GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Discussion des équations du second degré entre deux
variables ;
Par M. BRET, professeur de mathématiques transcendantes
au lycée de Grenoble.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
§. 1.
Construction des courbes qui ont un centre.
L’équation générale des courbes du second ordre qui ont un centre, peut toujours, comme l’on sait, être facilement ramenée à la forme
![{\displaystyle ay^{2}+2bxy+cx^{2}=P\,;\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3740efaf029ea8ab43e3d27ad6e3b89feb684445)
et
désignant des coordonnées rectangulaires.
Nous allons chercher à construire, le plus simplement possible, les différentes courbes que cette équation peut représenter.
L’équation
![{\displaystyle gy'^{2}+hx'^{2}=P,\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a7712d76bca9428b197b4d4f1304096adccd08)
construite sur les axes obliques des
déterminés de position par rapport aux premiers, et ayant la même origine, donnera les mêmes courbes, si, en substituant pour
dans l’équation (2), les fonctions équivalentes de
on obtient une équation identiquement la même que l’équation (1).
Or, les formules connues qui donnent les valeurs des coordonnées obliques
en coordonnées rectangulaires, sont
![{\displaystyle x'={\frac {x\operatorname {Sin} .\alpha '-y\operatorname {Cos} .\alpha '}{\operatorname {Sin} .\theta }},\quad y'={\frac {x\operatorname {Sin} .\alpha -y\operatorname {Cos} .\alpha }{-\operatorname {Sin} .\theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dfcaf26c74252efe192f024c9a824d2d69899c)
dans lesquelles
et
désignent respectivement les angles que font les axes de
et
avec l’axe des
, du côté des
positifs, et où
on a fait, pour abréger ![{\displaystyle \alpha '-\alpha =\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c266e2f00d474cebd535203aa567e66c1f73e92b)
Effectuant donc le calcul que nous venons d’indiquer, et exprimant que l’équation résultante est identique avec l’équation (1), il viendra
De ces équations on déduit facilement, savoir : la valeur de la somme
en ajoutant les deux premières, et la valeur du produit
en retranchant de leur produit le quarré de la troisième. Ces valeur sont
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}g+h&=(a+c)\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\gh&=(ac-b^{2})\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\\end{aligned}}\right\}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdc8635e9e2c68bd003feef81cddebb5804dded)
et par conséquent l’équation du second degré qui a pour racines
et
sera
![{\displaystyle z^{2}-(a+c)z\operatorname {Sin} .^{2}\theta +(ac-b^{2})\operatorname {Sin} .^{2}\theta =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a20c8b4690ba5c2192941ac61886d4347ea03d6)
(5)
ses racines sont imaginaires lorsqu’on a
![{\displaystyle (a+c)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta -4(ac-b^{2})<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f109d10d143cfbe58b2132c17e6763b96a9c640)
ce qui emporte la condition
![{\displaystyle ac-b^{2}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74a23afc63bdf83cc74d4e04f30d8ffbec6ed2b)
et donne
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\theta <{\frac {4(ac-b^{2})}{(a+c)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40ed7f5f60c92de644d53237fc2a330c79946be)
dans ce cas seulement l’équation (2) cesse de représenter les courbes comprises dans l’équation (1). Ainsi, la plus petite valeur que puisse atteindre
est donnée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\theta ={\frac {4(ac-b^{2})}{(a+c)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f07da954c9ffb2eabbd8be8c052aa77977247a)
alors les racines de l’équation (5) sont égales, c’est-à-dire, qu’on a alors
ce qui démontre que l’angle obtus formé par les diamètres conjugués égaux est le plus grand de tous ceux que puissent former deux diamètres conjugués.
En éliminant
et
à entre les équations (3) on obtient
![{\displaystyle a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '+b\left\{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha \right\}+c\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a4108a1233236a7ffdc106db2eac86a7edf4d8)
ou
![{\displaystyle a\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha '+b(\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\alpha ')=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f4913a42baa2ef779eab8f50ba3d26605d0027)
(6)
cette équation sert à fixer la position des nouveaux axes.
On conclut de tout ce qui précède qu’il y a une infinité de systèmes de coordonnées pour lesquels l’équation des courbes du second ordre qui ont un centre, conserve la forme
[1]
Cherchons maintenant si, parmi ces systèmes, il en peut exister de rectangulaires. Supposons l’angle
droit et prenons l’axe des
, dans l’angle des
et
positifs ; il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha '=-\operatorname {Sin} .\alpha ,\quad \operatorname {Sin} .\alpha '=\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb63de915a50a4bbf720e970c31913dee914fc63)
d’après quoi les équations (3) se transformeront en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=g\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +h\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,\\c&=g\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +h\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ,\\b&=(h-g)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5373d08929147309fccb1b950ed96c115937736)
prenant la différence des deux premières, il viendra
![{\displaystyle a+c=(g-h)(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9014da8b8906446eb2a9ae57f2b55d20f9ccab65)
or,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =\operatorname {Cos} .2\alpha {\text{ et }}2\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746ae084144dace8785e5c3d1540adcba9272816)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .2\alpha ={\frac {a-c}{g-h}},\quad \operatorname {Sin} .2\alpha ={\frac {2b}{h-g}},\quad {\text{d’où}}\quad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba973aa39f1b2e1919c7e6f0c93fdc7c1271e37)
cette dernière formule fait connaître la direction des axes principaux.
Mais il est nécessaire de distinguer, par quelques caractères, la valeur de
de celle de
. Pour cela nous observerons que
étant, par hypothèse, moindre que le quadrans,
est plus petit que deux angles droits ; d’où il suit que
est positif ; la différence
aura donc le signe qui affectera
c’est-à-dire, que, si
est positif, on prendra pour
la plus grande racine, et que, si
est négatif, on choisira, au contraire, pour
la plus petite de ces racines. Ainsi, par ce qui précède, les courbes du second ordre qui ont un centre, se trouvent entièrement connues de grandeur et de situation par rapport aux axes primitifs.
Les racines de l’équation
![{\displaystyle z^{2}-(a+c)z+(ac-b^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219c9073d5b2980fd64ffe0721c8fc671862ae1c)
sont essentiellement réelles.
1.o Si ces racines sont de même signe, la courbe est une ellipse.
2.o Si elles sont de signes contraires, la courbe est une hyperbole.
3.o Si, en particulier, elles sont numériquement égales, la courbe sera un cercle ou une hyperbole équilatérale.
On déduit très-simplement des équations (4 et 6) les relations qui ont lieu entre les grandeurs des axes principaux et les grandeurs et directions des diamètres conjugués. Considérons, en effet, l’équation
![{\displaystyle gy'^{2}+hx'^{2}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09d73aa15a5aec4a834482a72c2de2fcb6716ef)
dans deux systèmes différens de coordonnées ; nous aurons deux équations correspondantes des mêmes courbes auxquelles nous donnerons les formes suivantes :
![{\displaystyle \pm {\frac {y^{2}}{B^{2}}}+{\frac {x^{2}}{A^{2}}}=1,\quad \pm {\frac {y'^{2}}{B'^{2}}}+{\frac {x'^{2}}{A'^{2}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e877a37be576c060a88269723a4cf7e41f9d492b)
La première, dans laquelle
désignent des coordonnées rectangulaires, répond à l’équation (1) ; et la seconde, dans laquelle
expriment des coordonnées obliques, répond à l’équation (2). Comparant ces équations entre elles, on obtient
![{\displaystyle a=\pm {\frac {1}{B^{2}}},\quad b=0,\quad c={\frac {1}{A^{2}}},\quad g=\pm {\frac {1}{B'^{2}}},\quad h={\frac {1}{A'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a63fa570ce609a6d599455dacd439d8fdd059ad)
d’après quoi les équations (4 et 6) deviennent
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{B'^{2}}}+{\frac {1}{A'^{2}}}=\left(\pm {\frac {1}{B'^{2}}}+{\frac {1}{A'^{2}}}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878a824fb17cdca05737f56e081fd3e69b64a218)
![{\displaystyle {\frac {1}{A'^{2}B'^{2}}}={\frac {1}{A^{2}B^{2}}}\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d92e99a7d618d461b5a145a218e9e4ffd8db4a5)
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{B^{2}}}\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha '+{\frac {1}{A^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa3eccce4918545936b7dc4b30aa0256aadfa59)
d’où on déduit, sur-le-champ, les relations connues
![{\displaystyle \mathrm {AB=A'B'\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha ),\quad A^{2}\pm B^{2}=A'^{2}\pm B'^{2},\quad A^{2}\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha '\pm B^{2}} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057ccabc6bb4487ab00052b9aaf398f2561855e3)
Nous terminerons par l’application de ces méthodes à la construction d’une ellipse donnée par l’équation
![{\displaystyle 5y^{2}+2xy+5x^{2}-12y-12x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab488ca6ae406608136e565fce8e29cb43fae5af)
en portant l’origine au centre, dont les coordonnées sont l’une et l’autre égales à l’unité, cette équation deviendra
![{\displaystyle 5y^{2}+2xy+5x^{2}=12.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f54f435c16cff0caa71e4365a4aca258b314f9)
Reprenant alors les formules
![{\displaystyle ay^{2}+2bxy+cx^{2}=P,\quad gy'^{2}+hx'^{2}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aec1610bdf44efe68458bf54af18decb3efc694)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha ={\frac {2b}{h-g}},\quad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ea23f354644410ba2309a0247452b8d1d239a6)
![{\displaystyle z^{2}-(a+c)z+(ac-b^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219c9073d5b2980fd64ffe0721c8fc671862ae1c)
on trouve
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha ={\frac {2}{h-g}},\quad \operatorname {Tang} .2\alpha =\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423b033e9b02fc614b7166ff34c2286683a6d4bd)
![{\displaystyle z^{2}-10z+24=0{\text{ d’où }}z=4{\text{ ou }}6\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5761b5882284f61cc1f0ba57b3f5d8b62e00119d)
or, comme
doit être positif, il s’ensuit que
en sorte que l’ellipse a pour équation
![{\displaystyle 6x'^{2}+4y'^{2}=12,{\text{ ou }}3x'+2y'^{2}=6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d5f1d80f3f2533066570a4bb2b8d6c1208d432)
§. 2.
Construction de la parabole.
L’équation générale de la parabole est
![{\displaystyle ay^{2}+2bxy+cx^{2}+2dy+2ex+f=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e3c2ca5b88c246a8703457a8f67631b2a1912a)
en écrivant que
.
Si on la résout successivement par rapport à
et par rapport à
, on trouvera
![{\displaystyle y=-{\frac {bx+d}{a}}\pm {\frac {1}{a}}{\sqrt {2\left(bd-ae\right)x+\left(d^{2}-af\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f91b10af170cc5fb51aeb4cc14793b6ecb2ba9)
![{\displaystyle x=-{\frac {by+e}{c}}\pm {\frac {1}{c}}{\sqrt {2\left(be-cd\right)y+\left(e^{2}-cf\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d1023bd599997283b8959eb6ce28fceccb1109)
Soient ensuite posées les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}ay+2bx+d=0,\quad &(1)\\by+cx+e=0,\quad &(2)\\2\left(bd-ae\right)x+\left(d^{2}-af\right)=0,\quad &(3)\\2\left(be-cd\right)y+\left(e^{2}-cf\right)=0.\quad &(4)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88db0d7d7a6526d00aaaa8cfe071f7211dbf8ef)
Soient désignés par
et
les points où la droite (3) coupe les diamètres (1) et (2), et par
et
ceux où la droite (4) rencontre ces mêmes diamètres. On voit que ces droites (3) et (4) sont tangentes à la parabole aux points
et
. Si maintenant des points
et
on abaisse sur les droites (2) et (1) des perpendiculaires qui aboutissent respectivement aux points
et
de ces lignes, et qu’ensuite on joigne le point
au milieu de
et le point
au milieu de
, par deux droites, ces droites se couperont au sommet
de la parabole.
Cette construction est fondée sur cette propriété de la parabole rapportée soit à son axe soit à ses diamètres, savoir : que la sous-tangente est double de l’abscisse du point de contact.
On peut employer une construction semblable pour déterminer
d’autres points que le sommet. Si, en effet, au lieu d’abaisser des
points
et
des perpendiculaires sur les diamètres (2) et (1), on
mène, par ces points, des parallèles
, sous un angle
quelconque ; en continuant la construction, comme ci-dessus, on
obtiendra le point de la parabole où sa tangente est parallèle aux
droites
ou
.
Ayant le sommet, il est facile de trouver le foyer ; il suffit, en
effet, pour cela de mener le rayon vecteur du point
, c’est-à-dire,
de mener par le point
une droite faisant avec la droite (1) un
angle égal à celui que fait celle-ci avec la droite (3), cette droite
par sa rencontre avec l’axe de la courbe qui est maintenant connu,
déterminera le point cherché. On pourrait aussi déterminer le foyer
par l’intersection des rayons vecteurs des points
et
; mais quelquefois ces rayons vecteurs pourraient se confondre.
Ayant ainsi le sommet et le foyer de la courbe, il est facile de
la tracer, soit par points, soit par un mouvement continu.