Autre solution du même problème ;
Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit
une fonction de
dont la différentielle soit
et la différentielle seconde
; soit fait
![{\displaystyle y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.{\frac {Z'}{Z}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b70078ab612c66296b7adb40d98534388c30348)
(1)
nous en conclurons
![{\displaystyle y^{2}=e^{-2\int X\operatorname {d} x}.{\frac {Z'^{2}}{Z^{2}}},\qquad \operatorname {d} y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x.{\frac {ZZ''-Z'^{2}-XZZ'}{Z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2b976db8e540cdeb312dfa4bdabf35e23c0aab)
valeurs qui, étant substituées dans la proposée
![{\displaystyle \operatorname {d} y+y^{2}e^{\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-X'\operatorname {d} xe^{-\int X\operatorname {d} x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7596d5235cf921c908df773f9de36ee999d7d62)
la réduiront à
![{\displaystyle Z''-XZ'-ZX'=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1588ebb80992a7161220bc789b83335af60eb9eb)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} .(Z'-XZ)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34de021795c21ddc69cd22cc1c7d947c60c6d3cd)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle Z'-XZ=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f0c175c6a2f22ec2e40f19097cb1bf69937e4d)
celle-ci, multipliée par
revient à
![{\displaystyle \operatorname {d} Ze^{-\int X\operatorname {d} x}=\operatorname {d} .a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d08120dd4773dfc197479290740b0bf624d4495)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle Ze^{-\int X\operatorname {d} x}=a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f68e5e4aa2ad786cfaac6cb956d4c087db29d6)
On tire de là
![{\displaystyle Z=e^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f778a21c9abe6d1cb2808a6b70276fdd94ff5441)
![{\displaystyle Z'=Xe^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\}+a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0484fb99ba0be33c07f3a4372465670cfab04480)
d’où
![{\displaystyle {\frac {Z'}{Z}}=X+{\frac {ae^{-\int X\operatorname {d} x}}{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7659a1778ab2833a096a29a26533da35b67cd336)
subtituant enfin cette valeur dans la valeur (1) de
et posant
il viendra
![{\displaystyle y=e^{-\int X\operatorname {d} x}\left\{X-{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8232f5f14f135f556ab81d448f647d6e66af0aa1)