Solution nouvelle du problème où il s’agit d’inscrire à un triangle donné quelconque trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ;
Par M. Lechmütz, docteur en philosophie à Berlin.
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Au Rédacteur des Annales.
Monsieur,
En donnant, dans votre estimable recueil[1], l’historique du
curieux problème dont je vais avoir l’honneur de vous entretenir,
et en faisant connaître la solution extrêmement simple qui en a été
donnée par un célèbre géomètre italien ; vous avez témoigné le
regret qu’on en fût réduit à justifier à posteriori la formule finale
de Malfatti, en prouvant qu’elle satisfait aux équations qu’il s’agit
de résoudre ; sans qu’on aperçoive comment, à l’aide de ces seules
équations, on pourrait parvenir à cette même formule, si elle
était inconnue, ou du moins à toute autre équivalente et d’une
facile construction.
Cette considération m’ayant déterminé à revenir de nouveau et
tout récemment sur ce singulier problème ; j’ai été assez heureux
pour en obtenir une solution que sa simplicité et son élégance vous
feront peut-être juger de nature à ne point déparer votre recueil ;
et qu’en conséquence je vais exposer brièvement.
Soient les trois sommets d’un triangle quelconque ;
soit le centre du cercle inscrit, dont nous prenons le rayon pour
unité. De ce centre, soient abaissées respectivement, sur les côtés
les perpendiculaires et soient
de plus menées du même point aux sommets les droites
Soient faits
nous aurons
Nous aurons de plus, parce que vaut quatre angles droits,
ou bien, en chassant le dénominateur et transposant
Il s’agit donc d’inscrire à ce triangle trois cercles tels que chacun
d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ; et il est
d’abord clair que les centres de ces cercles devront être situés sur
les droites qui divisent ces angles en deux parties
égales. Soient respectivement ces centres, et
les rayons qui leur correspondent.
Si l’on projette orthogonalement les centres sur le côté
leurs projections diviseront ce
côté en trois segmens dont les extrêmes seront évidemment Quant au segment intermédiaire, il ne sera autre chose
que la projection de la distance des centres et sera
conséquernment
égalant donc la somme de ces trois parties à la première expression du côté on aura
La considération des deux autres côtés donnera des équations
analogues, de sorte qu’en faisant, pour abréger,
tout se trouvera réduit à résoudre, par rapport à les trois équations
avec la condition
(4)
En multipliant en croix les équations (2, 3) et réduisant, on a
mais l’équation (4) donne
d’où
substiluant donc, et supprimant le dénominateur commun, on aura
ou encore
ou, en transposant,
ou encore
ou, en extrayant les racines et divisant,
Nous ne donnons pas de double signe au second membre de cette équation, parce qu’ici nous n’avons simplement en vue que les cercles intérieurs au triangle, se touchant extérieurement.
Par une simple permutation de lettres, on conclura de là
ajoutant ces deux dernières membre à membre, disparaîtra, et il viendra
mais, à cause de
on a
substituant donc, et chassant les dénominateurs, il viendra
Les coefficiens des deux membres peuvent d’abord être écris ainsi
en considérant ensuite que
ils prendront cette nouvelle forme
c’est-à-dire, qu’ils ont un facteur commun ; en supprimant donc ce facteur, l’équation deviendra simplement
En posant donc ; pour abréger,
on tirera de là, par une simple permutation de lettres,
d’où
(5)
Retournons présentement à nos équations primitives ; si de la somme des équations (2, 3) nous retranchons l’équation (1), en supprimant le facteur commun à tous les termes de l’équation résultante ; elle deviendra
mettant dans celle-ci pour
et leurs valeurs (5), elle deviendra
ou
(6)
Or, on a, d’après les valeurs de
ou bien, en remplaçant par son égal
On a ensuite
d’où, en multipliant par
et
remplaçant respectivement
et
par
et
,
donc, en ajoutant et réduisant,
En remplaçant par son équivalent cela deviendra
substituant donc celle valeur dans l’équation (6), et supprimant le facteur commun aux deux membres, elle deviendra simplement
Par une simple permutation de lettres, on obtiendra les équations en de sorte qu’on a finalement
Cela posé, soient prolongés jusqu’à ce qu’ils
rencontrent de nouveau la circonférence du cercle insciit en
puis des sommets pris respectivement pour
centres, et avec les rayons
soient décrits des arcs coupant respectivement en
nous aurons ainsi
Les trois longueurs étant ainsi déterminées, on en pourra conclure, par une construction unique, les trois rayons cherchés Pour cela, on construira un triangle dont les trois côtés soient respectivement égaux à ces trois longueurs ; par les sommets on mènera des droites se terminant aux côtés opposés en et tellement dirigées qu’on ait
alors, en vertu de la proportionnalité des côtés homologues des triangles semblables, les longueurs seront les diamètres des cercles cherchés, ayant respectivement leurs centres en
Ces expressions des rayons des cercles une fois trouvées, rien
de plus facile que de leur substituer telles autres inconnues qu’on
voudra. En prenant, par exemple, pour inconnues les distances
des sommets auxquelles les cercles cherchés touchent les côtés du
triangle, ces inconnues seront
et l’on aura
Or, d’après les valeurs trouvées ci-dessus pour et on a
donc
c’est-à-dire,
ou encore
ce qui revient exactement à la construction de Malfalti. (Voyez l’article cité, tom. I, pag. 347).
Si l’on voulait prendre pour inconnues les distances des sommets aux centres correspondans, ces inconnues seraient
respectivement et l’on trouverait,
par exemple, d’après ce qui précède,
Si enfin on voulait prendre pour inconnues les distances ces inconnues seraient respectivement
et l’on trouverait, par exemple,
En variant les signes des radicaux d’une manière convenable, et en
substituant au cercle inscrit, proprement dit, chacun des trois autres
cercles qui peuvent toucher à la fois les trois côtés du triangle,
on obtiendra toutes les solutions dont le problème peut être
susceptible[2].
Berlin, le 23 janvier 1820.
↑ Voyez tom. I, pag. 343 ; tom. II, pag. 60 et 65.
↑ La simplicité de cette solution engagera peut-être quelqu’un à tenter celle
au problème analogue pour le tétraèdre, qui a été proposé à la page 287
du II.e volume de ce recueil.