Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/QUESTIONS PROPOSÉES/Soit X = 0 une équation en x du degré m dont la dérivée

Soit X = 0 une équation en x du degré m dont la dérivée…

Annales de mathématiques pures et appliquées, 9, 1819 (p. 36).

QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorème d’analise.

Soit $X=0$ une équation en $x$ du degré $m$ dont la dérivée soit $X'=0\,;$ et soit $Y=0$ l’équation du degré $m-1,$ résultant de l’élimination de $x$ entre les deux équations $X=y$ et $X'=0\,;$

1.^o $m$ étant pair, si $X=0$ n’a pas de racines égales, elle aura $0,2,4,6,\ldots m$ racines imaginaires, suivant que $Y=0$ aura ${\frac {m}{2}},{\frac {m}{2}}\pm 1,{\frac {m}{2}}\pm 2,\ldots {\frac {m}{2}}\pm {\frac {m}{2}}$ permanences de signes.

2.^o $m$ étant impair, si $X=0$ n’a pas de racines égales, elle aura $0,2,4,6,\ldots (m-1)$ racines imaginaires, suivant que $Y=0$ aura ${\frac {m-1}{2}},{\frac {m-1}{2}}\pm 1,{\frac {m-1}{2}}\pm 2,\ldots {\frac {m-1}{2}}\pm {\frac {m-1}{2}}$ permanences de signes.

3.^o Enfin, si $Y=0$ a, à commencer par le terme tout connu $1,2,3,\ldots$ termes nuls consécutifs, $X=0$ aura une racine double, deux doubles, ou une triple, trois doubles ou une quadruple, etc.^[1].

1. Ce théorème est extrait d’un ouvrage que M. Bérard vient de mettre au jour sur la résolution des équations numériques.