Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 1

Solution d’un problème de calcul intégral ; par M. Servois.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 18-19).

Solution du problème d’analise proposé à la page 299
du V.^e volume de ce recueil ;

Par M. Servois, professeur aux écoles d’artillerie.

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Problème. Assigner l’intégrale finie et complète de l’équation différentielle

$\operatorname {d} y+y^{2}e^{\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x=e^{-\int X\operatorname {d} x}.X'\operatorname {d} x,$

dans laquelle $\mathrm {X}$ est supposé une fonction quelconque de $x$, dont la différentielle est $X'\operatorname {d} x,$ et où $e$ est la base des logarithmes naturels ?

Solution. Soit posé

$y=(X-t)e^{-\int X\operatorname {d} x},$

d’où

$\operatorname {d} y=(X'\operatorname {d} x-\operatorname {d} t)e^{-\int X\operatorname {d} x}-(X-t)e^{-\int X\operatorname {d} x}.X\operatorname {d} x\,;$

en substituant dans la proposée, et divisant par $e^{-\int X\operatorname {d} x}$, elle devient, toutes réductions faites,

$t^{2}.\operatorname {d} x-tX\operatorname {d} x-\operatorname {d} t=0\,;$

mais, en rétablissant ce facteur, elle peut être écrite ainsi

$e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-{\frac {tXe^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} t}{t^{2}}}=0\,;$

ce qui revient à

$e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x+\operatorname {d} .{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{t}}=0,$

et donne conséquemment

$\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x+{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{t}}=A\,;$

d’où

$t={\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x}}\,;$

donc enfin

$y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.\left\{X-{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x}}\right\}\,;$

$A$ étant la fonction complémentaire de l’intégration.