ANALISE TRANSCENDANTE.
Développement en séries des fonctions logarithmiques
et exponentielles ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
J’ai donné, dans le troisième volume de ce recueil (page 344), une méthode de développement des fonctions circulaires en séries qui me semble fort courte et fort simple. Je me propose ici de parvenir, par des moyens analogues, au développement des fonctions logarithmiques et exponentielles ; de manière que les deux articles pourront se servir de suite l’un à l’autre.
I. Le logarithme de l’unité étant nul, dans tout système logarithmique, on est fondé à supposer, quel que soit
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)=Ax+Bx^{2}+Cx^{3}+Dx^{4}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a4da138dc65636ee85fa861204542c7eebf48f)
(1)
étant des coefficiens inconnus qu’il s’agit de déterminer.
On aura semblablement
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+y)=Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b585856793dfa8139443efe56adbca83970ed175)
(2)
et
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\left\{1+\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)\right\}=A\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)+B\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)^{2}+C\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44c81f2f3063e4476314ec0f4a414e0199e5569)
(3)
Mais on a
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)-\operatorname {Log} .(1+y)=\operatorname {Log} .{\frac {1+x}{1+y}}=\operatorname {Log} .\left\{1+\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f94e7dd8b9341136e12aaf517a99a3f76a5898c)
substituant donc les valeurs (1), (2), (3), il viendra, en divisant les deux membres de inéquation résultante par
et en les multipliant par ![{\displaystyle 1+y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8f0695d8689c99e7d26f1ac534b86ea1d4964a)
![{\displaystyle (1+y)\left\{A+B(x+y)+C\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+D\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c43bf7942e3d3e4c10611618e000f4f94683918)
![{\displaystyle =A+B\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)+C\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{2}+D\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237a35e22daf7b09c149274ca4bc52b5b61d3002)
Dans cette dernière équation,
et
demeurant indéterminés et indépendans, on peut supposer
elle devient ainsi
![{\displaystyle (1+x)\left(A+2Bx+3Cx^{2}+4Dx^{3}+\ldots \right)=A\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c33c6ebac3783781ea4daaaaa77fe49b9f53a93)
ou, en développant et réduisant,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}2B&\\+A&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x+3C&\\+2B&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2}+4D&\\+3C&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x^{3}+\ldots =0.\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e12fc8575172b05511457bfebd90d3ef6244b3)
Ce qui donnera, à cause de l’indétermination de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&2B+A&=0,\\&3C+2B&=0,\\&4D+3C&=0,\\&\ldots &=0\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}B&=-{\tfrac {1}{2}}A,\\C&=+{\tfrac {1}{3}}A,\\D&=-{\tfrac {1}{4}}A,\\&\ldots \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79122cd9b837ca7389694d12b2b3e8c038ae0902)
substituant donc dans (1), il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)=A\left(x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}+\ldots \right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c7eaa178c0224520b64522230191d7d65709f9)
(4)
Dans cette formule,
demeure arbitraire ; mais cela doit être ainsi, puisqu’à raison du choix arbitraire de la base, à un même nombre peut répondre une infinité de logarithmes différens.
Si, dans cette formule (4), on change
en
, elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=A\left\{(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b17f0c0007e0b7b0c000f4335be8bc8fe6c10b4)
(5)
Soit
la base du système logarithmique, et soit successivement changé
, dans cette dernière formule, en
et en
, elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=mA\left\{\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{3}-\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f57bf216a23b8961fa684b8ca372f9d5410f4b)
![{\displaystyle \qquad \ 1=nA\left\{\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{3}-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f467f55caa5868c22118049e984648f51257d0b9)
d’où on conclura, en divisant,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {m}{n}}.{\frac {\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{3}-\ldots }{\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{3}-\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9836a9c7a7238d082fdd8609625a761bfcf28aab)
expression que l’on peut toujours facilement rendre convergente à volonté, en prenant pour
et
des puissances de
d’un degré très-élevé. On trouvera, au surplus, dans le premier volume de ce recueil (page 18) de très-amples développemens sur le parti que l’on peut tirer de la formule (4), dans le calcul des tables de logarithmes.
II. Le logarithme de l’unité étant nul, dans tout système de logarithmes, on est fondé à supposer, quel que soit
,
![{\displaystyle x=1+A\operatorname {Log} .x+B\operatorname {Log} .^{2}x+C\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec023a32d2c069273865b92018e9670f6b78baf)
(6)
étant des coefficiens inconnus qu’il s’agit de déterminer.
On aura semblablement
![{\displaystyle y=1+A\operatorname {Log} .y+B\operatorname {Log} .^{2}y+C\operatorname {Log} .^{3}y+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf3a4d494ce38466315c779e40185b677b849c8)
(7)
et
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}=1+A\operatorname {Log} .{\frac {x}{y}}+B\operatorname {Log} .^{2}{\frac {x}{y}}+C\operatorname {Log} .^{3}{\frac {x}{y}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4555bcad5a24a94812304d060c797b989e6afced)
série que l’on peut encore écrire ainsi
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}=1+A\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f02c4c0829149a50af939ad9f17f95c22bb9d90)
![{\displaystyle +B\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)^{2}+C\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)^{3}+\ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806f33c8853bc8e6c43b536219691febfe1a381c)
(8)
Mais on a
![{\displaystyle x-y=y\left({\frac {x}{y}}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edd071180d51ba59ce24768cafc68608047b1b7)
substituant donc les valeurs (6), (7), (8), il viendra, en divisant les deux membres de l’équation résultante par ![{\displaystyle \operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a8204363febcdc1c69c5662a917ebef31ecfa0)
![{\displaystyle A+B\left(\operatorname {Log} .x+\operatorname {Log} .y\right)+C\left(\operatorname {Log} .^{2}x+\operatorname {Log} .x\operatorname {Log} .y+\operatorname {Log} .^{2}y\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f4bde37fbf641c229a163fef8474059aebaace)
![{\displaystyle =y\left\{A+B\left(\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y\right)+C\left(\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y\right)^{2}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0370b7d10df174a4121dc5bdf95c330f06b096)
Dans cette dernière équation,
et
devant demeurer indéterminés et indépendans, on peut supposer
; elle devient ainsi
![{\displaystyle A+2B\operatorname {Log} .x+3C\operatorname {Log} .^{2}x+4D\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots =Ax\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0045c79cfb1de4ae5df44042b8502a5a4d4bbf89)
ou, en mettant pour
sa valeur (6) et réduisant,
![{\displaystyle 2B\operatorname {Log} .x+3C\operatorname {Log} .^{2}x+4D\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9880e766bea0107f7081c3bf6463d9153a85f2e)
![{\displaystyle =A^{2}\operatorname {Log} .x+AB\operatorname {Log} .^{2}x+AC\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd96aa88760665d6e9cec3153801759e53ad5d5)
ce qui donnera, à cause de l’indétermination de
,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&2B&=A^{2},\\&3C&=AB,\\&4D&=AC,\\&\ldots &\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}B&={\tfrac {A^{2}}{1.2}},\\C&={\tfrac {A^{3}}{1.2.3}},\\D&={\tfrac {A^{4}}{1.2.3.4}},\\&\ldots \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7364bcb48d05f6525d5fcbcd6266f70c89955a2e)
substituant donc dans (6), il viendra
![{\displaystyle x=1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {A^{3}\operatorname {Log} .^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8788171772194c4667e1f1c95838a8fde5f3dd9d)
(9)
formule dans laquelle
demeure arbitraire, pour les même raisons que ci-dessus.
III. On se tromperait étrangement si l’on pensait que l’indéterminée
est la même dans la formule (9) que dans la formule (4) ; puisque ces deux formules ont été déterminées indépendamment l’une de l’autre. Il existe néanmoins entre ces deux indéterminées une relation simple facile à découvrir. Observons pour cela qu’on tire des équations (5) et (9), en changeant
en
dans la première,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Log} .x&=A'(x-1)\left\{1-{\tfrac {1}{2}}(x-1)+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{2}-\ldots \right\},\\x-1&=A\operatorname {Log} .x\left\{1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1.2}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2.3}}+\ldots \right\}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71c8675687d11d43f1aa27f662067c956debe42)
ce qui donne, en multipliant membre à membre, et supprimant de part et d’autre le facteur ![{\displaystyle (x-1)\operatorname {Log} .x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa30d2d714829e8efc698e5c5e512391c996b80)
![{\displaystyle 1=AA'\left\{1-{\tfrac {1}{2}}(x-1)+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{2}-\ldots \right\}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b507e7d3fd2387a0cd051b6e8d6d19c3a34488)
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1.2}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2.3}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a203780189704c52f14f9cda27ecf89593d683a)
faisant enfin, dans cette dernière équation
on arrivera à cette relation simple
![{\displaystyle AA'=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba9726b798e9aef20f818f1e810bf4b3b8a59bd)
Ainsi, l’on peut écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Log} .x&={\frac {1}{A}}\left\{(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-\ldots \right\},\qquad {\text{(10)}}\\x&=1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {A^{3}\operatorname {Log} .^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \,;\qquad {\text{(11)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acecd0d0b74dff6b821f2b34612faa439354f9f)
la constante
étant alors la même dans les deux formules.
Cette constante étant arbitraire, la supposition la plus simple qu’on puisse faire à son égard est
; on tombe alors sur les logarithmes népériens ou naturels. En les désignant simplement par
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {l} x&=(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-\ldots ,\qquad {\text{(12)}}\\x&=1+{\frac {\operatorname {l} x}{1}}+{\frac {\operatorname {l} ^{2}x}{1.2}}+{\frac {\operatorname {l} ^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \,;\qquad {\text{(13)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4fdcea1e859b509ac01d68398a766b17a6b75b)
Si, dans la dernière de ces deux formules, on change
en
étant la base d’un système quelconque, on aura
![{\displaystyle b^{x}=1+{\frac {x\operatorname {l} b}{1}}+{\frac {x^{2}\operatorname {l} ^{2}b}{1.2}}+{\frac {x^{3}\operatorname {l} ^{3}b}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0070bd1c69796d1e04b8b63898d1fe50318089)
En désignant par
la base du système de Néper, et changeant
en
dans cette dernière formule, on aura
![{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bf9d960f28b55ff9ae0b24a1e348898285ce47)
Si enfin dans celle-ci on fait
on aura, pour calculer la base
du système de Néper, cette série très-commode et très-convergente
![{\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d074ba7469d32bc5f54c26e6c77b730787e66e)