Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie analitique, article 4

Réponse à la réclamation de M. Bérard ; par M. Bret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 369-371).

CORRESPONDANCE.

Lettre de M. Bret, professeur à la faculté des sciences
de l’académie de Grenoble,

Au Rédacteur des Annales ;

En réponse aux lettres de MM. du Bourguet et Bérard,
insérées aux pages 94 et 97 de ce volume.

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Monsieur et très-cher Confrère,

La difficulté que j’ai élevée sur la démonstration donnée par M. du Bourguet, à la page 338 du 2.^e volume des Annales, du principe qui sert de fondement à la théorie des équations, me semble subsister encore dans son entier, malgré la réponse que ce géomètre y a faite, à la page 94 du présent volume.

Soit en effet l’équation

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots =y,\qquad$(1)

dans laquelle $A,B,C,\ldots$ sont des nombres quelconques ; si je donne à $x$ des valeurs numériques $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ il en résultera pour $y$ des valeurs numériques correspondantes $\beta ,\beta ',\beta '',\ldots \,;$ donc $x$ dépend de $y$ et de $A,B,C,\ldots \,;$ et on a

$x=\phi (A,B,C,\ldots y).\qquad$(2)

Cette équation détermine les valeurs $x=\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$

Lorsque $y=\beta ,\beta ',\beta '',\ldots$

Cela posé, toutes les couples de $x,y,$ savoir, $\alpha \beta ,\alpha '\beta ',\alpha ''\beta '',\ldots$ qui satisfont à l’équation (1), satisfont aussi à l’équation (2) ; mais réciproquement, faut-il en conclure que toutes les couples qui satisfont à cette dernière équation, satisfont aussi à la première ? Je pense que cette conséquence ne peut être admise sans démonstration.

D’après cela, si, dans l’équation (2), on fait $y=0,$ on aura bien une valeur correspondante de $x$ ; mais il reste à savoir si ce couple satisfait à l’équation primordiale, d’autant plus que cette équation (1) peut cesser d’exister dans ce cas. Je persiste donc à croire qu’il est très-difficile de ramener la démonstration de ce principe à des notions purement élémentaires.

Permettez-moi, Monsieur, de saisir cette occasion, pour répondre à la réclamation insérée à la page 97 de ce volume.

Je n’ignorais point, en effet, que M, Berard eût une construction nouvelle de la parabole ; mais je n’avais pas connaissance du moyen qu’il employait. Je l’ai examiné depuis, et j’ai reconnu que nos méthodes diffèrent essentiellement.

Celle que l’on trouve dans les Opuscules mathématiques de M. Bérard, a pour but de déterminer le foyer, et emploie pour cela cette propriété de la parabole, que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et le diamètre. Mais il faut bien remarquer que, si le système primitif des axes auxquels on rapporte la courbe est rectangulaire, les tangentes (3) et (4) seront à angles droits (page 223 du tome 2.^e des Annales), et la droite qui joindra les points de contact $\mathrm {A}$ et $\mathrm {D} ,$ passera toujours par le foyer ; en sorte que la construction donnée par M. Bérard n’est point applicable au cas où le système primitif des axes est rectangulaire. Il faut donc, dans ce cas, recourir à une autre propriété, pour construire la parabole. Cette propriété consiste en ce que le point de rencontre des tangentes (3) et (4) est un point de la directrice de la parabole.

L’inconvénient que je viens de remarquer n’a point lieu dans ma méthode, ce qui la, rend tout à fait générale. En effet, elle détermine le sommet, et même directement tous les points de la courbe, en n’employant uniquement que cette propriété de la parabole, rapportée soit à son axe soit à ses diamètres, savoir, que la sous-tangente est double de l’abscisse du point de contact.

Agréez, etc.

Grenoble, le 1.^er avril 1813.