GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Détermination de la longueur des axes principaux dans
les surfaces du second ordre qui ont un centre ;
Par M. Bret, professeur de mathématiques transcendantes
au lycée de Grenoble.
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L’équation générale des surfaces du second ordre est
Si on ne considère que les surfaces qui ont un centre, on pourra, en transportant l’origine des coordonnées à ce centre, faire disparaître de cette équation les premières puissances des variables et on obtiendra l’équation plus simple
Substituons à les valeurs qui servent à passer du système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées aussi rectangulaires et pour cela rappelons les formules connues
ensuite les équations de condition
lesquelles peuvent, comme l’on sait, être remplacées par les suivantes
Nous aurons, en faisant disparaître de la nouvelle équation les rectangles ce qui est toujours possible[1], l’équation
Nous allons maintenant chercher l’équation du troisième degré qui a pour racines
On trouve cette équation, de la manière la plus simple, en passant de l’équation
(I)
à celle-ci
(II)
Pour cela posons les valeurs de en ces valeurs sont
Substituant ces valeurs dans l’équation , et comparant celle qui en résulte à l’équation , on trouve
Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de
D’abord, si l’on ajoute les équations on a, en vertu des équations ,
Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici
etc., etc., etc.
Cela posé, dans les équations , effectuons le produit nous obtiendrons
or, les équations donnent
retranchant donc ce dernier résultat du précédent, on aura
on aura pareillement
donc
Mais, si du produit des deux premières équations on retranche le quarré de la quatrième, on aura
on a donc simplement
Il nous reste encore à trouver ; pour y parvenir formons le produit , dans les équations , nous aurons
représentant la fonction de cosinus qui multiplie
Effectuons aussi le produit des équations , il viendra
étant le coefficient de
Les équations et donnent encore
Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.
Pour obtenir la valeur de , j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens ; ainsi posons
Les équations , deviennent les équations , lorsque donc l’équation sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à on en conclut que
partant l’équation du troisième degré qui a pour racines sera