Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 4

Note sur l’inscription de trois cercles à un triangle ; par les Rédacteurs des Annales.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 60-64).

GÉOMÉTRIE.

Note sur le problème de l’inscription de trois cercles à
un triangle, traité à la page 343 du premier volume
des Annales ;

Par les Rédacteurs des Annales.

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Plusieurs géomètres, n’ayant pas sous la main les derniers volumes des Mémoires de la société italienne, ont manifesté le désir de connaître, par la voie des Annales, l’analise qui a conduit M. Malfatti à l’élégante construction à laquelle il est parvenu, pour l’inscription de trois cercles à un triangle. Les rédacteurs, dans la vue de répondre à leur vœu, se sont adressés à M. Bidone qui a bien voulu leur faire parvenir un extrait de la solution de M. Malfatti. Malheureusement cette solution est peu propre à éclairer sur les moyens par lesquels l’auteur l’a obtenue ; elle se réduit uniquement, en effet, à former les équations du problème et les valeurs des inconnues, et à prouver ensuite, à l’aide des relations entre les données, que les dernières satisfont aux premières. M. Bidone termine ainsi son extrait :

« Tel est le précis de la solution de M. Malfatti, qu’il dit avoir converti en un théorème, comme on le voit par ses procédés, pour la présenter sous une forme plus simple, et pour ne pas être obligé d’exposer le nombre de calculs qu’il a sans doute dû faire pour arriver à cette construction, en cherchant à résoudre directement le problème. M. Malfatti n’indique nullement la trace qu’il a suivie pour parvenir aux valeurs des inconnues, et l’on peut dire que son mémoire est tout renfermé dans ce précis, à quelques développemens près ».

Au lieu de vérifier les valeurs des inconnues sur les équations de M. Malfatti, les rédacteurs des Annales préfèrent les vérifier sur les leurs qui sont plus simples, attendu que M. Malfatti emploie six inconnues au lieu de trois, et qu’en outre, n’ayant pas représenté par des symboles particuliers les distances des sommets du triangle donné au centre du cercle qui lui est inscrit, ses formules se trouvent ainsi compliquées de radicaux.

Avant de venir au but, il faut d’abord établir entre les données du problème des équations de relation propres à simplifier le calcul. On a (tom. 1.^er pag. 343)

${\begin{aligned}c+c'+c''&=2s,\\s-c'&=2\rho ',\\s-c''&=2\rho ''~;\\\end{aligned}}$

en ajoutant ces équations et réduisant, il vient

$c=2\rho '+\rho '',$

d’où

$c^{2}{\text{ ou }}c(s-\rho )=\rho '^{2}+2\rho '\rho ''+\rho ''^{2},$

ou, en multipliant par $\rho$ et mettant pour $\rho \rho '\rho ''$ sa valeur $R^{2}s,$

$\rho sc=2R^{2}s+c\rho ^{2}+\rho \rho '^{2}+\rho \rho ''^{2}~;$

en mettant pour $s$, dans le second membre sa valeur $c+\rho$ il vient

$\rho sc=2R^{2}c+2R^{2}\rho +c\rho ^{2}+\rho \rho '^{2}+\rho \rho ''^{2}~;$

mais on a

$\rho ^{2}=d^{2}-R^{2},\quad \rho '^{2}=d'^{2}-R^{2},\quad \rho ''^{2}=d''^{2}-R^{2}~;$

substituant donc, il viendra, en réduisant

$\rho sc=cR^{2}+cd^{2}+\rho d'^{2}+\rho d''^{2}~;$

ajoutant à cette dernière équation, l’équation

$0=2Rcd-2s\rho d'd'',$

l’équation résultante pourra être mise sous cette forme

$\rho sc=c(R+d)^{2}+\rho (d'-d'')^{2}~;$

en y mettant pour $c$ sa valenr $s-\rho ,$ elle deviendra

$\rho \left\{s^{2}+(R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}=s\left\{(R+d)^{2}+\rho ^{2}\right\}~;$

ajoutant à cette équation, l’équation identique

$-2\rho s(R+d)=-2s\rho (R+d),$

l’équation résultante pourra être mise sous cette forme

$\rho \left\{(s-R-d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}=s(R+d-\rho )^{2}~;$

et comme, dans toutes ces formules, on peut, à volonté, permuter les accens, on aura

${\begin{array}{lrl}(A)&\rho \left\{(s-R-d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}&=s(R+d-\rho )^{2},\\(A')&\rho '\left\{(s-R-d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\}&=s(R+d'-\rho ')^{2},\\(A'')&\rho ''\left\{(s-R-d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}&=s(R+d''-\rho '')^{2},\\\end{array}}$

Cela posé, on a vu (tom.1.^er, pag. 344) que les équations du problème sont

${\begin{array}{lrl}(B)&\rho 'r'+2R{\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&=Rc,\\(B')&\rho ''r''+2R{\sqrt {r''r}}+\rho r&=Rc',\\(B'')&\rho r+2R{\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&=Rc'',\\\end{array}}$

et il s’agit de prouver qu’on y satisfait, en posant

${\begin{array}{lll}(C)&2\rho r&=R(s-R+d-d'-d''),\\(C')&2\rho 'r'&=R(s-R+d'-d''-d),\\(C'')&2\rho ''r''&=R(s-R+d''-d-d').\\\end{array}}$^[1]

Pour cela soient d’abord ajoutées, deux à deux, les équations $(C,C',C'',)$ il viendra, en divisant par 2,

${\begin{array}{lll}(D)&\rho 'r'+\rho ''r''&=R(s-R+d),\\(D')&\rho ''r''+\rho r&=R(s-R+d'),\\(D'')&\rho r+\rho 'r'&=R(s-R+d'')~;\\\end{array}}$

multipliant les mêmes équations deux à deux, il viendra

${\begin{array}{lll}(E)&4\rho '\rho ''r'r''&=R^{2}\left\{(s-R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\},\\(E')&4\rho ''\rho r''r&=R^{2}\left\{(s-R+d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\},\\(E'')&4\rho \rho 'rr'&=R^{2}\left\{(s-R+d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}~;\\\end{array}}$

multipliant respectivement ces dernières équations par $\rho ,\rho ',\rho '',$ et changeant $\rho \rho '\rho ''$ en $R^{2}s,$ il vient

${\begin{array}{lll}(F)&4R^{2}sr'r''&=R^{2}\rho \left\{(s-R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\},\\(F')&4R^{2}sr''r&=R^{2}\rho '\left\{(s-R+d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\},\\(F'')&4R^{2}srr'&=R^{2}\rho ''\left\{(s-R+d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}.\\\end{array}}$

Par leur comparaison avec les équations $(A,A',A''),$ et la division par $s$, ces équations deviennent

${\begin{array}{lll}(G)&4R^{2}r'r''&=R^{2}(R+d-\rho )^{2},\\(G')&4R^{2}r''r&=R^{2}(R+d'-\rho ')^{2},\\(G'')&4R^{2}rr'&=R^{2}(R+d''-\rho '')^{2},\\\end{array}}$

d’où, par l’extraction de la racine quarrée, on déduit celles-ci

${\begin{array}{lrl}(H)&2R{\sqrt {r'r''}}&=R(R+d-\rho ),\\(H')&2R{\sqrt {r''r}}&=R(R+d'-\rho '),\\(H'')&2R{\sqrt {rr'}}&=R(R+d''-\rho ''),\\\end{array}}$

lesquelles ajoutées respectivement aux équations $(D,D',D''),$ donnent

${\begin{array}{rll}\rho 'r'+2R{\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&=R(s-\rho )&=Rc,\\\rho ''r''+2R{\sqrt {r''r}}+\rho r&=R(s-\rho ')&=Rc',\\\rho r+2R{\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&=R(s-\rho '')&=Rc''~;\\\end{array}}$

qui sont précisément les équations du problème.

1. Voyez tome 1.^er, page 348.