Application de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centre
Application de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centre
journalAnnales de mathématiques pures et appliquéesApplication de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centreBérard1813NîmesV3Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvuAnnales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/3105-113
GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Application de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centre ; ces lignes et surfaces étant rapportées à des axes de directions quelconques, passant par ce centre ;
Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés savantes.
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Le sujet dont je vais m’occuper a déjà été traité de diverses manières
dans ce recueil ; mais, outre qu’on a toujours supposé que les lignes
et surfaces du second ordre étaient rapportées à des axes rectangulaires ; ce qui ôte aux résultats une généralité souvent très-précieuse ; la méthode que je vais suivre me paraît conduire plus
directement et plus simplement au but que ne saurait le faire la
transformation des coordonnées qui, dans le cas sur-tout où les
coordonnées primitives ne sont pas rectangulaires, entraîne dans
des calculs d’une extrême complication. Tel est le double motif qui
me détermine à revenir encore sur ce sujet.
§. I
Soit
l’équation d’une ligne du second ordre, rapportée à son centre et
à deux axes faisant entre eux un angle
En désignant par la distance d’un point quelconque de cette
courbe à son centre, on aura
Et la propriété qui caractérise les quatre sommets de la courbe est
que, pour chacun d’eux, doit être un maximum ou un minimum.
Supposons donc que et soient les coordonnées de l’un de
ces sommets, auquel cas sera la moitié de l’un des diamètres
principaux. Soit posé
les équations (1) et (2) deviendront
d’où on conclura, par l’élimination de ,
différentiant cette équation, par rapport à seulement, puisque, par
l’hypothèse, il viendra
d’où
cette valeur, substituée dans l’équation (3), donne
ou, en développant et ordonnant,
Les quatre racines de cette équation, lesquelles seront, deux à deux,
égales et de signes contraires, seront les distances du centre de la
courbe à ses quatre sommets, ou, ce qui revient au même, ses
quatre demi-diamètres principaux. Les deux valeurs de substituées dans celle de donneront, pour cette inconnue, deux valeurs et alors les directions des diamètres principaux seront données par les deux équations
Pour que les deux valeurs de tirées de l’équation (4) soient réelles, il faut, comme l’on sait, que la quantité
soit positive ; or, cette quantité est la même chose que la suivante
laquelle est essentiellement positive ; ainsi les deux valeurs de seront réelles, dans tous les cas.
Maintenant, les valeurs de peuvent être ou toutes deux positives, ou l’une positive et l’autre négative, ou enfin toutes deux négatives ; et, d’après les principes connus, l’équation (1) appartiendra à l’ellipse dans le premier cas, à l’hyperbole dans le second, et n’exprimera absolument rien dans le troisième. Dégageant donc le premier terme de l’équation (4) de son coefficient, et appliquant la règle de
Descartes, on trouvera, après les réductions convenables, que l’équation (1) appartient à l’ellipse, si l’on a
qu’elle appartient à l’hyperbole, si l’on a
et qu’enfin elle n’exprime rien, si l’on a
En particulier les deux valeurs de et par conséquent celles de seront égales, si l’on a
ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’on aura à la fois
et alors l’équation (1) appartiendra à un cercle.
Dans le cas particulier où les axes des coordonnées seront
rectangulaires, on aura et il viendra conséquemment
l’équation (1) appartiendra à l’ellipse, si l’on a
et
à l’hyperbole, si l’on a
et elle n’exprimera rien, si l’on a
et
En particulier, elle appartiendra au cercle, si l’on a, à la fois,
et
Tout cela s’accorde avec les principes connus.
Supposons que les axes des coordonnées soient deux diamètres conjugués de la courbe ; alors on devra avoir L’équation (1) deviendra
en sorte que les quarrés des demi-diamètres conjugués seront
la somme des quarrés de ces demi-diamètres sera donc
et le produit de leurs quarrés et du quarré du sinus de l’angle qu’ils comprennent ou, ce qui revient au même, le quarré de l’aire du parallélogramme construit sur leurs grandeurs et directions, sera
Mais, dans la même hypothèse de l’équation (4) devient
et, par la théorie des équations, est la somme des quarrés des deux demi-diamètres principaux, et est le produit des quarrés de ces diamètres.
Donc, dans les lignes du second ordre qui ont un centre, 1.oLa somme des quarrés de deux demi-diamètres conjugués quelconques est égale à la somme des quarrés des deux demi-diamètres principaux ; 2.oLe parallélogramme construit sur les grandeurs et directions de deux demi-diamètres conjugués quelconques est équivalant au rectangle construit sur les grandeurs et directions des deux demi-diamètres principaux.
§. II
Soit
l’équation d’une surface du second ordre, rapportée à son centre et à trois axes dont les directions soient telles qu’on ait
En désignant par la distance d’un point quelconque de cette surface à son centre, on aura
Et la propriété qui caractérise les six sommets de la surface courbe est que, pour chacun d’eux, doit être un maximum ou un minimum.
Supposons donc que soient les coordonnées de l’un de ces sommets, auquel cas sera la moitié de l’un des diamètres principaux. Soient posés
les équations (1) et (2) deviendront
d’où, on conclura, par, élimination de
différentiant cette équation, par rapport à et seulement, puisque, par l’hypothèse, ; et égalant séparément à zéro les multiplicateurs de et il viendra
ce qui donne
substituant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra
ou, en développant et ordonnant,
Les six racines de cette équation, lesquelles seront, deux à deux, égales et de signes contraires, seront les distances du centre de la surface courbe à ses six sommets, ou, ce qui revient au même, ses six demi-diamètres principaux. Les trois valeurs de substituées dans celles de et donneront, pour ces inconnues, trois systèmes de valeurs et alors les directions des diamètres principaux seront donnés par les trois systèmes d’équations
On sait qu’une équation du troisième degré étant
pour que ses trois racines soient réelles et inégales, il faut qu’on ait
en appliquant cette condition aux valeurs de données par l’équation
(4), on se convaincra qu’elles sont toutes trois réelles, et qu’ainsi
on peut juger de leurs signes par les signes des termes de cette
équation.
L’équation (1) appartiendra à l’ellipsoïde, si les trois valeurs de
sont positives ; elle appartiendra à l’hyperboloïde à une nappe,
si une seule des valeurs de est négative ; elle appartiendra à
l’hyperboloïde à deux nappes, si une seule des valeurs de est
positive ; enfin l’équation (1) n’exprimera absolument rien, si les
valeurs de données par l’équation (4), sont toutes trois négatives ;
c’est-à-dire, si tous les termes de cette équation ont le même signe.
Si deux des valeurs de sont égales ; c’est-à-dire si, en conservant les notations qui viennent d’être employées, on a
l’équation (1) appartiendra à une surface de révolution. Si enfin les
trois valeurs de étant positives, sont égales entre elles, ce qui
arrivera, si l’on a, à la fois
l’équation (1) appartiendra à une sphère.
Dans le cas particulier où les axes des coordonnées seront rectangulaires, on aura
d’où
résultats qui, aux notations près, coïncident parfaitement avec ceux qui ont été donnés par M. Bret[1].
Supposons présentement que les axes des coordonnées soient trois diamètres conjugués ; alors on devra avoir
en sorte que l’équation (1) deviendra
les quarrés des demi-diamètres conjugués seront donc respectivement
et l’équation (4) deviendra
ou
d’où l’on voit, par la théorie des équations, que la somme des quarrés des demi-diamètres principaux est
que la somme des produits de ces quarrés deux à deux est
et qu’enfin le produit de ces mêmes quarrés ou le quarré du produit des demi-diamètres principaux est
Donc, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre, 1.oLa somme des quarrés de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est égale à la somme des quarrés des trois demi-diamètres principaux ; 2.ola somme des quarrés des aires des trois faces adjacentes à l’un des angles trièdres du parallèlipipède construit sur les grandeurs et directions de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est égale à la somme des quarrés des aires des trois faces adjacentes à l’un des angles trièdres du parallèlipipède rectangle construit sur les grandeurs et directions des trois demi-diamètres principaux ; 3.oenfin, le parallèlipipède construit sur les grandeurs et directions de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est équivalent au parallèlipipède rectangle construit sur les grandeurs et directions des trois demi-diamètres principaux.
Ainsi, en dénotant, pour plus de simplicité, par les trois demi-diamètres principaux, et par trois demi-diamètres conjugués quelconques, on aura les trois équations
sur quoi il faut remarquer que quelques-unes des lignes peuvent être imaginaires, et qu’alors leurs quarrés sont négatifs.
↑ Voyez les pages 33 et 144 du 2.e volume des Annales.