CORRESPONDANCE.
Lettre de M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.
Au Rédacteur des Annales.
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Monsieur et très-cher Confrère,
J’ai l’honneur de vous soumettre quelques remarques qui concernent deux mémoires de votre dernière livraison des Annales, et qui me paraissent intéressantes.
§. 1. Sur la construction des formules qui servent à déterminer la grandeur et la situation des diamètres principaux, dans les lignes du second ordre.[1]
L’équation
ou, plus généralement
donne l’angle que fait l’axe des ou des avec l’axe
des ; on trouve les deux angles et ; en sorte que la même formule fait connaître les directions des axes des et des Si désigne l’angle que fait l’axe des avec l’axe des il faudra porter sur cet axe des à partir du centre, la valeur
ce résultat est vrai, si est négatif, et il est faux si est positif.
Soit donnée pour exemple l’équation
Rappelons les formules de mon mémoire (tom. II, p. 218) ;
En substituant, on trouve
d’où
ou
or, comme doit être positif, il s’ensuit que donc
En appliquant les formules de M. Rochat, on trouve au contraire
Il est donc très-important de faire attention au double signe du radical, dans les valeurs de et ou dans celles de et ; car, sans cette précaution, on déterminerait bien exactement l’ellipse et l’hyperbole, mais très-souvent ces courbes ne seraient point situées comme elles doivent l’être, relativement aux axes primitifs des coordonnées.
§. 2. Observation sur la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations.[2]
L’équation établit entre les variables une relation telle qu’à chaque valeur de il correspond une valeur de Réciproquement, pour on doit trouver et par conséquent, il
existe une série d’opérations à faire sur et les coefficîens
de manière à obtenir ou, ce qui revient au
même, on a
et on aura pareillement
. . . . . . . . . . . . . . .
Il s’agirait donc de démontrer que les fonctions sont
les mêmes ou, ce qui revient au même, qu’il faut constamment exécuter
sur les différentes valeurs de la même série d’opérations pour en
conclure les valeurs correspondantes de ; il faudrait prouver en
outre qu’à chaque valeur de non comprise dans la série
il doit nécessairement correspondre une valeur de ; or, c’est ce
qui ne me paraît pas établi par le raisonnement de M. du Bourguet.
J’ai ouï dire, au surplus, que M. Gauss était parvenu à démontrer
que toute équation est décomposable en facteurs réels du second
degré au plus, sans supposer la décomposition en facteurs du premier degré. S’il en est ainsi, le principe que M. du Bourguet a eu en vue de démontrer, se trouve être une conséquence toute naturelle de celui-là.
Agréez, etc.
Grenoble, le 7 mai 1812.