GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
De la génération de la parabole, par l’intersection
de deux lignes droites ;[1]
Par M. G. M. Raymond, principal du collège de Chambéri,
membre de plusieurs Sociétés savantes et littéraires.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
(fig. 3) deux droites perpendiculaires l’une à
l’autre, prises, la première pour axe des
, et la seconde pour
axe des
Soit
un point fixe pris sur
et soit
une droite mobile assujettie à passer constamment par ce point
Soit
une autre droite mobile, coupant la première en
et la droite
en
; soit menée l’ordonnée
du point variable
Supposons que le mouvement de
soit lié à celui de
autour du point fixe
de manière qu’on ait constamment
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {FMT} =\operatorname {Ang} .\mathrm {FTM} ,\qquad \mathrm {IP=IT} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c67b1a8cf026ccd4f9b71268e7f80680532142)
;
et proposons-nous de déterminer le lieu géométrique de l’intersection
des deux droites
et
Posons
; les équations des deux droites
et
seront de la forme
![{\displaystyle y=Ax+B,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6625feba3eecb9cf78fd399d7315299b587b90)
(1)
![{\displaystyle y=A'(x-c)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62768da461c288d9ec2c5359f5219e05b61a503d)
(2)
on trouvera d’après cela
![{\displaystyle \mathrm {IP} ={\frac {B+A'c}{A'-A}},\qquad \mathrm {IT} =-{\frac {B}{A}},\qquad \operatorname {Tang} .\mathrm {FMT} ={\frac {A'-A}{1+AA'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6005c745b7c77949a0aa2e03841c20d6217b42d9)
or, suivant les conditions du problème, 1.o
et
doivent être égaux et de signes contraires ; 2.o la tangente de l’angle
doit être égale à celle de l’angle
c’est-à-dire, égale à
; ainsi on aura, entre les trois constantes
les deux équations
![{\displaystyle {\frac {B+A'c}{A'-A}}={\frac {B}{A}},\qquad (3)\qquad {\frac {A'-A}{1+AA'}}=A\,;\qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2678aa2df09d6b8352c5aa1701f483d5b0a5f716)
si donc, entre les équations (1), (2), (3), (4), on élimine les trois quantités
l’équation résultante en
et
sera celle de la courbe cherchée.
L’élimination s’exécute assez facilement comme il suit. D’abord en prenant le produit des équations (4) et (5), et exécutant toutes les réductions qui se présentent, on a
![{\displaystyle AB=c\,;\qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b384637a0bbea5ebae2fadf4d54420e4d02660e0)
d’un autre côté, en chassant les dénominateurs dans l’équation (3),
et ayant égard à l’équation (5), il vient
![{\displaystyle 2c=A'(B-Ac),\qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321cc224658925c84b325ff4f4553b222528e4d5)
éliminant
entre cette dernière et l’équation (2), on a
![{\displaystyle 2c(x-c)=y(B-Ac)\,;\qquad (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880b4f419f7dab3b77ebf096e8d6b611b6acdd6f)
l’équation (7), combinée avec l’équation (1), donne
![{\displaystyle A={\frac {y^{2}-2c(x-c)}{y(x+c)}},\qquad B=c.{\frac {y^{2}+2x(x-c)}{y(x+c)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a58d1faf01fac2b75ec2ea81686088a017ef6d)
enfin, ces valeurs étant substituées dans l’équation (5), on obtient,
toutes réductions faites,
![{\displaystyle \left\{y^{2}+(x-c)^{2}\right\}\left(y^{2}-4cx\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f81994d8fca04bf6a6ff89ffcd8b6ad27d8570)
L’égalité du premier facteur à zéro donnerait évidemment un point
conjugué, situé en
; rejetant donc ce facteur, l’équation de la
courbe décrite par le point
sera
![{\displaystyle y^{2}=4cx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64eb2e34bc6f59f1554f05920e1c03647ab45178)
c’est-à-dire, que cette courbe sera une parabole, ayant le point
pour sommet et le point
pour foyer.
Soit porté
sur le prolongement de
de
en
; par le point
soit menée une parallèle
à
et soit enfin abaissée, du point
une perpendiculaire
sur cette parallèle ; à cause des angles
égaux
et
et de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {MF=FT=FI+IT=IG+IP=PG=MQ} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877f752c617a1128387886c37722716cc1a917a8)
ainsi chaque point
de la courbe est à une même distance de la
droite
et du point ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
L’inclinaison de la droite
étant donnée, il ne peut y avoir
qu’une seule direction de
pour laquelle la condition
soit satisfaite ; donc la droite
n’a que le seul point
de commun avec la courbe et lui est conséquemment tangente
en ce point ; et, comme on a, par construction,
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {FMT} =\operatorname {Ang} .\mathrm {FTM} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604eef73767abb9278f8215da8bb564da4dbcacb)
il en faut conclure que, dans la parabole, la tangente en un point divise en deux parties égales l’angle formé par le rayon vecteur et le prolongement d’une parallèle à l’axe menés par ce même point ; enfin, de ce que
on voit que, dans la parabole, la sous-tangente est double de l’abscisse.
Nous venons de voir qu’on a constamment
et
; si donc l’angle
est droit ou, ce qui revient au même, si le point, coïncide avec le point
le quadrilatère
deviendra un quarré ; et
qui en sera la diagonale, viendra passer par le point
; on aura donc alors
; ainsi, dans la parabole, l’ordonnée qui répond au foyer est double de la distance de ce foyer au sommet ; la tangente à l’extrémité de cette ordonnée fait un angle demi-droit avec elle, et passe par l’intersection de l’axe de la courbe avec sa directrice. Cette dernière propriété de la parabole lui est commune, au surplus, avec l’ellipse et l’hyperbole.
D’après ce qui précède, en désignant par
et
les coordonnées du point
l’équation de la tangente en ce point sera
ou
![{\displaystyle y-y'={\frac {y'^{2}-2c(x'-x)}{y'(x'+c)}}(x-x'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4937c279e9f1bb10bdde21968f5d1b17317bac)
ou, en mettant pour
sa valeur
et réduisant ;
![{\displaystyle y-y'={\frac {2c}{y'}}(x-x')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f602fa5f3e87b104d58c269ae32397cc41d94ed7)
l’équation de toute corde parallèle à cette tangente sera donc de la forme
![{\displaystyle y={\frac {2c}{y'}}x+D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3c6d0527ed23c961b8c41b0df435dd8559cb2e)
On obtiendra les coordonnées des extrémités de cette corde, en combinant cette dernière équation avec l’équation
![{\displaystyle y^{2}=4cx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e1681694b713aa85f73358f299930b8f3ec326)
L’élimination de
entre ces deux équations donne
![{\displaystyle y^{2}-2y'y+\mathrm {D} y'=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a9f27c2bdfd436b775b82d1867a8a9e365aff9)
la somme des ordonnées des extrémités de la corde dont il s’agit
est donc
; la moitié de cette somme, c’est-à-dire, l’ordonnée
du milieu de la corde est donc
; cette corde a donc son
milieu sur le prolongement
de la parallèle
menée à l’axe
par le point
Ainsi, dans la parabole, toute parallèle à l’axe est un diamètre de la courbe.
Ce qui précède, et ce qui a déjà été dit dans l’article auquel
celui-ci fait suite, paraît très-propre à faire voir combien le choix
des constructions, dans la génération des courbes, peut influer sur
la déduction, plus ou moins facile et lumineuse, de leurs diverses
propriétés.
Chambéry, 12 février 1812.