ANALISE TRANSCENDANTE.
De l’intégration approchée des équations différentielles ;
Par
M. le professeur
Kramp, correspondant de l’académie
royale des sciences, doyen de la faculté des sciences de
Strasbourg, Chevalier de l’Ordre royal de la Légion d’honneur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. Dans un précédent mémoire nous nous sommes occupés de
l’intégration approchée de l’équation
![{\displaystyle y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8877e4c90ef97def69ec64edcfe39cdffc9951d0)
dont l’intégrale rigoureuse est
![{\displaystyle y=e^{-x}\int e^{x}Q\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b98f1ad14bf605a4950917faad763a6796fafb6)
Si l’on fait
![{\displaystyle \int e^{x}Q\operatorname {d} x=A+X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea42f6e7b543a1087b1cddbd0c543e7f9ecf36ae)
cette intégrale devient
![{\displaystyle y=Ae^{-x}+Xe^{-x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae68e91e27c4c16a491d1f4fd10ad564d03790)
désignant par
ce que devient Q dans les suppositions particulières de
nous avons vu que l’intégrale de cette équation, où la quantité
pourrait être représentée par une expression de cette forme
![{\displaystyle y=Aq_{0}+Bq_{1}+Cq_{2}+Dq_{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0142b7b15557359c8661b10f1f5b450a2d6f3c52)
et qu’on avait alors, pour le diviseur
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\text{Deux}}\,;&2y=&q_{0}+q_{2}\,;\\&{\text{Trois}}\,;&6y=&2q_{0}-3q_{1}+6q_{2}+q_{3}\,;\\&{\text{Quatre}}\,;&6y=&q_{0}-2q_{1}+3q_{2}+2q_{3}+2q_{4}\,;\\&{\text{Cinq}}\,;&60y=&7q_{0}-25q_{1}+50q_{2}-40q_{3}+55q_{4}+13q_{5}\,;\\&{\text{Six}}\,;&360y=&19q_{0}-72q_{1}+135q_{2}-80q_{3}+45q_{4}+216q_{5}+97q_{6}\,;\\&{\text{Sept}}\,;&5040y=&216q_{0}-1246q_{1}+3528q_{2}-5670q_{3}+6440q_{4}\\&&&-3906q_{5}+4536q_{6}+1142q_{7}\,;\\&{\text{Huit}}\,;&40320y=&600q_{0}-3072q_{1}+6832q_{2}-5376q_{3}-3360q_{4}\\&&&+17920q_{5}-14448q_{6}+31488q_{7}+9736q_{8}\,;\\&{\text{Neuf}}\,;&15120y=&260q_{0}-2115q_{1}+8218q_{2}-1927q_{3}+30744q_{4}\\&&&-34030q_{5}+28560q_{6}-14778q_{7}+14148q_{8}+3391q_{9}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418f0ce1111e079cba8c7618084e9dcf8555e756)
et ainsi de suite. Ces résultats ne sont pas seulement approximatifs ; mais ils sont exacts, à la rigueur, toutes les fois que la fonction
est une puissance de
à exposant entier et positif ce qui rend la quantité
intégrable par elle-même. Si cette condition n’est pas remplie, les résultats que nous venons de donner ne seront qu’approximatifs, mais de manière qu’en se servant seulement du diviseur six on aura du moins, dans les cas ordinaires, l’intégrale jusqu’à cinq décimales au moins ; et qu’avec le divisear neuf on pourra aller jusqu’à douze.
2. On rend celle équation un peu plus générale en affectant
du facteur constant
elle devient alors
![{\displaystyle y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053e7c10268ad95a16e35230bfcd8275ddd7a410)
Nous avons déjà remarqué qu’elle se réduit facilement à la première, par la simple supposition
qui donne
![{\displaystyle y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}}=Q'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653d93c6703c6981935697c1c3b8c04aa86fa372)
étant une fonction de
plus ou moins différente de la première. Ce procédé fort simple est en effet plus que suffisant dans toutes les intégrations particulières des équations de la forme
![{\displaystyle y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27542f092e5716f752aa8790539621a87d439ef6)
dans lesquelles
est une fonction de
mais on serait forcé de le reconnaître insuffisant dans les équations des ordres plus élevés, telles que
![{\displaystyle y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763be16e8544c83d02be54b8497d646533a124de)
![{\displaystyle y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+C{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a5533ba8ccb77fcf0d516278250277dab9841b)
et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en
la véritable valeur de l’inconnue ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup
plus difficile. En posant
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a4cb47646144bdffe56161b8ddcb17b845c246)
on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4977d2c4a26fa512fcd822214881e7da47229610)
et
![{\displaystyle n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=nB+2nCx+3nDx^{2}+4nEx^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82377025a2fdc828ae9154e8e67156cbc3e5c620)
substituant donc dans l’équation
![{\displaystyle y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27542f092e5716f752aa8790539621a87d439ef6)
elle deviendra
![{\displaystyle Q=(A+nB)+(B+2nC)x+(C+3nD)x^{2}+(D+4nE)x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777eb67d3487e00c0c7e53282139410b6a8b991f)
En désignant encore ici par
ce que devient
lorsqu’on y fait successivement
et faisant
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\Delta q=&q_{1}-q_{0},\\2\Delta ^{2}q=&q_{2}-2q_{1}+q_{0},\\6\Delta ^{3}q=&q_{3}-3q_{2}+3q_{1}-q_{0},\\24\Delta ^{4}q=&q_{4}-4q_{3}+6q_{2}-4q_{1}+q_{0},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a956067afd689318709974b4a896f941454589)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
on aura les différences consécutives
de la manière qui suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}q=&A+nB,\\\Delta \ q=&B+(1+2n)C+(1+3n)D+(1+4n)E+(1+5n)F+(1+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{2}q=&C+(3+3n)D+(7+12n)E+(15+35n)F+(31+90n)G+\ldots ,\\\Delta ^{3}q=&D+(6+4n)E+(25+30n)F+(90+150n)G+\ldots ,\\\Delta ^{4}q=&E+(10+5n)F+(65+60n)G+\ldots ,\\\Delta ^{5}q=&F+(15+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{6}q=&G+\ldots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377187e4afa4004f2166fa46395de2311ad01c41)
. . . . . . . . . .
On regardera les quantités
comme données et les coefficiens
comme les inconnues du problème. Il sera donc facile de trouver celles-ci, en commençant par la dernière, pour laquelle j’ai pris le douzième coefficient, désigné par la lettre
De celle-ci on remontera à
de
on ira jusqu’à
et ainsi de suite. On aura ainsi les valeurs des douze premiers coefficiens
ainsi qu’il suit :
1.o Coefficient A.
![{\displaystyle {\begin{aligned}A=q&-n\Delta q+n(1+2n)\Delta ^{2}q-n\left(2+6n+6n^{2}\right)\Delta ^{3}q\\&+n\left(6+22n+36n^{2}+24n^{3}\right)\Delta ^{4}q\\&-n\left(24+100n+210n^{2}+240n^{3}+120n^{4}\right)\Delta ^{5}q\\&+n\left(120+548n+1350n^{2}+2040n^{3}+1800n^{4}+720n^{5}\right)\Delta ^{6}q\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae515f3ee9c2054ad81ac0eddad068457ef41b57)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-n\left(720+3528n+9744n^{2}+17640n^{3}+21000n^{4}\right.\\&\qquad \left.+15120n^{5}+5040n^{6}\right)\Delta ^{7}q\\&+n\left(5040+26136n+78792n^{2}+162456n^{3}+2325200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+231840n^{5}+741120n^{6}+40320n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&-n\left(40320+219168n+708744n^{2}+161481n^{3}\right.\\&\qquad +2693880n^{4}+3265920n^{5}+2731840n^{6}\\&\qquad \left.+1451520n^{7}+362880n^{8}\right)\Delta ^{9}q\\&+n\left(362880+2053152n+7036200n^{2}+17368320n^{3}\right.\\&\qquad +32319000n^{4}+45554560n^{5}+47628000n^{6}\\&\qquad \left.+35078400n^{7}+16329600n^{8}+3628800n^{9}\right)\Delta ^{10}q\\&-n\left(3628800+21257280n+76521456n^{2}+201828000n^{3}\right.\\&\qquad +410031600n^{4}+649479600n^{5}+795175920n^{6}\\&\qquad +731808000n^{7}+479001600n^{8}+199584000n^{9}\\&\qquad \left.+39916800n^{10}\right)\Delta ^{11}q\\&+n\left(39916800+241087680n+905507856n^{2}\right.\\&\qquad +2526193824n^{3}+5519487600n^{4}+9604465200n^{5}\\&\qquad +13293292320n^{6}+14411295360n^{7}+11855289600n^{8}\\&\qquad \left.+6985440000n^{9}+2634508800n^{10}+479001600n^{11}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993c5539f54c3553adac69ebc39fc293589312ec)
2.o Coefficient B.
![{\displaystyle {\begin{aligned}B=\Delta q&-(1+2n)\Delta ^{2}q+n\left(2+6n+6n^{2}\right)\Delta ^{3}q-\left(6+22n+36n^{2}+24n^{3}\right)\Delta ^{4}q\\&+\left(24+100n+210n^{2}+240n^{3}+120n^{4}\right)\Delta ^{5}q\\&-\left(120+548n+1350n^{2}+2040n^{3}+1800n^{4}+720n^{5}\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(720+3528n+9744n^{2}+17640n^{3}+21000n^{4}+15120n^{5}+5040n^{6}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(5040+26136n+78792n^{2}+162456n^{3}+2325200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+231840n^{5}+741120n^{6}+40320n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(40320+219168n+708744n^{2}+161481n^{3}+2693880n^{4}\right.\\&\qquad \left.+3265920n^{5}+2731840n^{6}+1451520n^{7}+362880n^{8}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(362880+2053152n+7036200n^{2}+17368320n^{3}+32319000n^{4}\right.\\&\qquad +45554560n^{5}+47628000n^{6}+35078400n^{7}\\&\qquad \left.+16329600n^{8}+3628800n^{9}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(3628800+21257280n+76521456n^{2}+201828000n^{3}\right.\\&\qquad +410031600n^{4}+649479600n^{5}+795175920n^{6}\\&\qquad +731808000n^{7}+479001600n^{8}+199584000n^{9}\\&\qquad \left.+39916800n^{10}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(39916800+241087680n+905507856n^{2}+2526193824n^{3}\right.\\&\qquad +5519487600n^{4}+9604465200n^{5}+13293292320n^{6}\\&\qquad +14411295360n^{7}+11855289600n^{8}+6985440000n^{9}\\&\qquad \left.+2634508800n^{10}+479001600n^{11}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd157239d827a4c948440ef4df3bcabbebb609ac)
3.o Coefficient C.
![{\displaystyle {\begin{aligned}C=\Delta ^{2}q&-\left(3+3n\right)\Delta ^{3}q+\left(11+18n+12n^{2}\right)\Delta ^{4}q-\left(50+105n+120n^{2}+60n^{3}\right)\Delta ^{5}q\\&+\left(274+675n+1020n^{2}+900n^{3}+360n^{4}\right)\Delta ^{6}q\\&-\left(1764+4872n+8820n^{2}+10500n^{3}+7560n^{4}+2520n^{5}\right)\Delta ^{7}q\\&+\left(13068+39396n+81228^{2}+117600n^{3}+115920n^{4}\right)\\&\qquad \left.+70560n^{5}+80160n^{6}+n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(109584+354372n+807408n^{2}+1396940n^{3}\right)\\&\qquad \left.1632960n^{4}+1375920n^{5}+725760n^{6}+181440n^{7}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(1026576+3518100n+8684160n^{2}+16159500n^{3}\right.\\&\qquad +22778280n^{4}+23814000n^{5}+17539200n^{6}\\&\qquad \left.+8164800n^{7}+1814400n^{8}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(10628640+38260728n+100914000n^{2}+2050158n^{3}\right.\\&\qquad +324739800n^{4}+397587960n^{5}+365904000n^{6}\\&\qquad \left.+239500800n^{7}+99792000n^{8}+19958400n^{9}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(120543840+452753928n+1263096912n^{2}\right.\\&\qquad +2759748800n^{3}+4802232600n^{4}+6646646160n^{5}\\&\qquad +7205647680n^{6}+5927644800n^{7}+3492720000n^{8}\\&\qquad \left.+1317254400n^{9}+239500800n^{10}\right)\Delta ^{12}q.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7185366743c8a3536cb50f27b67ac87a54a785df)
4.o Coefficient D.
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=\Delta ^{3}q-(6+4n)\Delta ^{4}q+\left(35+40n+20n^{2}\right)\Delta ^{5}q\\&\qquad -\left(225+340n+300n^{2}+120n^{3}\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(1624+2940n+3500n^{2}+2520n^{3}+840n^{4}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(13132+27076n+39200n^{2}+38640n^{2}+23520n^{4}+6720n^{5}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(118124+269136n+448980n^{2}+544320n^{3}+458640n^{4}\right.\\&\qquad \left.+241920n^{5}+60480n^{6}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(1172700+2894720n+5386500n^{2}+7592760n^{3}\right.\\&\qquad \left.+7938000n^{4}+5846400n^{5}+2721600n^{6}+604800n^{7}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(12753576+33638000n+683386040n^{2}+108246600n^{3}\right.\\&\qquad +132529320n^{4}+121968000n^{5}+79833600n^{6}\\&\qquad \left.+33264000n^{7}+6652800n^{8}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(150917976+421032304n+919914600n^{2}\right.\\&\qquad +1600744200n^{3}+2215548720n^{4}\\&\qquad +2401882560n^{5}+1975881600n^{6}\\&\qquad +1164240000n^{7}+439084800n^{8}\\&\qquad \left.+79833600n^{9}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fadb82e63cee254fb38b9e58d05f319cef7097f)
5.o Coefficient E.
![{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\Delta ^{4}q-(10+5n)\Delta ^{5}q+\left(86+75n+30n^{2}\right)\Delta ^{6}q\\&-\left(735+875n+630n^{2}+210n^{3}\right)\Delta ^{7}q\\&+\left(6769+9800n+9660n^{2}+5880n^{3}+1680n^{4}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(67284+112245n+136080n^{2}+114660n^{3}+6048n^{4}\right.\\&\qquad \left.+13720n^{5}\right)\Delta ^{9}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c149733ca1b40b9937a7d4aec9cbf5d7c77172)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left(723680+1346625n+1898190n^{2}+1984500n^{3}\right.\\&\qquad \left.+1461600n^{4}+680400n^{5}+151200n^{6}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(8409500+17084650n+27061650n^{2}+33132330n^{3}\right.\\&\qquad +30492000n^{4}+19958400n^{5}+8316000n^{6}\\&\qquad \left.+1663200n^{7}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(105258076+229978650n+400186050n^{2}+553887180n^{3}\right.\\&\qquad +600470640n^{4}+493970400n^{5}+291060000n^{6}\\&\qquad +\left.109771200n^{7}+19958400n^{8}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72946420c8a82c1ed75f7542f4d01302a4fab1cd)
6.o Coefficient F.
![{\displaystyle {\begin{aligned}F&=\Delta ^{5}q-(15+6n)\Delta ^{10}q+\left(175+126n+42n^{2}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(1960+1932n+1176n^{2}+336n^{3}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(22449+27216n+22932n^{2}+12096n^{3}+3024n^{4}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(269325+379638n+396900n^{2}+292320n^{3}\right.\\&\qquad \left.+136080n^{4}+30240n^{5}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(3416930+5412330n+6626466n^{2}+6098400n^{3}\right.\\&\qquad \left.+3991680n^{4}+1663200n^{5}+332640n^{6}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(45995730+80037210n+110777436n^{2}+120094128n^{3}\right.\\&\qquad +98794080n^{4}+58212000n^{5}+21954240n^{6}\\&\qquad \left.+3991680n^{7}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c4a08d50dd09c83358afb2fcb3246d7f1fb045)
7.o Coefficient G.
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&=\Delta ^{6}q--(21+7n)\Delta ^{7}q+\left(322+169n+56n^{2}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(4536+3822n+2016n^{2}+504n^{3}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(63273+16150n+48720n^{2}+22680n^{3}+5040n^{4}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(902055+1104411n+1016400n^{2}+665280n^{3}+277200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+55440n^{5}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(13339535+18462906n+20015688n^{2}+16465680n^{3}\right.\\&\qquad \left.+9702000n^{4}+3659040n^{5}+665280n^{6}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6fd6eea0a300ac81b2486f6c87b88ec921e430)
8.o Coefficient H.
![{\displaystyle {\begin{aligned}H&=\Delta ^{7}q-(28+8n)\Delta ^{8}q+\left(546+288n+72n^{2}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(9450+6960n+3240n^{2}+720n^{3}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(157773+145200n+95040n^{2}+39600n^{3}+7920n^{4}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(2637558+2859384n+2352241n^{2}+1386000n^{3}\right.\\&\qquad \left.+322720n^{4}+95040n^{5}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c1fd9d2839a9d81c44b555885b7f7bc9b20433)
9.o Coefficient I.
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\Delta ^{8}q-(36+9n)\Delta ^{9}q+\left(870+405n+90n^{2}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(18150+11880n+4950n^{2}+990n^{3}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(357423+294030n+173250n^{2}+65340n^{3}+11880n^{4}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a9f786cff395d9e5991b49d959a27616b58268)
10.o Coefficient K.
![{\displaystyle {\begin{aligned}K&=\Delta ^{9}q-(45+10n)\Delta ^{10}q+\left(1320+550n+110n^{2}\right)\Delta ^{11}q\\&\qquad +\left(32670+19250n+7260n^{2}+1320n^{3}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d6e13f0cda932b2a9a145fe25121fb968ff1a2)
![{\displaystyle L=\Delta ^{10}q-(55+11)\Delta ^{11}q+\left(1925+726n+132n^{2}\right)\Delta ^{12}q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37400163d82f3f9e57ba08226b7144947efe5d79)
12.o Coefficient M.
![{\displaystyle M=\Delta ^{11}q-(66+12n)\Delta ^{12}q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c199cf9196ceb8e2d851a7ed80df355fbf1f147)
13.o Coefficient N.
![{\displaystyle N=\Delta ^{12}q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703c3e908510f40638b97074a477e3a627fe8295)
4. Les valeurs des coefficiens de cette longue série de résultats
se présentent très-facilement ; pour peu qu’un ait sous les yeux
la table de ceux des facultés numériques, telle que je l’ai donnée
dans mon Analise des réfractions, et dont je vais donner une
copie, continuée jusqu’à douze. La voici :
![{\displaystyle {\begin{array}{l|c|r|r|r|r|r|r}{\text{I.}}&1&&&&&&\\{\text{II.}}&1&1&&&&&\\{\text{III.}}&1&3&2&&&&\\{\text{IV.}}&1&6&11&6&&&\\{\text{V.}}&1&10&35&50&24&&\\{\text{VI.}}&1&15&85&225&274&120&\\{\text{VII.}}&1&21&175&735&1624&1764&720\\{\text{VIII.}}&1&28&322&1960&6769&13132&13068\\{\text{IX.}}&1&3G&546&4536&22449&67284&118124\\{\text{X.}}&1&45&870&9430&63273&269325&723680\\{\text{XI.}}&1&55&1320&18150&157773&902035&3416930\\{\text{XII.}}&1&66&1925&32670&357423&2637558&13339535\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b070df41bc47b370e44787f9219feb459318b9)
![{\displaystyle {\begin{array}{l|r|r|r|r|r}{\text{VIII.}}&5040\\{\text{IX.}}&109584&40300\\{\text{X.}}&1172700&1026576&362880\\{\text{XI.}}&8409500&1273576&10628640&3628800\\{\text{XII.}}&45995730&105258076&150917976&120543840&39916800.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60cfe587fcd7d87034e4b1ceb447850ef79e520)
5. Supposons à présent qu’on demande la partie de la série qui
fait connaître le quatrième coefficient, ou
Cette série commence
par la troisième différence de
ou par
qui est multipliée
par l’unité seule.
Le second terme sera la différence plus élevée d’une unité, ou
bien
Pour trouver les nombres qui multiplient cette quatrième différence ; on prendra ceux de la quatrième faculté, ou de
à commencer par le troisième terme de cette faculté ; on aura
on les multipliera, le premier, par
le second, par
on
aura
les produits
il en résultera
c’est le coefficient
de
Le troisième terme sera
multiplié par une fonction trinôme de
Pour trouver les coefficiens de cette fonction, prenez, dans
la faculté suivante, ou dans
les termes, à commencer depuis
le troisième ; c’est-à-dire,
multipliez ces trois termes,
le premier par
le second par
et le troisième par
vous aurez
c’est-à-dire,
il en résultera
c’est le coefficient de
Le quatrième sera
multiplié par une fonction quadrinome de
Prenez, dans la faculté suivante, ou dans
les termes à
commencer depuis le quatrième, savoir ;
multipliez
ces quatre nombres, le premier, par
le second, par
le
troisième, par
et le quatrième, par
vous
aurez les produits
![{\displaystyle 225.1,\ 85.4,\ 15.20,\ 1.120\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b70c3b3fc8cf97c3984dbca3df87806692ea907)
c’est-à-dire,
il en résultera le quadrinome
c’est le coefficient de ![{\displaystyle \Delta ^{6}q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706489ba0a80eaa2042673da94b3ea7357c8c8ec)
Le cinquième sera
multiplié par une fonction pentanome de
Prenez, dans la faculté suivante, ou dans
les termes à
commencer depuis le cinquième, savoir,
multipliez ces cinq nombres, le premier, par
le second, par
le troisième, par
le quatrième, par
le
cinquième, par
vous aurez les produits
Il en resulte le polynôme ![{\displaystyle 1624+2940n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10308453dee2a3a14b0e54172bf287265fc7f006)
:
c’est le coefficient de
Le sixième sera
multiplié par une fonction hexanome de
Prenez, dans la faculté suivante, ou dans
les termes à
commencer depuis le sixième, savoir ;
multipliez-les par ceux de la progression hyper-géométrique,
vous aurez pour produits les coefficiens
du polynôme ![{\displaystyle 13132+27076n+39200n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130dc562020ef5e3a37b20a76c6406d578826d4f)
ce sera le coefficient de
On continuera de la même manière, tant qu’on voudra, c’est-à-dire, jusqu’à la douzième faculté ; c’est là où nous avons arrêté
nos calculs.
6. Quant à la progression par laquelle il faudra multiplier les
nombres pris dans la table générale des facultés, il faudra remarquer que
Pour
c’est la série hyper géométrique ordinaire, savoir ;
![{\displaystyle 1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53286c83928eeea976be10f1f8257f8c460fa724)
Pour
c’est la même série.
Pour
c’est cette même série, à partir du second terme et
divisée par
c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1,3,12,60,360,2520,20160,181440,1814400,19958400.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371d429c770a473036c740dc3b0c61ac4355534c)
Pour
c’est cette dernière, à partir du second terme, et divisée par
c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1,4,20,120,840,6720,60480,604800,6652800.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36041087080fb15eb93f01d82071d8e64e86958)
Pour
c’est la précédente, à partir de son second terme, et
divisée par
c’est-à-dire.
![{\displaystyle 1,5,30,210,1680,15120,151200,1663200.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26363d4430e98f490a5964412f00de3ae0435477)
Pour
c’est
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Pour }}G{\text{ c’est }}\ldots &1,7,56,504,5040,55440\,;\\{\text{Pour }}H{\text{ c’est }}\ldots &1,8,72,720,7920\,;\\{\text{Pour }}I\ \ {\text{ c’est }}\ldots &1,9,90,990\,;\\{\text{Pour }}K\ {\text{ c’est }}\ldots &1,10,110\,;\\{\text{Pour }}L\ \ {\text{ c’est }}\ldots &1,11\,;\\{\text{Pour }}M{\text{ c’est }}\ldots &1\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dc28290c7feb7a802274b6fe02e9e4889aaea9)
7. Soit
On aura
![{\displaystyle y+2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5dca5cf64e2fa14360ec5e039686895f4bbde6)
et la valeur intégrale et rigoureuse de
sera
![{\displaystyle y={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}\int e^{\frac {x}{2}}Q\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346579c13817dfbb50af79e5d7f6fac048c109e2)
dans cette même supposition, on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}A=&q-2\Delta q+10\Delta ^{2}q-76\Delta ^{3}q+772\Delta ^{4}q-9808\Delta ^{5}q\qquad \qquad \qquad \\&+149552\Delta ^{6}q-2660544\Delta ^{7}q\\B=&\Delta q-5\Delta ^{2}q+38\Delta ^{3}q-386\Delta ^{4}q+4904\Delta ^{5}q\qquad \qquad \qquad \qquad \\&-74776\Delta ^{6}q+1330272\Delta ^{7}q\\C=&\Delta ^{2}q-9\Delta ^{3}q+95\Delta ^{4}q-1220\Delta ^{5}q+18664\Delta ^{6}q-332388\Delta ^{7}q\\D=&\Delta ^{3}q-14\Delta ^{4}q+195\Delta ^{5}q-3065\Delta ^{6}q+55104\Delta ^{7}q\\E=&\Delta ^{4}q-20\Delta ^{5}q+355\Delta ^{6}q-6685\Delta ^{7}q\\F=&\Delta ^{5}q-27\Delta ^{6}q+595\Delta ^{7}q\\G=&\Delta ^{6}q-35\Delta ^{7}q\\H=&\Delta ^{7}q\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d774c30e29f1d3f0e42e10fa420907ff417751b)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&q+(x-2)\Delta q+\left(x^{2}-5x+10\right)\Delta ^{2}q+\left(x^{3}-9x^{2}+38x-76\right)\Delta ^{3}q\\&+\left(x^{4}-14x^{3}+95x^{2}-386x+772\right)\Delta ^{4}q\\&+\left(x^{5}-20x^{4}+195x^{3}-1220x^{2}+4904x-9808\right)\Delta ^{5}q\\&+\left(x^{6}-27x^{5}+355x^{4}-3065x^{3}+18664x^{2}-74776x+149652\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(x^{7}-35x^{6}+595x^{5}-6685x^{4}+55104x^{3}-332388x^{2}+1330272x\right.\\&\qquad \left.-2660544\right)\Delta ^{7}q+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a9b374a7c2e691240af058acd4290d309242e2)
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\text{Pour }}x=&3\ldots y=q+\Delta q+4\Delta ^{2}q-16\Delta ^{3}q\\{\text{Pour }}x=&4\ldots y=q+2\Delta q+6\Delta ^{2}q-4\Delta ^{3}q+108\Delta ^{4}q\\{\text{Pour }}x=&5\ldots y=q+3\Delta q+10\Delta ^{2}q+14\Delta ^{3}q+92\Delta ^{4}q-788\Delta ^{5}q\\{\text{Pour }}x=&6\ldots y=q+4\Delta q+16\Delta ^{2}q+44\Delta ^{3}q+148\Delta ^{4}q-328\Delta ^{5}q\\&\qquad \qquad \qquad +7644\Delta ^{6}q\\{\text{Pour }}x=&7\ldots y=q+5\Delta q+24\Delta ^{2}q+92\Delta ^{3}q+324\Delta ^{4}q-6588\Delta ^{5}q\\&\qquad \qquad \qquad -233324\Delta ^{6}q-79672\Delta ^{7}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f868425daa9fe5fda01f15e479eb708bae1ab827)
et ainsi de suite.
Et enfin en mettant pour
leurs valeur
en
d’après les formules connues, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{Pour }}x=&3\ldots &3y=&14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}\\{\text{Pour }}x=&4\ldots &6y=&43q-144q_{1}+192q_{2}-112q_{3}+27q_{4}\\{\text{Pour }}x=&5\ldots &120y=&1303q-5680q_{1}+10250q_{2}-9340q_{3}+4375q_{4}\\&&&-788q_{5}\\{\text{Pour }}x=&6\ldots &90y=&1534q-8208q_{1}+18675q_{2}-22880q_{3}+15930q_{4}\\&&&-5904q_{5}+943q_{6}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b44ecae0c38b7b1c4b5968866189f1bc006774)
et ainsi de suite.
8. Exemple. Soit
l’équation sera
![{\displaystyle y+2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b4b6bd1f1500bed97df61ed41d5d9eb62c6939)
elle aura pour intégrale complète
![{\displaystyle y=Ae^{-{\frac {x}{2}}}+x^{3}-6x^{2}+24x-48.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05124cb62afb2b7424c20e9556ba47eeed61fac5)
La méthode actuelle donne ![{\displaystyle q_{0}=0,\ q_{1}=1,\ q_{2}=8,\ q_{3}=27,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095c0a66d86ed25e7d40adf4c764d73f0be90997)
![{\displaystyle q_{4}=64,\ q_{5}=125,\ q_{6}=216,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d8229a9b6a40c2f916a7f6f2b5c5a4d1ebfdee)
On aura donc, pour
![{\displaystyle 3y=14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}=-33+240-216=-9\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d884f0cd0d5520672162f66318a8201c0fceea)
donc ![{\displaystyle y=-3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7055ccd15ba91ea0883b8a552a405530507a33c7)
Pour
on aura
![{\displaystyle 6y=-144+1536-3024+1728=+96\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb9b22ded2cf58961798d5d762fa9ae988c7ac4)
donc ![{\displaystyle y=16.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308b0c31ba8b08eda243f79cf0d3561b3ba4a9da)
Pour
on aura
![{\displaystyle 120y=-5680+82000-252180+28000-9800=5640\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dc973b2efbe4c33633fb9cd689abf9ee3590e1)
donc ![{\displaystyle y=47.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f1c24ea87fe2e49377409d9d9eb83fee406bfd)
Pour
on aura
![{\displaystyle 90y=-8208+149400-617760+1019520-738000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acfe8430d0aa55bd6e18dc2b42fd1d166bb323)
![{\displaystyle +203688=+8640\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737c586eaf06f32221d227f0964c79c11e53c961)
donc
Et ainsi de suite.
Or, toutes ces valeurs, tant de
que de
sont visiblement
comprises sous la loi générale
![{\displaystyle x^{3}-6x^{2}+24x-48\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b19d78a3ed087da74cab12d2462858a85ce813)
ainsi l’intégrale complète sera
![{\displaystyle y=Ae^{-{\frac {x}{2}}}+x^{3}-6x^{2}+24x-48.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05124cb62afb2b7424c20e9556ba47eeed61fac5)
9. La méthode est sur-tout infiniment précieuse dans les cas
innombrables où la différentielle
![{\displaystyle 2y=e^{-{\frac {x}{2}}}\int e^{\frac {x}{2}}Q\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818ea42f17e0343463dd8e0b9f17bb37b5842c38)
ou, plus généralement,
![{\displaystyle ny=e^{-{\frac {x}{n}}}\int e^{\frac {x}{n}}Q\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf43899d54d28094e7f1311f5a09efca40fb95f)
n’est pas intégrable à la rigueur ; parce qu’alors elle fait connaître la véritable valeur de l’inconnue ou de la variable
avec une approximation beaucoup plus rapide que toute autre méthode connue ; ce que nous ferons voir dans le premier mémoire qui suivra celui-ci.