TRIGONOMÉTRIE.
Démonstrations de quelques formules de trigonométrie
sphérique ;
Par M. Servois, professeur de mathématiques aux écoles
d’artillerie de Lafère.
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I.
On trouve, dans les œuvres de Goudin (Paris 1803), un mémoire qui a pour titre : Usages de l’ellipse dans la trigonométrie sphérique, et où l’auteur, entre autres applications, s’occupe de la résolution de l’équation
(1)
dans laquelle est l’inconnue, et des quantités données dont la dernière n’excède pas l’unité.
On peut parvenir fort simplement au but sans recourir aux propriétés de l’ellipse dont l’emploi, en cette rencontre, semble tout à fait hors de propos.
Soient posés, en effet,
l’équation (1) deviendra
d’où on tire en doublant,
ou encore
équation qui peut être mise sous cette forme
ou en simplifiant,
équation qui peut être écrite ainsi
égalant successivement chaque facteur à zéro, on obtiendra
Ainsi, en supposant et c’est le cas des applications trigonométriques, on obtiendra l’angle auxiliaire par l’équation (2) ; l’équation (3) donnera ensuite l’angle auxiliaire , et on obtiendra enfin les deux valeurs de par les formules (4), (5) ; ce qui est exactement conforme aux résultats obtenus par Goudin.
II.
M. Gauss a donné, sans démonstration[1], les formules trigonométriques que voici : étant les trois côtés d’un triangle sphérique, et les angles respectivement opposés, on a
[2]
Il m’a paru que ces formules pouvaient être assez facilement démontrées
comme il suit.
Les équations fondamentales de la trigonométrie sphérique sont,
comme l’on sait,
Éliminant, dans les équations des deux premières lignes,
et
au moyen de celles de la dernière, en se rappelant que
et supprimant ensuite le facteur commun à tous les termes des équations résultantes, il viendra
en ajoutant et retranchant successivement les équations de chaque colonne, les résultats qui en proviendront, pourront être écrits ainsi
en observant que
ces équations deviendront
divisant successivement les deux premières par chacune des deux dernières, il viendra
mais, par la proportionnalité des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, on a
substituant donc, réduisant et extrayant la racine quarrée, on tombera sur les formules annoncées. On se convaincra d’ailleurs que les racines doivent toutes être prises avec le signe +, en considérant le cas particulier où le triangle serait bi-rectangle en et ; on aurait alors étant le cadran et ; valeurs qui ne peuvent satisfaire qu’avec le signe .
Il est presque superflu d’observer que les formules
donnent, en les combinant, par voie de division, les Analogies de Néper, lesquelles se trouvent ainsi démontrées par ce qui précède.