Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Trigonométrie, article 1

Démonstration de quelques formules de trigonométrie sphérique ; par M. Servois.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 84-88).

TRIGONOMÉTRIE.

Démonstrations de quelques formules de trigonométrie
sphérique ;

Par M. Servois, professeur de mathématiques aux écoles
d’artillerie de Lafère.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I.

On trouve, dans les œuvres de Goudin (Paris 1803), un mémoire qui a pour titre : Usages de l’ellipse dans la trigonométrie sphérique, et où l’auteur, entre autres applications, s’occupe de la résolution de l’équation

$\operatorname {Cos} .\alpha +\mathrm {A} \operatorname {Sin} .\alpha =\mathrm {B} \qquad$(1)

dans laquelle $\alpha$ est l’inconnue, et $\mathrm {A,B,}$ des quantités données dont la dernière n’excède pas l’unité.

On peut parvenir fort simplement au but sans recourir aux propriétés de l’ellipse dont l’emploi, en cette rencontre, semble tout à fait hors de propos.

Soient posés, en effet,

${\begin{array}{lr}B=\operatorname {Cos} .\beta ,&(2)\\A=\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Cot} .\gamma ,&(3)\\\end{array}}$

l’équation (1) deviendra

$\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Cot} .\gamma -\operatorname {Cos} .\beta =0,$

d’où on tire en doublant,

${\frac {2.\operatorname {Cos} .\alpha -2\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta }}=-2\operatorname {Cot} .\gamma =-{\frac {2.\operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Sin} .\gamma }},$

ou encore

${\frac {(1+\operatorname {Cos} .\alpha )(1-\operatorname {Cos} .\beta )-(1-\operatorname {Cos} .\alpha )(1+\operatorname {Cos} .\beta )}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {(1-\operatorname {Cos} .\gamma )-(1+\operatorname {Cos} .\gamma )}{\operatorname {Sin} .\gamma }}~;$

équation qui peut être mise sous cette forme

${\frac {2.\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\beta -2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\beta }{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\beta .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\beta }}={\frac {2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\gamma -2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\gamma }{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\gamma .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\gamma }},$

ou en simplifiant,

$\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta -\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\beta =\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma -\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

équation qui peut être écrite ainsi

$(\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .-\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma )(\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta +\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma )=0~;$

égalant successivement chaque facteur à zéro, on obtiendra

${\begin{array}{lr}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =\quad \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ,&(4)\\\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =-\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma .&(5)\end{array}}$

Ainsi, en supposant $B<1,$ et c’est le cas des applications trigonométriques, on obtiendra l’angle auxiliaire $\beta$ par l’équation (2) ; l’équation (3) donnera ensuite l’angle auxiliaire $\gamma$, et on obtiendra enfin les deux valeurs de $\alpha$ par les formules (4), (5) ; ce qui est exactement conforme aux résultats obtenus par Goudin.

II.

M. Gauss a donné, sans démonstration^[1], les formules trigonométriques que voici : $a,b,c,$ étant les trois côtés d’un triangle sphérique, et $A,B,C,$ les angles respectivement opposés, on a

${\begin{array}{lr}\mathrm {I} .&{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {II} .&{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {III} .&{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {IV} .&{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}}.\\\end{array}}$^[2]

Il m’a paru que ces formules pouvaient être assez facilement démontrées comme il suit.

Les équations fondamentales de la trigonométrie sphérique sont, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .A=\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c,&\quad \operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Cos} .A+\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C,\\\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .c,&\quad \operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b=\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C,\\\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b,&\quad \operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c=\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B.\\\end{aligned}}$

Éliminant, dans les équations des deux premières lignes, $\operatorname {Cos} .c$ et

$\operatorname {Cos} .C,$ au moyen de celles de la dernière, en se rappelant que $1-\operatorname {Cos} .^{2}x=\operatorname {Sin} .^{2}x,$ et supprimant ensuite le facteur commun à tous les termes des équations résultantes, il viendra

$\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .A=\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .b-\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .C,\ \operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .a$

$=\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .B+\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .c,$

$\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C,\ \operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b$

$=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c~;$

en ajoutant et retranchant successivement les équations de chaque colonne, les résultats qui en proviendront, pourront être écrits ainsi

$\operatorname {Sin} .c(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A)=(1-\operatorname {Cos} .C)\operatorname {Sin} .(a+b),$

$\operatorname {Sin} .C(\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .a)=(1+\operatorname {Cos} .c)\operatorname {Sin} .(A+B),$

$\operatorname {Sin} .c(\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Cos} .A)=(1+\operatorname {Cos} .C)\operatorname {Sin} .(a-b),$

$\operatorname {Sin} .C(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .a)=(1-\operatorname {Cos} .c)\operatorname {Sin} .(A-B)\,;$

en observant que

$\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y),$

$\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(x-y)$

$1-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}x,\quad 1+\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}x,$

$\operatorname {Sin} .x=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$

ces équations deviendront

${\begin{alignedat}{1}2\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)\ &=4\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b),\\2\operatorname {Sin} .c.\,\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\,\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\ &=4\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b),\\2\operatorname {Sin} .C.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)\ \ \ &=4\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B),\\2\operatorname {Sin} .C.\,\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)\,\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)\ \ \ &=4\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)~;\\\end{alignedat}}$

divisant successivement les deux premières par chacune des deux dernières, il viendra

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}=\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)}}\right\}^{2}&\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)}},\\{\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}=\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)}}\right\}^{2}&\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)}},\\{\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}=\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)}}\right\}^{2}&\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)}},\\{\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}=\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)}}\right\}^{2}&\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)}}~;\\\end{aligned}}$

mais, par la proportionnalité des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, on a

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(a+b)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)}}&={\frac {\operatorname {Sin} .a+\operatorname {Sin} .b}{\operatorname {Sin} .A+\operatorname {Sin} .B}}={\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}\\{\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(a-b)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)}}&={\frac {\operatorname {Sin} .a-\operatorname {Sin} .b}{\operatorname {Sin} .A-\operatorname {Sin} .B}}={\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}},\\\end{aligned}}$

substituant donc, réduisant et extrayant la racine quarrée, on tombera sur les formules annoncées. On se convaincra d’ailleurs que les racines doivent toutes être prises avec le signe +, en considérant le cas particulier où le triangle serait bi-rectangle en $B$ et $C$ ; on aurait alors $B=C=b=c=q,$ $q$ étant le cadran et $A=a$ ; valeurs qui ne peuvent satisfaire qu’avec le signe $+$.

Il est presque superflu d’observer que les formules $\mathrm {I,II,III,IV,}$ donnent, en les combinant, par voie de division, les Analogies de Néper, lesquelles se trouvent ainsi démontrées par ce qui précède.

1. Voyez Théoria motus corporum cœlestium ; Hambourg, 1809, page, 51.
2. Ces formules ont aussi été données par M. Delambre, dans la Connaissance des temps pour 1809, page 445.
   (Note des éditeurs.)