu seulement que sa densité fût constante, pour chacune des couches sphériques concentriques y avant le point attiré pour centre commun.
Tout se passerait donc encore de la même manière, si l’action
exercée par l’angle polyèdre, solide et indéfini était de ces actions
dont l’étude de la nature nous offre sans cesse des exemples, et
dont le caractère propre est de cesser d’être sensibles à une distance
sensible du contact. Le seul changement qui surviendrait alors est
que la condition d’une étendue indéfinie cesserait d’être de rigueur
pour l’angle polyèdre qui pourrait, dans ce cas, être limité, du
côté opposé à son sommet par une surface quelconque ; pourvu
seulement que les arêtes concourant à ce sommet fussent toutes
d’une longueur sensible.
On voit donc que, dans cette dernière hypothèse, si l’on conçoit
un polyèdre fini et homogène, de figure quelconque ; 1.o l’action
de ce polyèdre sur un point situé dans l’intérieur de l’une quelconque de ses faces sera la même que si cette face se prolongeait
indéfiniment, et que le solide fût d’une épaisseur indéfinie : cette
action sera donc la même pour toutes les faces, du moins tant
que le point attiré demeurera à une distance sensible des arêtes
du polyèdre.
2.o L’action de ce polyèdre sur un point de l’une quelconque
de ses arêtes sera la même que si les faces de l’angle dièdre,
auquel cette arête se trouve appartenir, étaient indéfiniment prolongées ; pourvu toutefois que le point attiré demeure à une distance sensible des sommets du polyèdre ; mais ici l’intensité de la
force attractive variera, suivant le plus ou le moins d’ouverture
de l’angle dièdre ; de sorte qu’elle ne sera généralement la même
que pour des arêtes appartenant à des angles dièdres égaux.
3.o Enfin, l’action exercée par ce polyèdre sur l’un quelconque
de ses sommets sera la même que si toutes les faces concourant à
ce sommet, et conséquemment toutes les arêtes qui s’y terminent,
s’étendaient indéfiniment du côté opposé ; mais encore ici l’action pourra différer de sommet à autre, suivant la figure et le plus ou
le moins d’ouverture de chaque angle polyèdre.
Nous avons donc ici à nous occuper principalement, 1.o de
l’attraction exercée par un corps homogène, indéfini d’une part et
terminé de l’autre par une surface plane indéfinie, sur un point
de cette surface ; 2.o de l’attraction exercée par un angle dièdre
solide, homogène et indéfini, sur un point de son arête ; 3.o enfin,
de l’attraction exercée par un angle polyèdre solide, homogène et
indéfini, sur son sommet ; ou, ce qui revient au même, nous
avons à nous occuper de la recherche de l’intensité et de la direction de l’attraction exercée par un hémisphère, un fuseau ou
un poligone sphérique sur le centre de la sphère.
Mais, afin de rendre notre travail plus complet, nous nous
occuperons d’abord, 1.o de l’attraction exercée par un plan homogène, indéfini d’une part, et terminé de l’autre par une droite
indéfinie, sur l’un des points de cette droite ; 2.o de l’attraction
exercée par un angle plan, homogène et indéfini, sur son sommet ;
ou ce qui revient au même, nous chercherons l’intensité et la direction de l’attraction exercée par une demi-circonférence ou par
un arc quelconque de grand cercle, sur le centre de la sphère.
LEMME I. Déterminer l’intensité et la direction de l’action exercée sur le centre d’une sphère, par le trapèze sphérique isocèle compris entre deux méridiens quelconques et deux parallèles quelconques à l’équateur ?
Solution. Soit pris le rayon de la sphère pour unité de longueur.
Soit l’arc de l’équateur compris entre les deux méridiens qui
terminent le trapèze, et dont nous adoptons les plus à gauche pour premier méridien ; soient les distances polaires des deux parallèles.
Soit l’intensité inconnue de l’attraction exercée par l’aire du
trapèze sur le centre de la sphère ; cette force sera évidemment
dirigée dans le plan d’un méridien également distant de ceux qui
terminent le trapèze ; c’est-à-dire, que sa longitude sera il ne s’agira donc plus, pour en connaître la direction, que d’en assigner
la distance polaire, que nous désignerons par
Cela posé, concevons cette force décomposée, dans le plan
de son méridien, en deux autres ; l’une, dirigée vers le pôle,
et l’autre dirigée dans le plan de l’équateur ; d’après les premières
notions de statique, nous aurons
La force se dirigeant au milieu de l’arc de l’équateur intercepté entre les deux méridiens qui terminent le trapèze pourra ultérieurement être décomposée, dans l’équateur, en deux forces égales, passant par les extrémités de cet arc ; et, en appelant l’une de ces forces, on aura
Éliminant entre ces trois équations, on en tire
de sorte que tout se réduit à trouver et
Pour y parvenir, considérons, sur notre trapèze sphérique, un
élément dont la longitude soit et la distance polaire
Supposons que cet élément soit lui-même un trapèze sphérique
isocèle, compris entre deux méridiens interceptant entre eux un
arc de l’équateur, et entre deux parallèles interceptant entre
eux un arc du premier méridien ; la surface de la zone infiniment étroite dont l’élément fait partie, ayant pour expression
il s’ensuit que la surface même de cet élément sera
c’est-à-dire,
et l’attraction exercée par
ce même élément sur le centre de la sphère, suivant la direction du rayon qui lui répond, sera étant une constante
qui dépendra de l’intensité de la force attractive.
Décomposons cette attraction, que nous pouvons représenter par
en deux autres, l’une dirigée vers le pôle, et l’autre
dirigée vers le point de l’équateur dont la longitude est
par le principe de la composition des forces, nous trouverons,
pour les deux composantes,
Décomposons cette dernière, dans le plan de l’équateur, en deux
autres passant par les points de ce cercle dont les longitudes sont
et en désignant cette dernière par nous aurons
Intégrant une première fois, par rapport à entre et nous aurons
Intégrant une seconde fois, par rapport à entre et il viendra
Substituant enfin ces valeurs dans celles de et trouvées ci-dessus, nous aurons
(I)
(II)
Et telles sont les deux formules fondamentales desquelles nous allons
déduire successivement tous les cas particuliers.
PROBLÈME I. Déterminer l’intensité et la direction de la
force attractive exercée par un arc de petit cercle sur le centre
de la sphère ?
Solution. Soit supposé l’arc de petit cercle dont il s’agit parallèle à l’équateur, et soit l’arc de cet équateur compris entre les
méridiens qui le terminent. Soit, en autre, la distance polaire
de cet arc. On obtiendra la solution du problème en faisant, dans
les formules (I, II), et observant que et
que Il viendra ainsi
Il est d’ailleurs évident que cette force sera dirigée dans le plan
du méridien qui divise en deux parties égales l’arc dont il s’agit.
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action exercée par une portion de surface conique droite homogène, soit indéfinie, soit à base circulaire, comprise entre deux arêtes
ou génératrices rectilignes, sur un point placé à son sommet, en
supposant que l’angle générateur est et que les plans conduits
par l’axe et par les deux génératrices extrêmes forment entre eux
un angle dièdre égal à
Remarque. De l’expression de on conclut
mais, si l’on suppose le rayon de la sphère infini, les arcs de grands cercles se confondront avec leurs tangentes ; de sorte que l’on aura alors
mais, d’un autre côté, les actions exercées par les différens points de l’arc seront égales et parallèles ; d’où il suit que le point où la force rencontrera la surface sphérique devenue plane, sera le centre de gravité de l’arc dont il s’agit ; on a donc cette proportion : Un arc est à sa corde comme son rayon est à la distance de son centre de figure à son centre de gravité ; ce qui est conforme aux théories connues.
PROBLÈME II. Déterminer l’intensité et la direction de la force attractive exercée par la circonférence d’un petit cercle sur le centre de la sphère ?
Solution. En désignant par la distance polaire de ce petit cercle,
il suffira, pour résoudre le problème, de supposer dans
les formules du problème précédent, ce qui donnera
Ainsi, cette attraction, dirigée vers le pôle, est proportionnelle au sinus du double de la distance polaire, ou, si l’on veut, au sinus du diamètre sphérique du petit cercle dont il s’agit ; elle est donc, toutes choses égales d’ailleurs, la plus grande possible pour le parallèle moyen.
Corollaire. Telle est donc aussi l’attraction exercée par une surface
conique de révolution, soit indéfinie soit à base circulaire, sur un
point placé à son sommet ; elle est donc la plus grande possible
pour une surface conique dont l’angle générateur est demi-droit.
PROBLÈME III. Déterminer l’intensité et la direction de la force attractive exercée par un arc de grand cercle sur le centre de la sphère ?
Solution. Il ne s’agit pour cela que de faire dans les
formules du Problème I, lesquelles deviendront ainsi
Ainsi, cette attraction, dirigée vers le milieu de l’arc, est proportionnelle au sinus de sa moitié, ou à la moitié de sa corde, et conséquemment à sa corde même ; elle est donc la même pour un arc que pour son complément à la circonférence, ce qui est d’ailleurs évident, puisqu’elle doit être nulle pour la circonférence entière ; elle est donc la plus grande possible pour une demi-circonference.
Corollaire. Telle sera donc aussi la loi d’attraction du plan d’un
angle indéfini ou d’un secteur de cercle, sur un point situé à son
sommet ou centre.
Remarque. Si l’on prend pour unité d’attraction celle qui est
exercée soit par un quart de circonférence ou par un quart de
cercle, soit par le plan d’un angle droit indéfini, sur son centre
ou sommet, on aura
d’où
au moyen de quoi la valeur de deviendra
C’est sous cette forme que nous emploirons dans le problème suivant.
PROBLÈME IV. Déterminer l’intensité et la direction de la force attractive exercée par le périmètre d’un triangle sphérique quelconque sur le centre de la sphère ?
Solution. Soient les trois angles du triangle, et les côtés respectivement opposés. D’après ce qui précède, tout se réduira à déterminer l’intensité ei la direction de la résultante de trois forces dirigées suivant les rayons
qui passent par les milieux des côtés du triangle, et
ayant respectivement pour expressions
(1)
Désignons respectivement par les arcs de grands cercles
qui joignent les milieux consécutifs des côtés du triangle, étant
opposé à à et à soient de plus les arcs
de grands cercles menés des mêmes milieux au point inconnu où
la sphère est percée par la résultante, partant du milieu de du milieu de et du milieu de nous aurons, par les
théories connues[1],
(2)
(3)
Cela posé, considérons le triangle dont les trois côtés sont
et dans lequel conséquemment l’angle opposé à est
ce triangle donnera, comme l’on sait,
mais le triangle proposé donne
ou bien
divisant donc cette dernière par la première, afin d’éliminer nous aurons
ou, en chassant le dénominateur et transposant,
mais on a
substituant donc, réduisant et formant les équations analogues pour les deux autres triangles dont et sont des côtés, nous aurons
(4)
On peut donc, à l’aide de ces dernières formules, calculer en fonction de Les premières donneront ensuite en fonction de ces mêmes quantités.
Par des principes connus, on a
ou, en développant et réduisant,
ou, en transformant les sinus en fonctions de cosinus et réduisant,
ou enfin
substituant dans la première des équations (4), et exécutant sur les deux autres une transformation analogue, nous aurons
(5)
Présentement, en vertu des formules (1), on a
on a ensuite, en vertu des mêmes formules et des formules (5),
ou, en réduisant au même dénominateur,
ou encore
ou enfin
mais, de la valeur de trouvée ci-dessus, on peut conclure
ajoutant à cette expression le double de la précédente, et ayant égard à l’équation (2), il viendra
ou encore
ou enfin
d’où
Telle est donc l’intensité de l’action exercée par le périmètre du triangle sphériqoe sur le centre de la sphère, du moins en prenant pour unité l’action exercée par le quart d’un grand cercle. Voyons actuellement quelle en sera la direction.
Cette direction perce la surface de la sphère en unt point dont
les distances aux trois sommets du triangle sphérique ayant pour
ses côtés sont Cherchons l’arc de grand cercle
abaissé perpendiculairement de ce même point sur l’un quelconque
des côtés de ce triangle, sur par exemple. Cet arc de grand
cercle n’est évidemment autre chose que l’arc abaissé perpendiculairement
sur le côté , du sommet opposé, dans le triangle sphérique
dont les trois côtés sont Représentons par l’arc
cherché, et soient les angles du triangle respectivement
opposés à dans le triangle sphérique rectangle dont l’hypothénuse
est et l’un des côtés de l’angle droit nous aurons
ou
ou encore
mais, par les formules connues,
d’où
substituant cette valeur dans celle de elle deviendra
d’où encore
valeur que l’on peut encore écrire sous cette forme
En substituant dans cette expression pour
et leur valeurs données par les équations (3), elle deviendra, en réduisant
et ayant égard à l’équation (2),
d’où
Or, est connu, par ce qui précède ; sont donnés, soit par les équations (4), soit par les équations (5) ; enfin, par les équations (1) on a on a donc tout ce qui est nécessaire pour déterminer l’arc de grand cercle ; abaissé du point cherché sur le côté du triangle sphérique dont les côtés sont ; on pourra donc, de la même manière, obtenir les arcs de grands cercles abaissés du même point perpendiculairement sur les deux autres ; on connaîtra donc ainsi les arcs de grands cercles abaissés perpendiculairement du point cherché sur les trois côtés d’un triangle sphérique donné de grandeur et de situation ; ce point peut donc être considéré comme étant complètement déterminé.
Corollaire Nous avons donc aussi résolu le problème où il s’agirait
de déterminer l’intensité et la direction de l’action totale de
la surface d’un angle trièdre, soit indéfini, soit terminé par des
arcs d’un même rayon quelconque, ayant leur centre commun à
son sommet, sur un point situé à ce sommet.
Remarque I. On se conduirait d’une manière analogue s’il était
question de déterminer l’intensité et la direction de l’action totale
exercée par le périmètre d’un polygone sphérique quelconque sur
le centre de la sphère, ou s’il était question de déterminer l’intensité
et la direction de l’action totale exercée par la surface d’un
angle polyèdre quelconque, soit indéfini, soit terminé par des arcs
d’un même rayon quelconque, ayant son sommet pour centre commun, sur un point situé à ce sommet ; mais il paraît que les
formules seraient d’une extrême complication.
Remarque II. Si le rayon de la sphère devient infini, le triangle
dont les côtés sont devient un triangle rectiligne ; et le
triangle dont les côtés sont devient également un triangle
rectiligne inscrit au premier, ayant ses côtés parallèles aux siens et
conséquemment d’une longueur moitié de celle de leur homologue
dans celui-là ; on a donc, dans ce cas, d’où
et par suite
est donc alors une fonction tout-à-fait symétrique ; le point où la résultante coupe le plan des deux triangles, lequel est alors évidemment le centre de gravité du périmètre du triangle dont les côtés sont est donc également distant des trois côtés de l’autre ; il est donc le centre du cercle inscrit à ce dernier ; ainsi, le centre de gravité du périmètre d’un triangle rectiligne quelconque est le centre du cercle inscrit au triangle rectiligne dont les sommets seraient les milieux des côtés de celui-là ; c’est le théorème de M. Poinsot. (Voyez sa Statique.)
PROBLÈME V. Déterminer l’intensité et la direction de la force attractive exercée par une zone sphérique quelconque, à bases parallèles, sur le centre de la sphère ?
Solution. Supposons que le pôle commun des deux bases de la
zone soit le pôle même de la sphère, et soient les distances
polaires des circonférences de ces deux bases ; il ne s’agira évidemment, pour résoudre le problème, que de supposer dans
les formules (I, II) ; elles deviendront ainsi
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action exercée par un corps compris entre deux surfaces coniques
de même axe et de même sommet, dont les angles générateurs
sont sur un point situé à ce sommet, soit que ce corps
soit indéfini, soit qu’on le suppose terminé, du côté opposé à son
sommet, par une surface sphérique de rayon quelconque, ayant
ce sommet pour centre.
PROBLÈME VI. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée sur le centre de la sphère, par la surface du triangle sphérique mixtiligne isocèle compris entre deux grands cercles et le petit cercle ayant leur intersection pour pôle ?
Solution. Supposons que les deux grands cercles dont il s’agit
soient deux méridiens formant entre eux un angle et soit
la distante polaire du petit cercle ; il suffira évidemment, pour
résoudre le problème proposé, de supposer
dans les formules (I, II), lesquelles deviendront ainsi
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action totale exercée par un angle solide trièdre indéfini, terminé
par deux plans et par une portion de surface conique de révolution
ayant son axe dans l’intersection des deux plans, sur un point
situé à son sommet, soit que cet angle solide soit indéfini, soit qu’on le suppose terminé, du côté opposé à son sommet, par une
surface sphérique de rayon quelconque, ayant ce sommet pour
centre.
PROBLÈME VII. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par la surface d’un triangle sphérique bi-rectangle quelconque sur le centre de la sphère ?
Solution. En supposant que les deux côtés égaux du triangle
dont il s’agit sont deux méridiens formant entre eux un angle
il ne s’agira, pour résoudre le présent problème, que de supposer
dans les formules du précédent ; elles deviendront ainsi
On voit par là que tend sans cesse a devenir ou que
tend sans cesse à devenir à peu près, à mesure
que diminue.
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action totale exercée par un angle solide trièdre bi-rectangle sur
son sommet, soit que cet angle solide soit indéfini, soit qu’on le
suppose terminé, du côté opposé au sommet, par une surface
sphérique de rayon quelconque, ayant ce sommet pour centre, de
manière à former une pyramide sphérique bi-rectangle.
PROBLÈME VIII. Déterminer l’intensité et la direction de
l’attraction exercée sur le centre de la sphère par la surface d’un
triangle sphérique tri-rectangle ?
Solution. Il ne s’agit évidemment pour cela que de supposer
dans les formules du précédent problème, lesquelles deviendront ainsi
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action totale exercée, soit par un angle solide trièdre tri-rectangle
indéfini, soit par une pyramide triangulaire sphérique solide trirectangle, sur un point situé à son sommet.
Remarque. De même que nous avons pris pour unité d’attraction
des angles plans, celle qui est exercée par l’angle droit plan ; il
paraît naturel de prendre, pour unité d’attraction des angles solides
polyèdres, celle qui, est exercée par l’angle solide trièdre trirectangle ; on a ainsi
d’où
C’est sous cette forme que nous emploirons à l’avenir la valeur de
PROBLÈME IX. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par une calotte sphérique sur le centre de la sphère ?
Solution. En désignant par la distance polaire du petit cercle
qui termine la calotte dont il s’agit, on parviendra également à la
solution de ce problème, soit en faisant dans les formules
du Problème V, soit en faisant, dans les formules du
Problème VI. Par l’une ou par l’autre voie, on trouvera également,
en ayant égard à la valeur de à déterminée ci-dessus,
Cette force, dirigée vers le pôle, est donc proportionnelle au quarré du sinus de la distance polaire du petit cercle qui termine la calotte, ou ce qui revient au même, au quarré du rayon de cette base, et par conséquent à l’aire même de cette base ; elle est donc la même pour les deux calottes qui complètent la surface ce qui est d’ailleurs évident, puisqu’elle doit être nulle pour la sphère entière. On peut remarquer encore que pour les distances polaires de les intensités suivent le rapport des nombres
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action totale d’un cône de révolution solide homogène et indéfini
ou d’un secteur sphérique sur un point situé à son sommet ; cette
action sera donc la plus grande possible, soit pour un corps indéfini
terminé d’une part par un plan indéfini, soit pour un hémisphère solide et homogène.
Remarque, En rapprochant de la solution de ce problème celle
que nous avons obtenue pour le Problème III, on en voit ressortir
une analogie très-remarquable entre l’une et l’autre. Le plan
du cercle qui sert de base à une calotte sphérique est en effet,
par rapport à cette calotte, ce qu’est la corde d’un arc par rapport
à cet arc même ; et, de même que l’attraction exercée par l’arc
se trouve proportionnelle à sa corde, celle qu’exerce la calotte sphérique
se trouve, semblablement, proportionnelle à l’aire de sa base.
PROBLÈME X. Déterminer l’intensité la direction de l’attraction exercée par un fuseau sphérique sur le centre de la sphère ?
Solution. En désignant par l’angle des plans des deux grands
cercles qui terminent le fuseau, il suffira évidemment de supposer
dans les formules du Problème VI, ce qui donnera, en
ayant d’ailleurs égard à la valeur assignée à
Cette force, dirigée vers le milieu de l’arc de l’équateur intercepté
entre les deux méridiens qui bornent le fuseau, est donc proportionnelle à la corde de cet arc ; elle est donc la même pour un fuseau quelconque que pour son complément à la sphère, ainsi que
cela doit être ; elle est donc la plus grande possible pour la surface
de l’hémisphère. On peut encore remarquer que, pour les fuseaux
de les forces seront entre elles comme les nombres
Corollaire. Telles seront donc aussi l’intensité et la direction de
l’action totale exercée soit par un angle solide dièdre homogène
et indéfini sur un point de son arête, soit par un onglet sphérique homogène, compris entre les plans de deux grands cercle.
sur le milieu de son arête rectiligne.
Remarque I. La comparaison des résultats que nous venons d’obtenir avec celui où nous a conduit le Problème III donne lieu à
un rapprochement très-remarquable : il consiste en ce que l’attraction exercée par un angle solide dièdre homogène et indéfini sur
un point de son arête croit et décroit exactement comme celle
qu’exercerait sur le même point le plan de la section faite perpendiculairement à l’angle solide par le même point ; de sorte qu’il
n’y a absolument entre l’une et l’autre forces qu’une simple différence d’intensité.
Remarque II. Si l’on demandait quelle doit être la grandeur de
l’angle dièdre pour que son action sur un point de son arête fût
double de celle qu’exercerait sur ce même point un angle trièdre
tri-rectangle dont il serait le sommet, il suffirait de faire
ce qui donnerait
d’où
cela donne et Ainsi, un point placé sur l’arète d’un angle dièdre solide homogène et indéfini de en est deux fois plus attiré, toutes choses égales d’ailleurs, qu’il ne le serait par un angle trièdre solide tri-rectangle indéfini au sommet duquel il se trouverait situé.
LEMME II. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exircée par une portion de fuseau sphérique infiniment étroit
sur le centre de la sphère ?
Solution En supposant que les arcs de grands cercles qui bornent
le fuseau soient des arcs de méridiens, d’une longueur commune
égale à et formant entre eux un angle égal à a, il suffira
évidemment, pour parvenir au but, de changer en dans les
formules du Problème VI ; observant qu’alors il viendra
PROBLÈME XI. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par la surface d’un triangle sphérique quelconque
sur le centre de la sphère ?
Solution. Le triangle sphérique dont il s’agit étant donné, ses
angles et ses côtés doivent l’être aussi. Soient donc ses
trois côtés et les angles respectivement opposés. Supposons-le tellement situé sur la sphère que son côté se confonde
avec le premier méridien et le sommet de son angle avec le pôle.
Considérons sur ce triangle une portion de fuseau infiniment
étroite ayant son sommet en et se terminant au côté opposé ;
soit l’angle que forme l’un des deux méridiens qui borne cette
portion de fuseau avec le premier méridien ; soit l’angle des
deux méridiens qui le terminent, et soit enfin leur
longueur
commune jusqu’au côté (car, à cause de l’angle infiniment petit
qu’ils comprennent, il est permis de les supposer égaux). Si nous
désignons par l’action exercée par cet élément sur le centre
de la sphère et par l’angle que fait sa direction avec le rayon
qui va au pôle, nous aurons, par le Lemme II,
et, d’après les principes connus sur les triangles sphériques, les variables, et se trouveront liées entre elles par la relation
(1)
de laquelle on tire, par différentiation,
(2)
Considérant, dans ces deux équations, et comme deux inconnues, nous en tirerons
ajoutant ensemble les quarrés de ces deux équations, nous aurons, en réduisant,
d’où
substituant cette valeur de dans celle de elle deviendra
Cherchons présentement à décomposer cette force en trois autres
passant par les sommets ou plutôt
cherchons seulement la composante passant par le sommet
attendu que de celle-là il sera facile de conclure les deux autres.
Pour y parvenir, remarquons que, par les principes de la statique,
on a
d’où
mais, d’après l’expression de on trouve,
d’où résulte
et par conséquent
mettant enfin pour la dernière valeur trouvée ci-dessus, nous aurons
Voici donc finalement à quoi se réduit la question. Il faudra
intégrer entre et c’est-à-dire, entre
et
on obtiendra ainsi une expression de que l’on pourra toujours amener à n’être uniquement fonction que des trois côtés du triangle proposé, et de laquelle, par une simple permutation de lettres, on conclura les valeurs de on connaîtra donc les intensités et les directions de trois composantes passant respectivement par les points d’où il sera facile de conclure l’intensité et la direction de leur résultante
Dans un article supplémentaire, nous tenterons d’intégrer l’expression de et de compléter ainsi la solution de notre problème.