ANALISE.
Formule nouvelle pour calculer les logarithmes ;
Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
On sait qu’en représentant par
la caractéristique des logarithmes
naturels, on a généralement
![{\displaystyle \mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b13c4b26dae76d4d07b535d044c8a3d4b3547c7)
.
Cette série, qui ne peut converger lorsque
, a cependant été
mise par Lagrange sous une forme très-convergente, en substituant à
la quantité
; ce qui a donné à ce grand géomètre l’équation
![{\displaystyle \mathrm {(B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c4f8b7d0e1670356082e53e9dc6cc4095af8b5)
.
dont le second membre converge rapidement lorsqu’on prend
assez
grand pour que
n’excède l’unité que d’une très-petite fraction ; mais
la longueur du calcul qu’exige l’extraction de la racine
de
, lors
même qu’on prend
égale à une puissance exacte de 2, afin de n’avoir que des extractions de racines quarrées à effectuer, a fait rejeter
cette formule, lorsqu’on a voulu calculer des tables de logarithmes.
Si l’on substitue successivement
et
à la place de
dans
l’équation
, qu’ensuite on retranche la seconde équation trouvée
de la première ; en posant
, d’où
on obtiendra la formule déjà connue
![{\displaystyle \mathrm {l} x=2\left\{\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{3}+{\tfrac {1}{5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{5}+\ldots \right\},\;\mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a681a9ce28b1db4114ab542e430a6446e0eef68e)
qui est convergente et assez simple.
Voilà les seules formules de ce genre, du moins à ma connaissance, qui ont été trouvées jusqu’à présent. Mais mes recherches sur cet objet m’ont conduit à la formule suivante
![{\displaystyle \mathrm {l} x={\tfrac {x-1}{x}}\left\{{\tfrac {x+1}{2}}-\left[{\tfrac {1}{1\cdot 3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3\cdot 5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5\cdot 7}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{6}+\ldots \right]\right\},\;\mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773c7086042a20b6b83699bd1fc6480b01241506)
qui est beaucoup plus convergente que la formule
, et qui se démontre comme je vais l’expliquer[1].
On sait qu’en prenant l’intégrale de la formule
de manière que cette intégrale s’évanouisse lorsque z=0, on a complètement
![{\displaystyle \int \mathrm {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\left\{z{\sqrt {1+z^{2}}}+l(z+{\sqrt {1+z^{2}}})\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5003f90319ae7d44c00f064f023b30440a3ba34a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {l} (z+{\sqrt {1+z^{2}}}=2\int \operatorname {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}-z{\sqrt {1+z^{2}}}.\;\mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d96dd516f1a04ab0e00f736ce498ad2415939c9)
Mais, en se servant de la méthode d’intégration par approximation que j’ai donnée au chapitre IV de la première section de mon calcul intégral (art. 257 et 258)[2], et que je crois nouvelle, on a
![{\displaystyle \int \operatorname {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}=z{\sqrt {1+z^{2}}}-{\tfrac {z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}\left\{{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {z^{2}}{3\cdot 5(1+z^{2})}}+{\tfrac {z^{4}}{5\cdot 7(1+z^{2})^{2}}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab8d062e481c959987a4f8b87acc96b9b0808f8)
![{\displaystyle \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfff7ea1f922f02069871b629343471641eca1)
en prenant, comme précédemment, l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse lorsque
.
Substituant cette valeur de
dans l’équation
, on a
![{\displaystyle \mathrm {l} (z+{\sqrt {1+z^{2}}}=z{\sqrt {1+z^{2}}}-{\tfrac {2z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}\left\{{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {z^{2}}{3\cdot 5(1+z^{2})}}+{\tfrac {z^{4}}{5\cdot 7(1+z^{2})^{2}}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62318b2c8bb9465b87ebddb676a2d3e1072d071c)
![{\displaystyle (\mathrm {G} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a86024a673bc7054997fc2c17b3c122bbbe232e)
Soit fait
![{\displaystyle {\sqrt {1+z^{2}}}={\sqrt {x}}-z={\tfrac {x+1}{2{\sqrt {x}}}},\qquad z{\sqrt {1+z^{2}}}={\tfrac {x^{2}-1}{4x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3017e8f73d296ea53a3cec82610a266fd5fa187b)
![{\displaystyle {\tfrac {2z^{3}}{\sqrt {1+z^{2}}}}={\tfrac {(x-1)^{3}}{2x(x+1)}},\qquad {\tfrac {z^{3}}{1+z^{2}}}=\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885c3989d76668b0e31730fb0dd5c7fb5d200b0e)
substituant ces valeurs dans l’équation
, en observant que
, et multipliant toute l’équation par 2, on obtiendra la formule
qu’il s’agissait de démontrer.
Si, après avoir divisé les deux membres de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0584fc631a7be1c39adce7ebd9ab5dc9de8ecc)
par
![{\displaystyle {\tfrac {x-1}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f023f62c4c7db754728c848aa9ab5d39b7cc657)
on y suppose
![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
elle deviendra en transposant
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{7\cdot 9}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a2c94f74fb29109df0055c25c525f3d2954311)
résultat assez remarquable[3].