ANALISE TRANSCENDANTE.
Essai sur le développement, en fractions continues,
des racines des équations du troisième degré, et sur
l’approximation graphique du problème de la trisection
de l’angle.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. Nous allons prouver, en premier lieu, que la résolution d’une
équation quelconque du troisième degré peut toujours être ramenée
à celle d’une autre équation de la forme
![{\displaystyle 4x^{3}-3x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a662372abd4797f8617e89190d2a73898a9fbadd)
où
est un nombre positif.
En effet, la proposée ne saurait être, après l’évanouissement du
second terme, que de l’une ou de l’autre de ces deux formes
![{\displaystyle y^{3}-py+q=0,\qquad y^{3}+py+q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3c2ab0cb70cc005b216c616880c9edd816ec90)
où il est permis de supposer que
et
sont des nombres entiers ; et où
est un nombre essentiellement positif.
Si c’est la première forme qui a lieu, il suffira de poser
![{\displaystyle y=\pm 2x{\sqrt {\frac {p}{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609fe4aef7a88a2c06ff07fc50e3e11f52073c9b)
le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu suivant que
est négatif ou positif. En substituant et divisant ensuite par
il viendra, en effet, en transposant,
![{\displaystyle 4x^{3}-3x={\sqrt {\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721b905b6aa8debd02da66eaf6937cb791bfe8fe)
qui, en faisant
devient, en effet,
![{\displaystyle 4x^{3}-3x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ca21fa6d8b656f1dc6f5861d6fd0ab00341e1d)
Si l’équation est de la seconde forme ; on posera d’abord
![{\displaystyle y=\pm 2z{\sqrt {\frac {p}{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4e31bcba37a91344a05fb38af5d6018576eee1)
ce qui donnera, en substituant et divisant toujours par ![{\displaystyle \pm {\frac {2p}{3}}{\sqrt {\frac {p}{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7aac2fdf427398bef2cc31035707e51021cd55)
![{\displaystyle 4z^{3}+3z\pm {\sqrt {\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9817d89feceb7249a32d07e3328273e0b1ccfcf)
posant ensuite, dans celle-ci
![{\displaystyle z={\sqrt {x^{2}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce82cff9f728954fbe01fffd232f3392841aa7ce)
ce qui revient, au surplus, à faire immédiatement
![{\displaystyle y=\pm 2{\sqrt {{\frac {p}{3}}\left(x^{2}-1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09873f6e6ab331f70d3824abc9478ac114b2d368)
elle deviendra
![{\displaystyle \left(4x^{2}-1\right){\sqrt {x^{2}-1}}=\mp {\frac {3q}{2p{\sqrt {\frac {p}{3}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af80b267663889cd616833a7bfad5d96ed4852a)
ou, en quarrant
![{\displaystyle \left(4x^{2}-1\right)^{2}\left(x^{2}-1\right)={\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daea19a0881de55e871738cbfe75fd8907dae1cf)
ou, en développant
![{\displaystyle \left(4x^{3}-3x\right)^{2}-1={\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12ad6ffc1eb67be46501f0e6c975ceb80fbfaed)
ou enfin, en transposant et extrayant la racine quarrée des deux membres.
![{\displaystyle 4x^{3}-3x={\sqrt {1+{\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde9726de3f6d798e949cc9863f08330ae5e028d)
équation qui, en posant,
revient encore à
![{\displaystyle 4x^{3}-3x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ca21fa6d8b656f1dc6f5861d6fd0ab00341e1d)
Il n’y aurait donc d’exception que pour le seul cas où la proposée aurait ses trois racines égales. Alors, en effet,
qui entre
comme dénominateur dans nos formules, se trouve nul, ce qui y
introduit des grandeurs infinies.
Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle y^{3}-7y+7=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126bd0b4285fedf9192828f32f12a928ad0f740d)
qui se rapporte à la première forme, en posant
![{\displaystyle y=-2x{\sqrt {\frac {7}{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d277d9cd5de5bf368cfb1df1e7ae691468f2bf0)
elle deviendra
![{\displaystyle 4x^{3}-3x={\frac {3{\sqrt {21}}}{14}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5c4ee103dbe06c369aa841324d21c2e8b59b14)
où ![{\displaystyle a={\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779f880cf0ff11ad8c16671b26be4e04811e57b)
Soit encore l’équation
![{\displaystyle y^{3}+y-10=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13cf6765b19d26e96aca60543dec6e257d9daefe)
qui se rapporte à la seconde forme ; en posant
![{\displaystyle y=2{\sqrt {\frac {y^{2}-1}{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef6505405f30a64401b13240f1305aa49fa0c15)
elle deviendra
![{\displaystyle 4y^{3}-3y=26,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29ef84dead5df0e4435f506b485a072b608d52f)
où ![{\displaystyle a=26.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95a619e47c00c5eb8b8fd87cfd8c6a16b889198)
II. Nous allons prouver présentement que l’on peut faire dépendre
la résolution de l’équation
de celle d’une équation de
la même forme, dans laquelle le second membre sera si voisin de
l’unité qu’on voudra. Posons, en effet,
![{\displaystyle x=2x_{1}^{2}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1982a8095c8b775c7a064c16b7c284de9aefd9d)
en substituant dans
![{\displaystyle 4x^{3}-3x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a662372abd4797f8617e89190d2a73898a9fbadd)
elle deviendra
![{\displaystyle \left(4x_{1}^{3}-3x_{1}\right)^{2}={\frac {1+a}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badd0f120ac656ce3232f38551ebcb8448249661)
de sorte qu’en posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+a}{2}}}=a_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5452bf76b81ed5b1dbb9fc6f50bac68bc00cd6fa)
et extrayant la racine quarrée, l’équation à résoudre sera
![{\displaystyle 4x_{1}^{3}-3x_{1}=a_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d4e743263eecfe6a5fb3b31d2a4339beb10c91)
équation exactement de même forme que la proposée. Or, de l’équation
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+a}{2}}}=a_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5452bf76b81ed5b1dbb9fc6f50bac68bc00cd6fa)
on tire, en quarrant, chassant le dénominateur et transposant
![{\displaystyle 2a_{1}^{2}=a+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c40ab7d5112dea85f5fee5b7ad3ded4edbc9b)
ou
![{\displaystyle 2\left(a_{1}^{2}-1\right)=a-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005c57d1c7e92a8fef71a73170163353e4680cc9)
d’où
![{\displaystyle {\frac {a_{1}-1}{a-1}}={\frac {1}{2\left(a_{1}+1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf2a1bfbb5c98a9ec5770955b3501e71e172fcd)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {a_{1}-1}{a-1}}<{\frac {1}{2}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3817a72f0266a4ff6a74cd5eeedd14d2b0a7f74)
ou
![{\displaystyle \quad a_{1}-1<{\frac {1}{2}}(a-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71114fbd9d1bff78bdc44ed8401af05e159e901)
la différence de
, avec l’unité sera donc moindre que la moitié de la différence de
avec l’unité.
Donc, si l’on pose successivement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x=&2x_{1}^{2}-1,\qquad &a_{1}=&{\sqrt {\frac {1+a}{2}}},\\x_{1}=&2x_{2}^{2}-1,&a_{2}=&{\sqrt {\frac {1+a_{1}}{2}}},\\x_{2}=&2x_{3}^{2}-1,&a_{3}=&{\sqrt {\frac {1+a_{2}}{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \\x_{n-1}=&2x_{n}^{2}-1,&a_{n}=&{\sqrt {\frac {1+a_{n-1}}{2}}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78dad2bb50e8973dc1c9189c463f8427b0e721f4)
on aura, quel que soit d’ailleurs l’indice
,
![{\displaystyle 4x_{n}^{3}-3x_{n}=a_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a2642ee02d58a12e88e40ef7b6d1b99df4f862)
et la série
sera telle que la différence de chacun de ses termes avec l’unité sera moindre que la moitié de la différence avec cette même unité du terme qui le précédera immédiatement.
Il n’est pas même difficile de voir que, passé le premier terme
dans la série des différences
chaque terme sera réellement moindre que le tiers de celui qui le
précédera immédiatement. En effet, il résulte des relations ci-dessus
qu’aucun des termes
ne saurait être inférieur
à
et qu’ils seront même toujours plus grands que cette fraction ;
on a donc
![{\displaystyle a_{n}>{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317db98f4c608a51c60b6c088327388a5235f84c)
d’où
![{\displaystyle a_{n}+1>{\frac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186831d40696a30f4c7a75efe44f538101a34e4c)
et
![{\displaystyle 2(a_{n}+1)>3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e29990dd5105d38cc84116accffcb8a5afc9bf)
donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2(a_{n}+1)}}<{\frac {1}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eafc1a06e7117dfab639b2f2821994cb8ac070d)
mais on a, en général, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}<{\frac {1}{2(a_{n}+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2888ef7657fff0e5eef0a1e06a56f87ac276ad9e)
donc, à fortiori,
![{\displaystyle {\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}<{\frac {1}{3}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c746ef472ed6c026be99d8d6eac30e7b9601dad)
ou
![{\displaystyle \quad a_{n}-1<{\frac {1}{3}}\left(a_{n-1}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11041e75448e143d45b06c39d5bfba117cafb2f)
comme nous l’avions annoncé.
Cette circonstance facilite singulièrement le calcul des quantités
On sait, en effet que, lorsque
est une
très-petite fraction, on a sensiblement
d’où l’on
voit que, lorsqu’on sera parvenu à des termes très-peu différent de l’unité, on pourra poursuivre en remplaçant l’extraction de la
racine de la quantité sous le radical par la réduction à moitié de
sa différence avec l’unité.
Il résulte de là que dans la série
chaque terme, que nous venons déjà de démontrer être moindre
que le tiers de celui qui le précède immédiatement, tend sans cesse
à n’en être plus que le quart. Soit, en effet,
étant
une très-petite fraction, nous aurons
![{\displaystyle a_{n}={\sqrt {\frac {1+a_{n-1}}{2}}}={\sqrt {\frac {2+i}{2}}}={\sqrt {1+{\frac {1}{2}}i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3e2550a0f386cbcd330538930493c7bc622a70)
ce qui donnera sensiblement
on aura donc, aussi sensiblement,
![{\displaystyle {\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}={\frac {{\frac {1}{4}}i}{i}}={\frac {1}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e908f7fb0c0c72b489e4cc06e392054e447d3cd)
ainsi, parvenue à ce point, la série
sera facile à continuer, et on en conclura ensuite les termes correspondans à la série ![{\displaystyle a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eeb5b3cee2a139ef81cc07de136d1ca0a4a85dd)
On peut remarquer présentement que, si l’on avait rigoureusement
![{\displaystyle 4x_{n}^{3}-3x_{n}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e336db4df1acf2dd7ea09c07990cf6a1687e0c)
on en conclurait, en transposant et décomposant,
![{\displaystyle \left(2x_{n}+1\right)^{2}\left(2x_{n}-1\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5035c38871e863c2ca162bf52fd7b275ea21ef0e)
d’où l’on voit que, tandis que l’une des racines des diverses transformées converge sans cesse vers l’unité les deux autres convergent en même temps vers la fraction
On pourra donc, passé un certain terme, tirer un parti avantageux de la méthode d’approximation de Newton, pour résoudre la dernière transformée, et remonter ensuite à la valeur de
, au moyen des relations établies ci-dessus entre ![{\displaystyle x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1626c3d196440c927a7ee577ddfc6142b055b2fd)
III. À l’aide de ces relations, la valeur de
peut être développée en fraction continue d’une forme fort élégante. L’équation
donne, en transposant,
![{\displaystyle 4x_{n}^{3}=3x_{n}+a_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd600c99c67f7a994e01f54041b396755b6e3344)
mais l’équation
donne aussi, en transposant,
![{\displaystyle 2x_{n}^{2}=x_{n-1}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b89371e243a439652a6c788314b623d2058511f)
divisant donc la première par la seconde, il viendra
![{\displaystyle 2x_{n}={\frac {3x_{n}+a_{n}}{x_{n-1}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6b0cb0066145b829e87d25f8c592cfa214d5ea)
ou, en chassant le dénominateur, réduisant et transposant
![{\displaystyle 2x_{n}x_{n-1}=x_{n}+a_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68289aa46d096bc0ca0517a98d965f677bb41259)
d’où on tire
![{\displaystyle 2x_{n-1}=1+{\frac {a_{n}}{x_{n}}}=1+{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f9a7673da7793ec36048778629fc9bf12f8035)
on aura donc cette suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x\ \ =&1+{\cfrac {2a_{1}}{2x_{1}}},\\2x_{1}=&1+{\cfrac {2a_{2}}{2x_{2}}},\\2x_{2}=&1+{\cfrac {2a_{3}}{2x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \\2x_{n-1}=&1+c{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d2d04ca68d869acd3106e772ec2309b4c5121)
d’où on conclura facilement
![{\displaystyle 2x=1+{\cfrac {2a_{1}}{1+{\cfrac {2a_{2}}{1+{\cfrac {2a_{3}}{1+{\cfrac {\ldots }{\cfrac {\ldots }{\ldots +{\cfrac {2a_{n-1}}{1+{\cfrac {2a_{n}}{2x_{n}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8289f0ed8ee5b596974ca9a0dfd3c2c7b51fa96)
fraction continue qui tendra continuellement à se résoudre dans la fraction périodique
![{\displaystyle 1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {\ldots }{\cfrac {\ldots }{\ldots }}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732611ba5382b78027d43bd6992be31fe8af57b3)
que l’on trouve être égale à
de sorte qu’en poussant le développement assez loin, on peut, sans erreur sensible, écrire
![{\displaystyle 2x=1+{\cfrac {2a_{1}}{1+{\cfrac {2a_{2}}{1+{\cfrac {2a_{3}}{1+{\cfrac {\ldots }{\cfrac {\ldots }{\ldots +{\cfrac {2a_{n-1}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3170275b9fd31fd1967cc03a849c66ec0c90f33d)
IV. Le problème de la trisection de l’angle se réduisant, comme
l’on sait, à la résolution d’une équation du troisième degré, dans
le cas irréductible ; les formules que nous venons d’obtenir sembleraient pouvoir en offrir une solution approchée ; mais elle ne
saurait être d’aucune utilité dans l’application aux arts. Heureusement on peut obtenir de ce problème une solution graphique à la
fois très-simple et très-convergente.
On a, en effet, par les théorèmes connus,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .3a\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Sin} .a=\operatorname {Sin} .(3a-a)=\operatorname {Sin} .2a=2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682e7efeda0fcf1cbb2e64280d71077e8476d3dc)
ou bien, en transposant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a(2\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .3a)=\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .3a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f67bc31c329ef8fa01a788bb1501977f99cfcb)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a={\frac {\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Cos} .a}{2\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .3a}}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .a}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8503ae844a8d80abf9a500bea202ae5d4a8bd760)
(1)
Cela posé, considérons la formule
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x_{1}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ab25f33622aaac2ed1575ed57edd58e2777627)
(2)
on en tirera, en prenant les différentielles logarithmiques
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x_{1}\operatorname {Cos} .x_{1}}{\operatorname {Sin} .x_{1}}}=-{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Sin} .x}{\left(2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}\right)\operatorname {Cos} .^{2}x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2414c23e30f4bba8372280779a17f6898fb42a8c)
ou en mettant pour
valeur donnée par l’équation (1), et tirant la valeur de ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ba46b0975a494ab22376b3acbec9559b0ea349)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Sin} .3a}}.{\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .^{2}x_{1}}{\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .x_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba50c0a17b56f1e67f64ef92d5222b75a6b99d1)
mais, en comparant les équations (1, 2), on voit que, lorsque
on a
; donc, dans ce même cas, la valeur de
devient
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43467d0a93b672d18f3d159ffa518b37ee644e20)
Donc si, dans la formule (1), on fait
et
étant un très-petit arc, on aura sensiblement
![{\displaystyle h=g.{\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b81ed8d8d0dfaab57fe5bec940bce03bd2a228)
Cette expression devenant également nulle, soit que 3
soit nul, soit qu’il soit égal à l’angle droit ; elle doit être susceptible d’un maximum entre ces deux limites. Si, dans la vue de le déterminer, on égale à zéro la différentielle de
il viendra, en supprimant le dénominateur et divisant par ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2e355b963641fc94489f0adc595641b6525927)
![{\displaystyle (\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Sin} .a)(\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Sin} .a)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e744042e747b0b5842950d98ed8d6384f5b5eec9)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {Sin} a2a.\operatorname {Cos} .4a=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33ae91976e9ada48301b549b754a7e490862223)
ou simplement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .4a=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7f66286ca356c1e420fdd53f684667ee306577)
puisque
répondrait au minimum. On aura donc, dans le cas du maximum,
![{\displaystyle 4a={\frac {1}{2}}\varpi ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40f8a8978fae7f46ff44fc1eaa6f331ae791084)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {Cos} .2a=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{4}}\varpi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbf87f9ca0a43502f32de7578aac3cf4a986ad7)
de là
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .a={\sqrt {\frac {1-\operatorname {Cos} .2a}{1+\operatorname {Cos} .2a}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}={\sqrt {2}}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb0ca46fc03bfd6b42991aaba1e11ea068cd6cc)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{3}a=5{\sqrt {2}}-7\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0f312098eed9e0b13778257c646b0046daba73)
on aura d’ailleurs, dans ce cas,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .3a\operatorname {Cot} .a={\frac {1}{\operatorname {Tang} .a}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6393ada693cb9a0ea3b32cbd3857e157751731)
donc finalement on aura, dans le cas du maximum,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}}=\left(5{\sqrt {2}}-7\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)=17-12{\sqrt {2}}<0,0294<{\frac {1}{11}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dc5d40707cfe498e665b239f5113e8f20ab3f5)
c’est à-dire
![{\displaystyle h<{\frac {g}{33}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e184186c828512933ad39d66e1a5a4df2c4a435)
d’où il suit que, dans la formule (2), en mettant pour
une valeur qui diffère peu de
la valeur qui en résultera pour
ne différera de
que d’une quantité au moins
fois plus petite ; de sorte qu’en remettant cette nouvelle valeur pour
dans la même formule, et poursuivant toujours ainsi, on obtiendra une suite de valeurs
convergente vers
telles que, dans le cas même le plus défavorable, la différence de chacune avec
sera plus de
fois moindre que la différence avec le même arc de celle qui la précédera immédiatement.
Il n’est donc plus question que de trouver une construction qui
réponde à ces indications, et représente la formule (2) ; or, c’est
là une chose extrêmement facile. Soit, en effet,
(fig. 1) un
angle donné égal à
qu’il soit question de diviser en trois parties égales. De son sommet
comme centre, et avec un rayon
arbitraire, soit décrit, entre ses côtés, un arc
Par le même
sommet, soit élevée à l’un quelconque
de ses côtés, et dans
le sens de l’autre, la perpendiculaire
sur laquelle soit prise,
à partir du point
une partie
à peu près égale à la corde
des deux tiers de l’arc
aux deux tiers de sa corde, par
exemple. Du point
comme centre, et avec un rayon double
de
soit décrit un arc coupant en
le prolongement
de
et soit menée
coupant
en
alors
sera
une valeur plus approchée de la corde des deux tiers de l’arc
substituant donc le point
au point
on obtiendra, par un
semblable procédé, un nouveau point
tel que
sera une valeur beaucoup plus approchée encore ; en poursuivant donc toujours ainsi, un parviendra très-rapidement à une valeur extrêmement approchée de la corde des deux tiers de
Cette construction est extrêmement facile à justifier ; soit, en
effet, mené le sinus
et soit pris pour unité de longueur le
rayon
d’où
en nommant
et
les arcs qui
répondent aux cordes dont les longueurs sont
et
on aura
![{\displaystyle 2\operatorname {Sin} .x_{1}=\mathrm {SD_{1}} =\mathrm {NP.{\frac {SE}{PE}}} =\operatorname {Sin} .3a{\frac {\mathrm {SE} }{\mathrm {SE} +\operatorname {Cos} .3a}}={\frac {2\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {2\operatorname {Cos} .3a}{\mathrm {SE} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2707581d9b47757b041ff77e23460698a0039def)
mais on a
![{\displaystyle \mathrm {SE} ={\sqrt {{\overline {\mathrm {DE} }}^{2}-{\overline {\mathrm {SD} }}^{2}}}={\sqrt {4-4\operatorname {Sin} .^{2}x}}=2\operatorname {Cos} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e3dfe1157b1609cc02ac598c39315e3c1b81b5)
donc, en substituant et réduisant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x_{1}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {2\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1ecf51c51a6ff5c40b36d45aa2ce45b1e0691f)
qui est précisément notre formule (2).
Dans cette trisection, qui est plus simple, en quelque sorte,
qu’une bissection, on peut, sans inconvénient, placer, dès l’abord,
le point
d’une manière tout-à-fait arbitraire, et conséquemment
le placer en
ce qui est plus simple ; et dès la seconde opération ; l’erreur sera déjà peu sensible. On voit par là que, si l’on
s’était trompé dans quelque opération, l’opération qui suivrait corrigerait aussitôt ce que celle-là aurait donné de défectueux ; ainsi
qu’il arrive dans la méthode d’approximation de Newton pour les
racines incommensurables des équations numériques.