Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Chronologie, article 2

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 273-276).

CHRONOLOGIE.

Solution directe des principaux problèmes du calendrier :

Par M. J. F. Français, professeur à l’école impériale
de l’artillerie et du génie.

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L’examen de l’ingénieuse table à triple entrée donnée dans ce volume (pag. 84) par M. Servois, m’a engagé à revoir, dans la Correspondance astronomique et géographique de M. le baron de Zach (août 1800), l’article de M. Gauss qui lui en a fourni l’idée, et où cet illustre géomètre enseigne à trouver, sans épacte, nombre d’or ni lettre dominicale, le jour de la fête de pâque, pour une année quelconque, et présente ainsi, en deux pages, toute la théorie du calendrier, tant Julien que Grégorien. Cette belle solution d’un problème d’analise indéterminée assez compliqué mériterait d’être mieux connue en France^[1]. J’ai cru cependant nécessaire, pour la rendre vraiment perpétuelle, de lui faire subir une petite correction, au défaut de laquelle elle cesserait d’être exacte dès l’année 4200. La nécessité de cette correction tient à ce que l’équation lunaire, qui a lieu sept fois consécutivement au bout de trois siècles, n’a lieu, la huitième fois, qu’au bout de quatre siècles seulement ; de sorte que la période, qui a commencé en 1800, est réellement de vingt-cinq siècles, Je vais d’abord donner la méthode pour la détermination de la fête de pâque ainsi corrigée ; je chercherai ensuite à déterminer le jour de la semaine qui répond à une date donnée dans une année quelconque.

PROBLÈME I. Assigner la date de la fête de pâque, pour une année quelconque, soit dans le calendrier Julien, soit dans le calendrier Grégorien ?

Solution. Pour le calendrier Julien faites $m=15,n=6.$

Pour le calendrier Grégorien, soient

$s,$ le quantième séculaire ;

$\left.{\begin{aligned}r&,{\text{ le quotient entier de }}s-17{\text{ par }}25\,;\\p&,{\text{ le quotient entier de }}s-r{\text{ par }}\quad 3\,;\\q&,{\text{ le quotient entier de }}s{\text{ par }}\qquad \ \ 4\,;\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}&\quad {\text{abstraction}}\\&{\text{faite des restes.}}\\\end{aligned}}$

$m,$ le reste de la division de $15+s-p-q$ par 30 ;

$n,$ le reste de la division de $4+s-q$ par 7.

Soient alors (pour les deux calendriers)

$A,$ le quantième d’année ;

$a,b,c,$ les restes respectifs de la division de $A$ par 19,4,7 ;

$d,$ le reste de la division de $19a+m$ par 30 ;

$e,$ le reste de la division de $2b+4c+6d+n$ par 7 ;

la date de pâque sera le $(22+d+e)$ de mars, ou le $(d+e-9)$ d’avril.

Exception I. Si l’on a $d=29,e=6,$ on substituera le 19 d’avril au 26.

Exception II. Si l’on a $d=28,e=6,$ et si $11m+11,$ divisé par 30, donne un reste plus petit que 19, on substituera le 18 d’avril au 25.

Exemple. On demande le jour de pâque pour l’année 7453 ?

Dans le calendrier Grégorien, on a successivement $s=74,r=2,$ $p=24,q=18,m=17,n=4,A=7453,a=5,b=1,c=5,$ $d=22,e=4$ ; d’où il suit que, cette année-là, pâque tombera le 17 d’avril.

Dans le calendrier Julien, on a $m=15,n=6,A=7453,$ $a=5,b=1,c=5,d=20,e=1$ ; ce qui donne pâque le 12 d’avril.

PROBLÈME II. Déterminer le jour de la semaine qui répond à une date donnée d’une année quelconque, tant dans le calendrier Julien que dans le calendrier Grégorien ?

Solution. Soient $s,$ le quantième séculaire ;

$m,$ le reste de la division de $15+s-p-q$ par 30 ;

$a,$ l’année dans le siècle, en sorte qu’on ait $A=100s+a$ ;

$d,$ la date du jour donné, compté du 1.^er janvier ;

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,$ les restes respectifs de la division de $s,a,a,d,6s+5,$ par 4,4,7,7,7 ;

$g,$ le reste de la division de $5\alpha +5\beta +3\gamma +\delta$ par 7 ;

$h,$ le reste de la division de, $5\beta +3\gamma +\delta +\varepsilon$ par 7 ;

Alors $g$ et $h$ seront respectivement, dans les calendriers Grégorien et Julien, le rang du jour dans la semaine, le dimanche étant compté pour le premier.

Remarques. I. En calculant $d,$ dans les années bissextiles, il ne faudra tenir aucun compte du jour intercalaire, et ne compter conséquemment février que pour 28 jours seulement.

II. Si alors la date $d$ ne passe pas le mois de février, il faudra diminuer d’une unité chacun des nombres $g$ et $h.$

III. On peut obtenir immédiatement $\delta ,$ en ajoutant à la date du mois, le nombre correspondant de la table suivante

${\begin{array}{||r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r||}\hline \hline {\text{janv.}}&{\text{févr.}}&{\text{mars.}}&{\text{avril.}}&{\text{mai.}}&{\text{juin.}}&{\text{juil.}}&{\text{août.}}&{\text{sept.}}&{\text{oct.}}&{\text{nov.}}&{\text{déc.}}\\\hline 0&3&3&-1&1&4&-1&2&5&0&3&5\\\hline \end{array}}$

Exemple I. On demande le jour de la semaine qui répond au 17 d’avril 7453, dans le calendrier Grégorien ?

On a ici $s=74,a=53,\alpha =2,\beta =1,\gamma =4,\delta =17-1=16,$ $\varepsilon =1,g=1$ ; ainsi le 17 d’avril 7453 sera un dimanche.

Exemple II. On demande le jour de la semaine qui répond au 12 d’avril 7453, dans le calendrier Julien ?

On a ici $s=74,a=53,\alpha =2,\beta =1,\gamma =4,\delta =12-1=11,$ $\varepsilon =1,g=1$ ; ainsi le 12 d’avril 7453 sera un dimanche.

1. C’est sans doute dans cette vue que M. Delambre vient d’en donner un extrait à la fin de son Abrégé d’astronomie.