ANALISE TRANSCENDANTE.
De l’intégration approchée des équations différentielles ;
Par
M. le professeur
Kramp, correspondant de l’académie
royale des sciences, doyen de la faculté des sciences de
Strasbourg, Chevalier de l’Ordre royal de la Légion d’honneur.
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I. Dans un précédent mémoire nous nous sommes occupés de
l’intégration approchée de l’équation
dont l’intégrale rigoureuse est
Si l’on fait
cette intégrale devient
désignant par ce que devient Q dans les suppositions particulières de nous avons vu que l’intégrale de cette équation, où la quantité pourrait être représentée par une expression de cette forme
et qu’on avait alors, pour le diviseur
et ainsi de suite. Ces résultats ne sont pas seulement approximatifs ; mais ils sont exacts, à la rigueur, toutes les fois que la fonction est une puissance de à exposant entier et positif ce qui rend la quantité intégrable par elle-même. Si cette condition n’est pas remplie, les résultats que nous venons de donner ne seront qu’approximatifs, mais de manière qu’en se servant seulement du diviseur six on aura du moins, dans les cas ordinaires, l’intégrale jusqu’à cinq décimales au moins ; et qu’avec le divisear neuf on pourra aller jusqu’à douze.
2. On rend celle équation un peu plus générale en affectant
du facteur constant elle devient alors
Nous avons déjà remarqué qu’elle se réduit facilement à la première, par la simple supposition qui donne
étant une fonction de plus ou moins différente de la première. Ce procédé fort simple est en effet plus que suffisant dans toutes les intégrations particulières des équations de la forme
dans lesquelles est une fonction de mais on serait forcé de le reconnaître insuffisant dans les équations des ordres plus élevés, telles que
et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en
la véritable valeur de l’inconnue
3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup
plus difficile. En posant
on a
et
substituant donc dans l’équation
elle deviendra
En désignant encore ici par ce que devient lorsqu’on y fait successivement et faisant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
on aura les différences consécutives de la manière qui suit :
. . . . . . . . . .
On regardera les quantités
comme données et les coefficiens
comme les inconnues du problème. Il sera donc facile de trouver celles-ci, en commençant par la dernière, pour laquelle j’ai pris le douzième coefficient, désigné par la lettre De celle-ci on remontera à de on ira jusqu’à et ainsi de suite. On aura ainsi les valeurs des douze premiers coefficiens
ainsi qu’il suit :
1.o Coefficient A.
2.o Coefficient B.
3.o Coefficient C.
4.o Coefficient D.
5.o Coefficient E.
6.o Coefficient F.
7.o Coefficient G.
8.o Coefficient H.
9.o Coefficient I.
10.o Coefficient K.
12.o Coefficient M.
13.o Coefficient N.
4. Les valeurs des coefficiens de cette longue série de résultats
se présentent très-facilement ; pour peu qu’un ait sous les yeux
la table de ceux des facultés numériques, telle que je l’ai donnée
dans mon Analise des réfractions, et dont je vais donner une
copie, continuée jusqu’à douze. La voici :
5. Supposons à présent qu’on demande la partie de la série qui
fait connaître le quatrième coefficient, ou Cette série commence
par la troisième différence de ou par qui est multipliée
par l’unité seule.
Le second terme sera la différence plus élevée d’une unité, ou
bien
Pour trouver les nombres qui multiplient cette quatrième différence ; on prendra ceux de la quatrième faculté, ou de
à commencer par le troisième terme de cette faculté ; on aura
on les multipliera, le premier, par le second, par on
aura
les produits il en résultera c’est le coefficient
de
Le troisième terme sera
multiplié par une fonction trinôme de Pour trouver les coefficiens de cette fonction, prenez, dans
la faculté suivante, ou dans les termes, à commencer depuis
le troisième ; c’est-à-dire, multipliez ces trois termes,
le premier par le second par
et le troisième par
vous aurez c’est-à-dire, il en résultera
c’est le coefficient de
Le quatrième sera multiplié par une fonction quadrinome de Prenez, dans la faculté suivante, ou dans les termes à
commencer depuis le quatrième, savoir ; multipliez
ces quatre nombres, le premier, par le second, par le
troisième, par et le quatrième, par vous
aurez les produits
c’est-à-dire,
il en résultera le quadrinome c’est le coefficient de
Le cinquième sera multiplié par une fonction pentanome de Prenez, dans la faculté suivante, ou dans les termes à
commencer depuis le cinquième, savoir,
multipliez ces cinq nombres, le premier, par le second, par
le troisième, par le quatrième, par le
cinquième, par vous aurez les produits
Il en resulte le polynôme :
c’est le coefficient de
Le sixième sera multiplié par une fonction hexanome de Prenez, dans la faculté suivante, ou dans les termes à
commencer depuis le sixième, savoir ;
multipliez-les par ceux de la progression hyper-géométrique,
vous aurez pour produits les coefficiens
du polynôme
ce sera le coefficient de
On continuera de la même manière, tant qu’on voudra, c’est-à-dire, jusqu’à la douzième faculté ; c’est là où nous avons arrêté
nos calculs.
6. Quant à la progression par laquelle il faudra multiplier les
nombres pris dans la table générale des facultés, il faudra remarquer que
Pour c’est la série hyper géométrique ordinaire, savoir ;
Pour c’est la même série.
Pour c’est cette même série, à partir du second terme et
divisée par c’est-à-dire,
Pour c’est cette dernière, à partir du second terme, et divisée par c’est-à-dire,
Pour c’est la précédente, à partir de son second terme, et
divisée par c’est-à-dire.
Pour c’est
7. Soit On aura
et la valeur intégrale et rigoureuse de sera
dans cette même supposition, on aura
d’où on conclura
On aura ainsi
et ainsi de suite.
Et enfin en mettant pour leurs valeur
en d’après les formules connues, on aura
et ainsi de suite.
8. Exemple. Soit l’équation sera
elle aura pour intégrale complète
La méthode actuelle donne
On aura donc, pour
donc
Pour on aura
donc
Pour on aura
donc
Pour on aura
donc Et ainsi de suite.
Or, toutes ces valeurs, tant de que de sont visiblement
comprises sous la loi générale
ainsi l’intégrale complète sera
9. La méthode est sur-tout infiniment précieuse dans les cas
innombrables où la différentielle
ou, plus généralement,
n’est pas intégrable à la rigueur ; parce qu’alors elle fait connaître la véritable valeur de l’inconnue ou de la variable avec une approximation beaucoup plus rapide que toute autre méthode connue ; ce que nous ferons voir dans le premier mémoire qui suivra celui-ci.