ADDITIONS
AUX
ÉLÉMENTS D’ALGÈBRE D’EULER.
ANALYSE INDÉTERMINÉE.
(Éléments d’Algèbre, par Léonard Euler, traduits de l’allemand avec des Notes et Additions.
— Nouvelle édition revue et corrigée. À Pétersbourg, MDCCXCVIII, 2 vol. in-8.)
AVERTISSEMENT.
Les géomètres du siècle passé se sont beaucoup occupés de l’Analyse indéterminée qu’on appelle vulgairement Analyse de Diophante ; mais il n’y a proprement que Bachet et Fermat qui aient ajouté quelque chose à ce que Diophante lui-même nous a laissé sur cette matière.
On doit surtout au premier une méthode complète pour résoudre en nombres entiers tous les Problèmes indéterminés du premier degré[1]. Le second est l’auteur de quelques méthodes pour la résolution des équations indéterminées qui passent le second degré[2] ; de la méthode singulière par laquelle on démontre qu’il est impossible que la somme ou la différence de deux carrés-carrés puisse jamais être un carré[3] ; de la solution d’un grand nombre de Problèmes très-difficiles et de plusieurs beaux Théorèmes sur les nombres entiers, qu’il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart ont été ensuite démontrés par Euler dans les Commentaires de Pétersbourg[4].
Cette branche de l’Analyse a été presque abandonnée dans ce siècle, et, si l’on en excepte Euler, je ne connais personne qui s’y soit appliqué ; mais les belles et nombreuses découvertes que ce grand géomètre y a faites nous ont bien dédommagés de l’espèce d’indifférence que les autres géomètres paraissent avoir eue jusqu’ici pour ces sortes de recherches. Les Commentaires de Pétèrsbourg sont pleins des travaux d’Euler dans ce genre, et l’Ouvrage qu’il vient de donner est un nouveau service qu’il rend aux amateurs de l’Analyse de Diophante. On n’en avait aucun où cette science fût traitée d’une manière méthodique, et qui renfermât et expliquât clairement les principales règles connues jusqu’ici pour la solution des Problèmes indéterminés. Le Traité précédent réunit ce double avantage ; mais, pour le rendre encore plus complet, j’ai cru devoir y faire plusieurs Additions dont je vais rendre compte en peu de mots.
La Théorie des fractions continues est une des plus utiles de l’Arithmétique, où elle sert à résoudre avec facilité des Problèmes qui, sans son secours, seraient presque intraitables ; mais elle est d’un plus grand usage encore dans la solution des Problèmes indéterminés, lorsqu’on ne demande que des nombres entiers. Cette raison m’a engagé à exposer cette Théorie avec toute l’étendue nécessaire pour la faire bien entendre ; comme elle manque dans les principaux Ouvrages d’Arithmétique et d’Algèbre, elle doit être peu connue des géomètres je serai satisfait si je puis contribuer a la leur rendre un peu plus familière. Je donne ensuite des applications nouvelles de cette Théorie à l’Analyse indéterminée. Je détermine les minima qui peuvent avoir lieu dans les formules indéterminées à deux inconnues, surtout dans celle du second ordre, et je démontre, relativement à celles-ci, des propositions remarquables qui n’étaient pas connues, ou qui n’avaient pas encore été démontrées d’une manière générale et directe. On remarquera principalement dans l’Article XXXIII une méthode particulière pour réduire en fractions continues les racines réelles des équations du second degré, et dans les Articles suivants une démonstration rigoureuse que ces fractions doivent toujours être nécessairement périodiques[5].
Les autres Additions concernent la résolution des équations indéterminées. Bachet avait donné, en 1624, la résolution complète des équations indéterminées du premier degré. Celle des équations du second degré n’a paru qu’en 1769, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin. On la redonne ici simplifiée et généralisée de manière à ne rien laisser à désirer. À l’égard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n’a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d’équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle paraît l’être passé le quatrième pour les équations déterminées.
Enfin le dernier paragraphe renferme des recherches sur les fonctions qui ont la propriété que le produit de deux ou de plusieurs fonctions semblables est aussi une fonction semblable ; j’y donne une méthode générale pour trouver ces sortes de fonctions, et j’en fais voir l’usage pour la résolution de différents Problèmes indéterminés, sur lesquels les méthodes connues n’auraient aucune prise.
Tels sont les principaux objets de ces Additions, auxquelles j’aurais pu donner beaucoup plus d’étendue, si je n’avais craint de passer de justes bornes. Je souhaite que les matières que j’y ai traitées puissent mériter l’attention des géomètres, et réveiller leur goût pour une partie de l’Analyse qui me paraît très-digne d’exercer leur sagacité.
§ I. — Sur les fractions continues considérées par rapport
à l’Arithmétique.
1. Comme la Théorie des fractions continues manque dans les livres ordinaires d’Arithmétique et d’Algèbre, et que, par cette raison, elle doit être peu connue des géomètres, nous croyons devoir commencer ces Additions par une exposition abrégée de cette Théorie, dont nous aurons souvent lieu de faire l’application dans la suite.
On appelle, en général, fraction continue toute expression de cette forme
![{\displaystyle \alpha +{\frac {b}{\beta +{\cfrac {c}{\gamma +{\cfrac {d}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d68badcb1e7a50279a2797717e7f8b093226d9)
où les quantités
et
sont des nombres entiers positifs ou négatifs ; mais nous ne considérerons ici que les fractions continues où les numérateurs
sont égaux à l’unité, c’est-à-dire, celles qui sont de la forme
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
étant d’ailleurs des nombres quelconques entiers positifs ou négatifs : car celles-ci sont, à proprement parler, les seules qui soient
d’un grand usage dans l’Analyse, les autres n’étant presque que de pure curiosité.
2. Mylord Brouncker est, je crois, le premier qui ait imaginé les fractions continues ; on connaît celle qu’il a trouvée pour exprimer le rapport du carré circonscrit à l’aire du cercle, et qui est
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2+{\cfrac {9}{2+{\cfrac {25}{2+\ddots }}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da06eda20647c002f4a8146ea85f86e3f61d8436)
mais on ignore le chemin qui y a conduit. On trouve seulement, dans l’Arithmetica infinitorum, quelques recherches sur ce sujet, dans lesquelles Wallis démontre d’une manière assez indirecte, quoique fort ingénieuse, l’identité de l’expression de Brouncker avec la sienne, qui est, comme l’on sait,
il y donne aussi la méthode de réduire, en général, toutes sortes de fractions continues à des fractions ordinaires. Au reste il ne paraît pas que l’un ou l’autre de ces deux grands géomètres ait connu les principales propriétés et les avantages singuliers des fractions continues ; nous verrons ci-après que la découverte en est principalement due à Huyghens.
3. Les fractions continues se présentent naturellement toutes les fois qu’il s’agit d’exprimer en nombres des quantités fractionnaires ou irrationnelles. En effet, supposons qu’on ait à évaluer une quantité quelconque donnée
qui ne soit pas exprimable par un nombre entier ; la voie la plus simple est de commencer par chercher le nombre entier qui sera le plus proche de la valeur de
et qui n’en différera que par une fraction moindre que l’unité. Soit ce nombre
et l’on aura
égal à une fraction plus petite que l’unité, de sorte que
sera, au contraire, un nombre plus grand que l’unité ; soit donc
et, comme
doit être un nombre plus grand que l’unité, on pourra chercher de même le nombre entier qui approchera le plus de la valeur de
et, ce nombre étant nommé
on aura de nouveau
égal à une fraction plus petite que l’unité, et par conséquent
sera égal à une quantité plus grande que l’unité, qu’on pourra désigner par
ainsi, pour évaluer
il n’y aura qu’à chercher pareillement le nombre entier le plus proche de
lequel étant désigné par
on aura
égal à une quantité plus petite que l’unité, et par conséquent
sera égal à une quantité
plus grande que l’unité, et ainsi de suite. Par ce moyen il est clair qu’on doit épuiser peu à peu la valeur de
et cela de la manière la plus simple et la plus prompte qu’il est possible, puisqu’on n’emploie que des nombres entiers dont chacun approche, autant qu’il est possible, de la valeur cherchée.
Maintenant, puisque
on aura
![{\displaystyle a-\alpha ={\frac {1}{b}},\quad {\text{et}}\quad a=\alpha +{\frac {1}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13e46a6acf95808d23627dc7a47a20c2935fae4)
de même, à cause de
on aura
![{\displaystyle b=\beta +{\frac {1}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81427edea22069e2332ccc96960942e530ae8776)
et, à cause de
on aura pareillement
![{\displaystyle c=\gamma +{\frac {1}{d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cded82ce555b22567471bec841f04c2809fe1c)
et ainsi de suite ; de sorte qu’en substituant successivement ces valeurs, on aura
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{b}}=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{c}}}}=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{d}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d74b92099d9561d6278367eb763e7777aad17fa)
et, en général,
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe620e64a9f0f7ffaceb19098605f30ab8a6d3e)
Il est bon de remarquer ici que les nombres
qui représentent, comme nous venons de le voir, les valeurs entières approchées des quantités
peuvent être pris chacun de deux manières différentes, puisqu’on peut prendre également, pour la valeur entière approchée d’une quantité donnée, l’un ou l’autre des deux nombres entiers entre lesquels se trouve cette quantité. Il y a cependant une différence essentielle entre ces deux manières de prendre les valeurs approchées par rapport à la fraction continue qui en résulte ; car, si l’on prend toujours les valeurs approchées plus petites que les véritables, les dénominateurs
seront tous positifs ; au lieu qu’ils seront tous négatifs si l’on prend les valeurs approchées toutes plus grandes que les véritables, et ils seront en partie positifs et en partie négatifs si les valeurs approchées sont prises tantôt trop petites et tantôt trop grandes.
En effet, si
est plus petit que
sera une quantité positive donc
sera positif et
le sera aussi ; au contraire,
sera négatif si
est plus grand que
donc
sera négatif et
le sera aussi. De même, si
est plus petit que
sera toujours une quantité positive ; donc
le sera aussi et par conséquent aussi
mais, si
est plus grand que
sera une quantité négative, de sorte que
et par conséquent aussi
seront négatifs, et ainsi de suite.
Au reste, lorsqu’il s’agit des quantités négatives, j’entends par quantités plus petites celles qui, prises positivement, seraient plus grandes ; nous aurons cependant quelquefois, dans la suite, occasion de comparer entre elles des quantités purement par rapport à leur grandeur absolue ; mais nous aurons soin d’avertir alors qu’il faudra faire abstraction des signes.
Je dois remarquer encore que si, parmi les quantités
il s’en trouve une qui soit égale à un nombre entier, alors la fraction continue sera terminée, parce qu’on pourra y conserver cette quantité même ; par exemple, si
est un nombre entier, la fraction continue qui donne la valeur de
sera
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9529696fa13359d369acf9c70e2962cf7b348d)
En effet, il est clair qu’il faudrait prendre
ce qui donnerait
![{\displaystyle d={\frac {1}{c-\gamma }}={\frac {1}{0}}=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2430e18abf48ad475648c8cc2c20bfb8433642d4)
et par conséquent
de sorte que l’on aurait
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\infty }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e085788bd42ff24e34239d0d3c48c6ad8a68b3)
les termes suivants s’évanouissant vis-à-vis de la quantité infimie
or
donc on aura simplement
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{c}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953dbb66e5ba7a6640ab199a805e736e3f214537)
Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité
sera commensurable, c’est-à-dire qu’elle sera exprimée par une fraction rationnelle ; mais, lorsque a sera une quantité irrationnelle ou transcendante, alors la fraction continue ira nécessairement à l’infini.
4. Supposons que la quantité
soit une fraction ordinaire
et
étant des nombres entiers donnés ; il est d’abord évident que le nombre entier
qui approchera le plus de
sera le quotient de la division de
par
ainsi, supposant la division faite à la manière ordinaire, et nommant
le quotient et
le reste, on aura
donc
pour avoir de même la valeur entière approchée
de la fraction
il n’y aura qu’à diviser
par
et prendre pour
le quotient de cette division ; alors, nommant
le reste, on aura
et par conséquent
on continuera donc à diviser
par
et le quotient sera la valeur du nombre
et ainsi de suite ; d’où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires en fractions continues :
Divisez d’abord le numérateur de la fraction proposée par son dénominateur, et nommez le quotient
divisez ensuite le dénominateur par le reste, et nommez le quotient
divisez après cela le premier reste par le second reste, et soit le quotient
continuez ainsi en divisant toujours l’avant-dernier reste par le dernier, jusqu’à ce qu’on parvienne à une division qui se fasse sans reste, ce qui doit nécessairement arriver, puisque les restes sont tous des nombres entiers qui vont en diminuant ; vous aurez la fraction continue
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
qui sera égale à la fraction donnée.
5. Soit proposé de réduire en fraction continue la fraction
on divisera donc
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
ce qui donnera le quotient
et le reste
on divisera encore
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
enfin, divisant
par
on aura le quotient
et le reste nul, de sorte que l’opération sera terminée. Rassemblant donc par ordre tous les quotients trouvés, on aura cette série
d’où l’on formera la fraction continue
![{\displaystyle {\frac {1103}{887}}=1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4}}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4b1a6a8b35fdc5c61749058fa11103be1371d6)
6. Comme, dans lâ manière ordinaire de faire les divisions, on prend toujours pour quotient le nombre entier qui est égal ou moindre que la fraction proposée, il s’ensuit que, par la méthode précédente, on n’aura que des fractions continues, dont tous les dénominateurs seront des nombres positifs.
Or on peut aussi prendre pour quotient le nombre entier qui est immédiatement plus grand que la valeur de la fraction, lorsque cette fraction n’est pas réductible à un nombre entier, et pour cela il n’y a qu’à augmenter d’une unité la valeur du quotient trouvé à la manière ordinaire alors le reste sera négatif, et le quotient suivant sera nécessairement négatif. Ainsi on pourra à volonté rendre les termes de la fraction continue positifs ou négatifs.
Dans l’exemple précédent, au lieu de prendre
pour le quotient de
divisé par
je puis prendre
mais j’aurai le reste négatif
par lequel il faudra maintenant diviser
on divisera donc
par
et l’on aura ou le quotient
et le reste
ou le quotient
et le reste
Prenons le quotient plus grand
et alors il faudra diviser le reste
par le reste
d’où l’on aura ou le quotient
et le reste
ou le quotient
et le reste
Je continue la division en adoptant le quotient plus grand
j’aurai à diviser le reste
par le reste
ce qui me donnera ou le quotient
et le reste
ou le quotient
et le reste
et ainsi de suite. De cette manière on aura
![{\displaystyle {\frac {1103}{887}}=2+{\frac {1}{-1+{\cfrac {1}{-3+{\cfrac {1}{-9+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9414cbae6ff1b47c148d1848dc7a0c88810557f2)
où l’on voit que tous les dénominateurs sont négatifs.
7. On peut, au reste, rendre positif chaque dénominateur négatif, en changeant le signe du numérateur ; mais il faut alors changer aussi le signe du numérateur suivant ; car il est clair qu’on a
![{\displaystyle \mu +{\frac {1}{-\nu +{\cfrac {1}{\varpi +\ddots }}}}=\mu -{\frac {1}{\nu -{\cfrac {1}{\varpi +\ddots }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6327b22a9706e3d226efa0a1e7895203c1993e8)
Ensuite on pourra, si l’on veut, faire disparaître tous les signes
de la fraction continue, et la réduire à une autre où tous les termes soient positifs ; car on a, en général,
![{\displaystyle \mu -{\frac {1}{\nu +\ddots }}=\mu -1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{\nu -1+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dd6b68c930d2072d859eaf1b0ce171a27bcdec)
comme on peut s’en convaincre aisément, en réduisant ces deux quantités en fractions ordinaires.
On pourrait aussi, par un moyen semblable, introduire des termes négatifs à la place des positifs, car on a
![{\displaystyle \mu +{\frac {1}{\nu +\ddots }}=\mu +1-{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{\nu -1+\ddots }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c15fae68bc9903cdb9165650f819a2fed6bb5e)
d’où l’on voit que, par ces sortes de transformations, on peutquelquefois simplifier une fraction continue et la réduire à un moindre nombre de termes ; ce qui aura lieu toutes les fois qu’il y aura des dénominateurs égaux à l’unité positive ou négative.
En général il est clair que, pour avoir la fraction continue la plus convergente qu’il est possible vers la valeur de la quantité donnée, il faut toujours prendre pour
les nombres entiers qui approchent le plus des quantités
soit qu’ils soient plus petits ou plus grands que ces quantités ; or il est facile de voir que si, par exemple, on ne prend pas pour
le nombre entier qui approche le plus, soit en excès ou en défaut, de
le nombre suivant
sera nécessairement égal à l’unité ; en effet la différence entre
et
sera alors plus grande que
par conséquent on aura
donc ne pourra être qu’égal à l’unité.
Ainsi, toutes les fois que dans une fraction continue on trouvera des dénominateurs égaux à l’unité, ce sera une marque que l’on n’a pas pris les dénominateurs précédents aussi approchants qu’il est possible, et que, par conséquent, la fraction peut se simplifier en augmentant ou en diminuant ces dénominateurs d’une unité, ce qu’on pourra exécuter par les formules précédentes, sans être obligé de refaire en entier le calcul.
8. La méthode du no 4 peut servir aussi à réduire en fraction continue toute quantité irrationnelle ou transcendante, pourvu qu’elle soit auparavant exprimée en décimales. Mais, comme la valeur en décimales ne peut être qu’approchée, et qu’en augmentant d’une unité le dernier caractère on a deux limites entre lesquelles doit se trouver la vraie valeur de la quantité proposée, il faudra, pour ne pas sortir de ces limites, faire à la fois le même calcul sur les deux fractions dont il s’agit, et n’admettre ensuite dans la fraction continue que les quotients qui résulteront également des deux opérations.
Soit, par exemple, proposé d’exprimer par une fraction continue le rapport de la circonférence du cercle au diamètre.
Ce rapport exprime en décimales est, par le calcul de Viète,
de sorte qu’on aura la fraction
à réduire en fraction continue par la méthode ci-dessus ; or, si l’on ne prend que la fraction
on trouve les quotients
et si l’on prenait la fraction plus grande
on trouverait les quotients
de sorte que le troisième quotient demeurerait incertain ; d’où l’on voit que, pour pouvoir pousser seulement la fraction continue au delà de trois termes, il faudra nécessairement adopter une valeur de la périphérie qui ait plus de six caractères.
Si l’on prend la valeur donnée par Ludolph en trente-cinq caractères, et qui est
![{\displaystyle 3{,}\ 14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 50288,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3b29b5e146d905010f09bc28dca5a1ca4b02c8)
et qu’on opère en même temps sur cette fraction et sur la même, en y augmentant le dernier caractère
d’une unité, on trouvera cette suite de quotients
![{\displaystyle 3,\ \ 7,\ \ 15,\ \ 1,\ \ 292,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 1,\ \ 14,\ \ 2,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 2,\ \ 2,\ \ 2,\ \ 1,\ \ 84,\ \ 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bffa6b7e0fb81bfc1612dd289e59243d82bb12d)
![{\displaystyle 1,\ \ 1,\ \ 15,\ \ 3,\ \ 13,\ \ 1,\ \ 4,\ \ 2,\ \ 6,\ \ 6,\ \ 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4dccea39e46c5c5113ca5e82e05ce3ea24f04c)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {p{\acute {e}}riph{\acute {e}}rie}{diam{\grave {e}}tre}} =3+{\frac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e1b6d7d6625c165ab11c5cda187df8bdc3fd06)
Comme il y a ici des dénominateurs égaux à l’unité, on pourra simplifier la fraction, en y introduisant des termes négatifs, par les formules du no 7, et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {\frac {p{\acute {e}}riph{\acute {e}}rie}{diam{\grave {e}}tre}} =3+{\frac {1}{7+{\cfrac {1}{16-{\cfrac {1}{294-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1636cf06a939cc73f8a878e16a0b7ad145db42e)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {\frac {p{\acute {e}}riph{\acute {e}}rie}{diam{\grave {e}}tre}} =3+{\frac {1}{7+{\cfrac {1}{16+{\cfrac {1}{-294+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{-3+\ddots }}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b5564c9528e350c5a5a0e7ccb9fc0df0c5aab4)
9. Nous avons montré ailleurs comment on peut appliquer la Théorie des fractions continues à la résolution numérique des équations, pour laquelle on n’avait encore que des méthodesimparfaites et insuffisantes. [Voyez les Mémoires de l’Académie de Berlin pour les années 1767 et 1768[6]]. Toute la difficulté consiste à pouvoir trouver dans une équation quelconque la valeur entière la plus approchée, soit en excès ou en défaut, de la racine cherchée, et c’est sur quoi nous avons donné les premiers des règles sûres et générales, par lesquelles on peut non-seulement reconnaître combien de racines réelles positives ou négatives, égales ou inégales, contient la proposée, mais encore trouver facilement les limites de chacune de ces racines, et même les limites des quantités réelles qui composent les racines imaginaires. Supposant donc que
soit l’inconnue de l’équation proposée, on cherchera d’abord le nombre entier qui approchera le plus de la racine cherchée, et, nommant ce nombre
il n’y aura qu’à faire, comme on l’a vu dans le no 3,
(je nomme ici
ce que j’ai dénoté dans l’Article cité par
) ; et, substituant cette valeur à la place de
on aura, après avoir fait évanouir les fractions, une équation du même degré en
qui devra avoir au moins une racine positive ou négative plus grande que l’unité. On cherchera donc de nouveau la valeur entière approchée de cette racine, et, nommant cette valeur
on fera ensuite
ce qui donnera de même une équation en
qui aura aussi nécessairement une racine plus grande que l’unité, et dont on cherchera pareillement la valeur entière approchée
et ainsi de suite. De cette manière la racine cherchée se trouvera exprimée par la fraction continue
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
qui sera terminée si la racine est commensurable, mais qui ira nécessairement à l’infini si elle est incommensurable.
On trouvera dans les Mémoires cités tous les principes et les détails nécessaires pour se mettre au fait de cette méthode et de ses usages, et même différents moyens pour abréger souvent les opérations qu’elle demande nous croyons n’y avoir presque rien laissé à désirer sur ce sujet si important.
Au reste, pour ce qui regarde les racines des équations du second degré, nous donnerons plus bas (nos 33 et suivants) une méthode particulière et très-simple pour les convertir en fractions continues.
10. Après avoir expliqué la génération des fractions continues, nous allons en montrer les usages et les principales propriétés.
Il est d’abord évident que, plus on prend de termes dans une fraction continue, plus on doit approcher de la vraie valeur de la quantité qu’on a exprimée par cette fraction ; de sorte que, si l’on s’arrête successivement à chaque terme de la fraction, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentesvers la quantité proposée.
Ainsi, ayant réduit la valeur de
à la fraction continue
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
on aura les quantités
![{\displaystyle \alpha ,\quad \alpha +{\frac {1}{\beta }},\quad \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma }}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0c60b5ed6f1686edd6d18fc3ddb592f7abb7b9)
ou bien, en réduisant,
![{\displaystyle \alpha ,\quad {\frac {\alpha \beta +1}{\beta }},\quad {\frac {\alpha \beta \gamma +\alpha +\gamma }{\beta \gamma +1}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4902a374bc993a16ed28bcd99bc310407dc2df9d)
qui approcheront de plus en plus de la valeur de
.
Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que, par les formules du no 3, on a
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{b}},\quad b=\beta +{\frac {1}{c}},\quad c=\gamma +{\frac {1}{d}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3f2dff3687251648d802c1a27e2ee454ec777)
d’où l’on voit d’abord que
est la première valeur approchée de
qu’ensuite, si l’on prend la valeur exacte de
qui est
et qu’on y substitue pour
sa valeur approchée
on aura cette valeur plus approchée
qu’on aura de même une troisième valeur plus approchée de
en mettant d’abord pour
sa valeur exacte
ce qui donne
et prenant ensuite pour
la valeur approchée ![{\displaystyle \gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e3c2340c1fd5b5630f479d206a81060cefd447)
par ce moyen la nouvelle valeur approchée de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
sera
![{\displaystyle {\frac {(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha }{\beta \gamma +1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628f92dcfd043b32ff8b871b1bdc0d51f9f79459)
continuant le même raisonnement, on pourra approcher davantage, en mettant, dans l’expression de
trouvée ci-dessus, à la place de
sa valeur exacte
ce qui donnera
![{\displaystyle a={\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]d+\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)d+\beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047c29471326bdc020d304199a0346b63daa15cc)
et prenant ensuite pour
sa valeur approchée
de sorte qu’on aura pour la quatrième approximation la quantité
![{\displaystyle {\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]\delta +\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)\delta +\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc80854a0616b3f81e8f217b429c9746956bf14c)
et ainsi de suite.
De là il est facile de voir que, si par le moyen des nombres,
on forme les expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&\alpha ,&\mathrm {A} _{1}=&1,\\\mathrm {B} =&\beta \mathrm {A} +1,&\mathrm {B} _{1}=&\beta ,\\\mathrm {C} =&\gamma \mathrm {B+A} ,&\mathrm {C} _{1}=&\gamma \mathrm {B_{1}+A_{1}} ,\\\mathrm {D} =&\delta \mathrm {C+B} ,&\mathrm {D} _{1}=&\delta \mathrm {C_{1}+B_{1}} ,\\\mathrm {E} =&\varepsilon \mathrm {D+C} ,\qquad &\mathrm {E} _{1}=&\varepsilon \mathrm {D_{1}+C_{1}} ,\\.\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdead0686c790f2ceb747038ca53033a285d4a92)
on aura cette suite de fractions convergentes vers la quantité ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\ \ {\frac {B}{B_{1}}},\ \ {\frac {C}{C_{1}}},\ \ {\frac {D}{D_{1}}},\ \ {\frac {E}{E_{1}}},\ \ {\frac {F}{F_{1}}}} ,\ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e1d831cd95a73178d3ec8f04bb70f61da12719)
Si la quantité
est rationnelle, et représentée par une fraction quelconque
il est évident que cette fraction sera toujours la dernière dans la série précédente, puisque dans ce cas la fraction continue sera terminée, et que la dernière fraction de la série ci-dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue.
Mais, si la quantité
est irrationnelle ou transcendante, alors, la fraction continue allant nécessairement à l’infini, on pourra aussi pousser à l’infini la série des fractions convergentes.
11. Examinons maintenant la nature de ces fractions ; et d’abord il est visible que les nombres
doivent aller en augmentant, aussi bien que les nombres
car :
1o Si les nombres
sont tous positifs, les nombres
et
seront aussi tous positifs, et l’on aura évidemment
et
ou
2o Si les nombres
sont tous ou en partie négatifs, alors, parmi les nombres
et
il y en aura de positifs et de négatifs ; mais, dans ce cas, on considérera que l’on a, en général, par les formules précédentes,
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B}{A}}=\beta +{\frac {1}{\alpha }},\quad {\frac {C}{B}}=\gamma +{\frac {A}{B}},\quad {\frac {D}{C}}=\delta +{\frac {B}{C}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b127484dbac5a4fff120d634b7227894040101b)
d’où l’on voit d’abord que, si les nombres
sont différents de l’unité, quels que soient d’ailleurs leurs signes, on aura nécessairement, en faisant abstraction des signes,
donc,
par conséquent
et ainsi de suite ; donc ![{\displaystyle \mathrm {B>A,\ C>B} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5debec07cd25f37e05ad02bfe94183f17d4562)
Il n’y aura d’exception que lorsque, parmi les nombres
il s’en trouvera d’égaux à l’unité ; supposons, par exemple, que le nombre
soit le premier qui soit égal à
on aura d’abord
mais
s’il arrive que la fraction
soit de signe différent de
ce qui est clair par l’équation
parce que dans ce cas
sera un nombre
or je dis qu’alors on aura nécessairement
car, puisque
on aura (no 10)
![{\displaystyle c=\pm 1+{\frac {1}{d}},\quad {\text{et}}\quad c-{\frac {1}{d}}=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7f9d7607b5f08f3dd97544dd93c4c02896aa4c)
or, comme
et
sont des quantités
(no 3), il est clair que cette équation ne pourra subsister, à moins que
et
ne soient de même signe ; donc, puisque
et
sont les valeurs entières approchées de
et
ces nombres et devront être aussi de même signe ; mais la fraction
doit être de même signe que
à cause que
est un nombre entier, et
une fraction
donc
et
seront des quantités de même signe ; par conséquent
sera une quantité positive. Or on a
donc, multipliant par
on aura
donc,
étant une quantité positive, il est clair que
sera
donc ![{\displaystyle \mathrm {D>B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31002c01e31fb4d8f6a268f8596d62238f9b9b6)
De là on voit que, s’il arrive que dans la série
il se trouve un terme qui soit moindre que le précédent, le terme suivant sera nécessairement plus grand ; de sorte qu’en mettant à part ces termes plus petits la série ne laissera pas d’aller en augmentant.
Au reste on pourra toujours éviter, si l’on veut, cet inconvénient, soit en prenant les nombres
tous positifs, soit en les prenant tous différents de l’unité, ce qui est toujours possible.
On fera les mêmes raisonnements par rapport à la série
dans laquelle on a pareillement
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B_{1}}{A_{1}}}=\beta ,\quad {\frac {C_{1}}{B_{1}}}=\gamma +{\frac {A_{1}}{B_{1}}},\quad {\frac {D_{1}}{C_{1}}}=\delta +{\frac {B_{1}}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed44149dcd13735f78e01ae567e726b69cecd44f)
d’où l’on déduira des conclusions semblables aux précédentes.
12. Maintenant, si l’on multiplie en croix les termes des fractions voisines dans la série
on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {BA_{1}-AB_{1}=1,\quad CB_{1}-BC_{1}=AB_{1}-BA_{1},\quad DC_{1}-CD_{1}=BC_{1}-CB_{1}} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d33a9eff5a8c83f27c15a67bb4e5583e0e8a3bf)
d’où je conclus qu’on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\mathrm {BA_{1}-AB_{1}} &&=1,\\&\mathrm {CB_{1}-BC_{1}} &&=-1,\\&\mathrm {DC_{1}-CD_{1}} &&=1,\\&\mathrm {ED_{1}-DE_{1}} &&=-1,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd93477c7f69abdbd0fc295d45416b5b5be08db)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758e13bca220fa5f06ae979e5ceb90b0ca552927)
Cette propriété est très-remarquable et donne lieu à plusieurs conséquences importantes.
D’abord on voit que les fractions
doivent être déjà réduites à leurs moindres termes ; car si, par exemple,
et
avaient un commun diviseur autre que l’unité, le nombre entier
serait aussi divisible par ce même diviseur, ce qui ne se peut à cause de
Ensuite, si l’on met les équations précédentes sous cette forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}} &&=\mathrm {\frac {1}{A_{1}B_{1}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}} &&=-\mathrm {\frac {1}{B_{1}C_{1}}} ,\\&\mathrm {{\frac {D}{D_{1}}}-{\frac {C}{C_{1}}}} &&=\mathrm {\frac {1}{C_{1}D_{1}}} ,\\&\mathrm {{\frac {E}{E_{1}}}-{\frac {D}{D_{1}}}} &&=-\mathrm {\frac {1}{D_{1}E_{1}}} ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c40aa32721e74846410a35550272593071dc60b)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa2bb993656c000b36436b03c70c1e3b22b1f07)
il est aisé de voir que les différences entre les fractions voisines de la série
vont continuellement en diminuant, de sorte que cette série est nécessairement convergente.
Or je dis que la différence entre deux fractions consécutives est aussi petite qu’il est possible ; en sorte qu’entre ces mêmes fractions il ne saurait tomber aucune autre fraction quelconque, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que ceux de ces fractions-là. Car prenons, par exemple, les deux fractions et
et
dont la différence est
et supposons, s’il est possible, qu’il existe une autre fraction
dont la valeur tombe entre celles de ces deux fractions, et dans laquelle le dénominateur
soit moindre que
ou que
donc, puisque
doit se trouver entre
et
il faudra que la différence entre
et
qui est
ou
soit
différence entre
et
mais il est clair que celle-là ne saurait être moindre que
donc, si
elle sera nécessairement
de même, la différence entre
et
ne pouvant être plus petite que
sera nécessairement
si
au lieu qu’elle devrait en être plus petite.
13. Voyons présentement de combien chaque fraction de la série
approchera de la valeur de la quantité
Pour cela on remarquera que les formules trouvées dans le no 10 donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&{\frac {\mathrm {A} b+1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&{\frac {\mathrm {B} c+\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {D} e+\mathrm {C} }{\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03df9e8610bb9fa55170418dd39981bca7b10d1d)
et ainsi de suite.
Donc, si l’on veut savoir de combien la fraction
par exemple, approche de la quantité, on cherchera la différence entre
et
en prenant pour
la quantité
on aura
![{\displaystyle a-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}}-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {BC_{1}-CB_{1}} }{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}}={\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743c5c5253e3036b49d1179f2bb9ccb8b7691fb6)
à cause de
(no 12) ; or, comme on suppose que
soit la valeur approchée de
en sorte que la différence entre
et
soit
(no 3), il est clair que la valeur de
sera renfermée entre les deux nombres
et
(le signe supérieur étant pour le cas où la valeur approchée
est moindre que la véritable
et le signe inférieur pour le cas où
), et que, par conséquent, la valeur de
sera aussi renfermée entre ces deux-ci,
et
c’est-à-dire, entre
et
donc la différence
sera renfermée entre ces deux limites
d’où l’on pourra juger de la quantité de l’approximation de la fraction
14. En général on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {A}{A_{1}}} +{\frac {1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {B} _{1}(\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1c8dc5135f6595b45f199461141a1a1e2b1cea)
et ainsi de suite.
Or, si l’on suppose que les valeurs approchées
soient toujours prises moindres que les véritables, ces nombres seront tous positifs, aussi bien que les quantités
(no 3) ; donc les nombres
seront aussi tous positifs ; d’où il s’ensuit que les différences entre la quantité
et les fractions
seront alternativement positives et négatives ; c’est-à-dire que ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la quantité
De plus, comme
(hyp.), on aura
![{\displaystyle b>\mathrm {B} _{1},\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}>B_{1}\gamma +A_{1}>C_{1},\quad \mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}>C_{1}\delta +B_{1}>D_{1}} } ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08598c9a400a072b2adaf775b8aeaf8fbe83ede7)
et comme
on aura
![{\displaystyle b<\mathrm {B} _{1}+1,\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}<B_{1}(\gamma +1)+A_{1}<C_{1}+B_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8621d30a23ee3fd525718aa99aecf086b75892ec)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}<C_{1}(\delta +1)+B_{1}<D_{1}+C_{1}} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7c6db3c7c250dd060b1f89c253594025c282ad)
de sorte que les erreurs qu’on commettrait en prenant les fractions
pour la valeur de
seraient respectivement moindres que
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{A_{1}B_{1}}},\quad {\frac {1}{B_{1}C_{1}}},\quad {\frac {1}{C_{1}D_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad514547ca18768b37a58b02bc40be5c80afefe)
mais plus grandes que
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{A_{1}(B_{1}+A_{1})}},\quad {\frac {1}{B_{1}(C_{1}+B_{1})}},\quad {\frac {1}{C_{1}(D_{1}+C_{1})}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a9ccf5b97a1034c725e87f43e90887362d1d5)
d’où l’on voit combien ces erreurs sont petites, et combien elles vont en diminuant d’une fraction à l’autre.
Mais il y a plus : puisque les fractions
sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité
il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques ; or nous avons vu ci-dessus (no 12) qu’il est impossible qu’entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l’un de ceux de ces deux fractions ; d’où l’on peut conclure que chacune des fractions dont il s’agit exprime la quantité
plus exactement que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque, dont le dénominateur serait plus petit que celui de la fraction suivante ; c’est-à-dire que la fraction
par exemple, exprimera la valeur de
plus exactement que toute autre fraction
dans laquelle
serait
15. Si les valeurs approchées
sont toutes ou en partie plus grandes que les véritables, alors parmi ces nombres il y en aura nécessairement de négatifs (no 3), ce qui rendra aussi négatifs quelques-uns des termes des séries
par conséquent les différences entre les fractions
et la quantité
ne seront plus alternativement positives et négatives, comme dans le cas du numéro précédent ; de sorte que ces fractions n’auront plus l’avantage de donner toujours des limites en plus et en moins de la quantité
avantage qui me paraît d’une très-grande importance, et qui doit par conséquent faire préférer toujours dans la pratique les fractions continues où les dénominateurs seront tous positifs. Ainsi nous ne considérerons plus dans la suite que des fractions de cette espèce.
16. Considérons donc la série
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}},\quad {\frac {D}{D_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cc02ebf71e2d940db211ea8f58bc9a1352891b)
dans laquelle les fractions sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité
et il est clair qu’on pourra partager cette série en ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}},\quad {\frac {E}{E_{1}}}} ,\quad \ldots ,\\&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}},\,\quad {\frac {D}{D_{1}}},\quad {\frac {F}{F_{1}}}} ,\quad \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7511811045a8f31c0299a6255165d02600d697)
la première sera composée de fractions toutes plus petites que
et qui iront en augmentant vers la quantité
la seconde sera composée de fractions toutes plus grandes que
mais qui iront en diminuant vers cette même quantité. Examinons maintenant chacune de ces deux
séries en particulier dans la première on aura (n
os 10 et 12)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}={\frac {\gamma }{A_{1}C_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {E}{E_{1}}}\ -{\frac {C}{C_{1}}}={\frac {\varepsilon }{C_{1}E_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef0e9625737d6334f6d60504993a1359acb23f6)
et dans la seconde on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}}-{\frac {D}{D_{1}}}={\frac {\delta }{D_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {D}{D_{1}}}\ -{\frac {F}{F_{1}}}={\frac {\zeta }{D_{1}F_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c904287336528ad53f273d41bf85d9cf07f654)
Si les nombres
étaient tous égaux à l’unité, on pourrait prouver, comme dans le no 12, qu’entre deux fractions consécutives quelconques de l’une ou de l’autre des séries précédentes il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que ceux de ces deux fractions ; mais il n’en sera pas de même lorsque les nombres
seront différents de l’unité ; car dans ce cas on pourra insérer entre les fractions dont il s’agit autant de fractions intermédiaires qu’il y aura d’unités dans les nombres
et pour cela il n’y aura qu’à mettre successivement dans les valeurs de
et
(no 10) les nombres
à la place de
et de même, dans les valeurs de
et
les nombres
à la place de
, et ainsi de suite.
17. Supposons, par exemple, que
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C=4B+A,\quad C_{1}=4B_{1}+A_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c547b6b2d9d18f782297be8deeee2d13f977c04)
et l’on pourra insérer entre les fractions
et
trois fractions intermédiaires, qui seront
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98a5136534d311096f7774d264c3bbc2d1e3200)
Il est clair que les dénominateurs de ces fractions forment une suite croissante arithmétiquement depuis
jusqu’à
et nous allons voir que les fractions elles-mêmes croissent aussi continuellement depuis
jusqu’à
en sorte qu’il serait maintenant impossible d’insérer dans la série
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {4B+A}{4B_{1}+A_{1}}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {C}{C_{1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd6831c5c48e967d083923268e1f13aba54ff09)
aucune fraction dont la valeur tombât entre celles de deux fractions consécutives, et dont le dénominateur se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions. Car, si l’on prend les différences entre les fractions précédentes, on aura, à cause de ![{\displaystyle \mathrm {BA_{1}-AB_{1}} =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709b4cdf5adae5198411f791cbaed181d0d2a9c4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}={\frac {1}{A_{1}(B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(B_{1}+A_{1})(2B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}-{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(2B_{1}+A_{1})(3B_{1}+A_{1})}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}={\frac {1}{(3B_{1}+A_{1})C_{1}}}} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647e487384c8f3eb4210e3bf3df2fd324680633f)
d’où l’on voit d’abord que les fractions
vont en augmentant, puisque leurs différences sont toutes positives ; ensuite, comme ces différences sont égales à l’unité divisée par le produit des deux dénominateurs, on pourra prouver, par un raisonnement analogue celui que nous avons fait dans le no 12, qu’il est impossible qu’entre deux fractions consécutives de la série précédente il puisse tomber une fraction quelconque
si le dénominateur
tombe entre les dénominateurs de ces fractions, ou, en général, s’il est plus petit que le plus grand des deux dénominateurs.
De plus, comme les fractions dont nous parlons sont toutes plus grandes que la vraie valeur de
et que la fraction
en est plus petite, il est évident que chacune de ces fractions approchera de la quantité
en sorte que la différence en sera plus petite que celle de la même fraction et de la fraction
or on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{A_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(2B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(3B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{C_{1}B_{1}}}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f444d0856e1508e8b17be97e2c411b197d1a56)
Donc, puisque ces différences sont aussi égales à l’unité divisée par le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du no 12, pour prouver qu’aucune fraction
ne saurait tomber entre une quelconque des fractions
et la fraction
si le dénominateur
est plus petit que celui de la même fraction ; d’où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité
que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que
et qui aurait un dénominateur plus petit, c’est-à-dire ; qui serait conçue en termes plus simples.
18. Nous n’avons considéré dans le numéro précédent que les fractions intermédiaires entre
et
il en sera de même des fractions intermédiaires entre
et
entre
et
si
sont des nombres
On peut aussi appliquer à l’autre série
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {D}{D_{1}}},\quad {\frac {F}{F_{1}}}} ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63e95cba3fb5371cd8f81a6af13e7f0cc66420e)
tout ce que nous venons de dire relativement à la première série
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}}} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d2c8a3a019b4cee8be34da0e590b974772f2a1)
de sorte que, si les nombres
sont
on pourra insérer entre les fractions
et
entre
et
différentes fractions intermédiaires toutes plus grandes que
mais qui iront continuellement en diminuant, et qui seront telles, qu’elles exprimeront la quantité
plus exactement que ne pourrait faire aucune autre fraction plus grande que
et qui serait conçue en termes plus simples.
De plus, si
est aussi un nombre
on pourra pareillement placer avant la fraction
les fractions
jusqu’à
savoir
et ces fractions auront les mêmes propriétés que les autres fractions intermédiaires.
De cette manière, on aura donc ces deux suites complètes de fractions convergentes vers la quantité
Fractions croissantes et plus petites que ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cc1f1150db7f5b1797d96cd3154c61836823f8)
![{\displaystyle {\begin{array}{llllll}\mathrm {\cfrac {\gamma B+A}{\gamma B_{1}+A_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {C}{C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {D+C}{D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {2D+C}{2D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {3D+C}{3D_{1}+C_{1}}} ,&\ldots ,\\\mathrm {\cfrac {\varepsilon D+C}{\varepsilon D_{1}+C_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {E}{E_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {F+E}{F_{1}+E_{1}}} ,&\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6180c9dd502856d29347ef44b0f8a620c72c6e02)
fractions décroissantes et plus grandes que ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A+1}{1}},\quad {\frac {2A+1}{2}},\quad {\frac {3A+1}{3}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c13555125ea7cc287de712640d872e45533b2e)
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\mathrm {\cfrac {\beta A+1}{\beta }} ,&\mathrm {\cfrac {B}{B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {C+B}{C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {2C+B}{2C_{1}+B_{1}}} ,&\ldots ,\\\mathrm {\cfrac {\delta C+B}{\delta C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {D}{D_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {E+D}{E_{1}+D_{1}}} ,&\ldots ,&\mathrm {etc} .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bf808e5233c72ef73e6356e72c6bab201231b9)
Si la quantité
est irrationnelle ou transcendante, les deux séries précédentes iront à l’infini, puisque la série des fractions
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed5085986eb68607e9e2fa095ccea64f9e46bbf)
que nous nommerons dans la suite fractions principales, pour les distinguer des fractions intermédiaires, va d’elle-mêmeà l’infini (no 10).
Mais, si la quantité
est rationnelle et égale à une fraction quelconque
nous avons vu dans le numéro cité que la série dont il s’agit sera terminée, et que la dernière fraction de cette série sera la fraction même
donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des deux séries ci-dessus, mais l’autre série pourra toujours aller à l’infini.
En effet, supposons que
soit le dernier dénominateur de la fraction continue ; alors
sera la dernière des fractions principales, et la série des fractions plus grandes que
sera terminée par cette même fraction
or l’autre série des fractions plus petites que
se trouvera naturellement arrêtée à la fraction
qui précède
mais, pour la continuer, il n’y a qu’à considérer que le dénominateur
qui devrait suivre le dernier dénominateur
sera
(no 3) ; de sorte que la fraction
qui suivrait
dans la suite des fractions principales, serait
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {\infty D+C}{\infty D_{1}+C_{1}}}={\frac {D}{D_{1}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7362901b6b577d72ae24b5dfc1a35439a15bdc)
or, par la loi des fractions intermédiaires, il est clair que, à cause de
![{\displaystyle \varepsilon =\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0ac1d1bd796d1a5ede0470d20df8009e9b15a7)
on pourra insérer entre les fractions
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C}{C_{1}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecffedd6709113f330ad0944a66a7caa49b3e7d8)
et
![{\displaystyle \mathrm {\frac {E}{E_{1}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902e79d8b9d0444ad36deb9d4359df903ace2f6a)
une infinité de fractions intermédiaires, qui seront
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {D+C}{D_{1}+C_{1}}},\quad {\frac {2D+C}{2D_{1}+C_{1}}},\quad {\frac {3D+C}{3D_{1}+C_{1}}}} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21174c0d0f22e81a1d21fe2480ef3abec9d561b1)
Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction
dans la première suite de fractions, placer encore les fractions intermédiaires dont nous parlons, et les continuer à l’infini.
Problème.
19. Une fraction exprimée par un grand nombre de chiffres étant donnée, trouver toutes les fractions en moindres termes qui approchent si près de la vérité, qu’il soit impossible d’en approcher davantage sans en employer de plus grandes.
Ce Problème se résoudra facilement par la théorie que nous venons d’expliquer.
On commencera par réduire la fraction proposée en fraction continue par la méthode du no 4, en ayant soin de prendre toutes les valeurs approchées plus petites que les véritables, pour que les nombres,
soient tous positifs ; ensuite, à l’aide des nombres trouvés
on formera, d’après les formules du no 10, les fractions
dont la dernière sera nécessairement la même que la fraction proposée, parce que dans ce cas la fraction continue est terminée. Ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction donnée, et seront successivementconçues en termes plus grands ; et de plus elles seront telles, que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donnée que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque qui serait conçue en termes moins simples. Ainsi l’on aura par ce moyen toutes les fractions conçues en moindres termes que la proposée, qui pourront satisfaire au Problème.
Que si l’on veut considérer en particulier les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la proposée, on insérera entre les fractions précédentes autant de fractions intermédiaires que l’on pourra, et l’on en formera deux suites de fractions convergentes, les unes toutes plus petites et les autres toutes plus grandes que la fraction donnée (nos 16, 17 et 18) ; chacune de ces suites aura en particulier les mêmes propriétés que la suite desfractions principales
car les fractions, dans chaque suite, seront successivement conçues en plus grands termes, et chacune d’elles approchera plus de la fraction proposée que ne pourrait faire aucune autre fraction qui serait pareillement plus petite ou plus grande que la proposée, mais qui serait conçue en termes plus simples.
Au reste, il peut arriver qu’une des fractions intermédiaires d’une série n’approche pas si près de la fraction donnée qu’une des fractions de l’autre série, quoique conçue en termes moins simples que celle-ci ; c’est pourquoi il ne convient d’employer les fractions intermédiaires que lorsqu’on veut que les fractions cherchées soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que la fraction donnée.
Exemple I.
20. Suivant La Caille, l’année solaire est de
et par conséquent plus longue de
que l’année commune de
si cette différence était exactement de
heures, elle donnerait un jour au bout de quatre années communes ; mais, si l’on veut savoir au juste au bout de combien d’années communes cette différence peut produire un certain nombre de jours, il faut chercher le rapport qu’il y a entre
et
et l’on trouve que ce rapport est
de sorte qu’on peut dire qu’au bout de
années communes il faudrait intercaler
jours pour les réduire à des années tropiques. Comme le rapport de
à
est exprimé en termes fort grands, on propose de trouver en des termes plus petits des rapports aussi approchés de celui-ci qu’il est possible.
On réduira donc la fraction
en fraction continue par la règle donnée dans le no 4, qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}20929&86400&4=\alpha \\&{\underline {83716}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916ed7d23d42d9425ba7007f0dde9b89105be961)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}2684&20929&7=\beta \\&{\underline {18788}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420ab5c693d54c3aef8679426839b328ad1406d4)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}2141&2684&1=\gamma \\&{\underline {2141}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced0dc8e1d33c050ba9299a0a669bcf9163503db)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}543&2141&3=\delta \\&{\underline {1629}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9228644757fcd8b24aad32fc783d9499ed70dc7)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}512&543&1=\varepsilon \\&{\underline {512}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e281b2456d59159a049349c121bc13fc632384)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}31&512&16=\zeta \\&{\underline {496}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d3ef50620aafb7e68eb922e7b27f63b8d6261f)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}16&31&1=\eta \\&{\underline {16}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f6b9a35cc032d77909b89bad34a07a47697422)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}15&16&1=\theta \\&{\underline {15}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88af436d4d8128aa6fa52c48dcfdd0e9e29f47db)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}1&15&15=\iota \\&{\underline {15}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c822ca0034c13016a76ab3f98d1986fa53fd061d)
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Connaissant ainsi tous les quotients
on en formera aisément la série
de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}4,&7,&1,&3,&1,&16,&1,&1,&15,\\{\frac {4}{1}},&{\frac {29}{7}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {128}{31}},&{\frac {161}{39}},&{\frac {2704}{655}},&{\frac {2865}{694}},&{\frac {5569}{1349}},&{\frac {86400}{20929}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53eee69cbf25de7bfd970a33a40e8b524d249d31)
où l’on voit que la dernière fraction est la même que la proposée.
Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira d’abord, comme je viens de le faire, la suite des quotients
et l’on placera au-dessous de ces coefficients les fractions
qui en résultent.
La première fraction aura toujours pour numérateur le nombre qui est au-dessus, et pour dénominateur l’unité.
La seconde aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la première, plus l’unité, et pour dénominateur le nombre même qui est au-dessus.
La troisième aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la seconde, plus celui de la première ; et de même pour dénominateur le produit du nombre qui est au-dessus par le dénominateur de la seconde, plus celui de la première.
Et, en général, chaque fraction aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la fraction précédente, plus celui de l’avant-précédente, et pour dénominateur le produit du même nombre par le dénominateur de la fraction précédente, plus celui de l’avant-précédente.
Ainsi
![{\displaystyle 29=7.4+1,\quad 7=7,\quad 33=1.29+4,\quad 8=1.7+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5485572d039ddccf6763d0a97a4591b8429abcb)
![{\displaystyle 128=3.33+29,\quad 31=3.8+7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7de173706916769001cbebc1718ac584cfa85cd)
et ainsi de suite ; ce qui s’accorde avec les formules du no 10.
Maintenant on voit, par les fractions
que l’intercalation la plus simple est celle d’un jour dans quatre années communes, ce qui est le fondement du Calendrier julien ; mais qu’on approcherait plus de l’exactitude eh n’intercalant que sept jours dans l’espace de vingt-neuf années communes, ou huit dans l’espace de trente-trois ans, et ainsi de suite.
On voit de plus que, comme les fractions
sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction
ou
l’intercalation d’un jour sur quatre ans sera trop forte, celle de sept jours survingt-neuf ans trop faible, celle de huit jours sur trente-trois ans trop forte, et ainsi de suite ; mais chacune de ces intercalations sera toujours la plus exacte qu’il est possible dans le même espace de temps.
Or, si l’on range dans deux séries particulières les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la fraction donnée, on y pourra encore insérer différentes fractions secondaires pour compléter les séries ; et pour cela on suivra le même procédé que ci-dessus, mais en prenant successivement à la place de chaque nombre de la série supérieure tous les nombres entiers moindres que ce nombre (lorsqu’il y en a).
Ainsi, considérant d’abord les fractions croissantes
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&1,&1,&1,&15,\\{\frac {4}{1}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {161}{39}},&{\frac {2865}{694}},&{\frac {86400}{20929}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7959473cc8d8a2e004a1af098714ec3d03d03da9)
on voit qu’à cause que l’unité est au-dessus de la seconde, de la troisième et de la quatrième, on ne pourra placer aucune fraction intermédiaire, ni entre la première et la seconde, ni entre la seconde et la troisième, ni entre la troisième et la quatrième ; mais, comme la dernière fraction a au-dessus d’elle le nombre
on pourra, entre cette fraction et la précédente, placer quatorze fractions intermédiaires, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique
![{\displaystyle 2865+5569,\quad 2865+2.5569,\quad 2865+3.5569,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc39899750b68e1a7f0daa5433266ea19dafee7)
et dont les dénominateurs formeront aussi la progression arithmétique
![{\displaystyle 694+1349,\quad 694+2.1349,\quad 694+3.1349,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc7da9b409b85b3367e1d1a0512c2fa0adf5f3a)
Par ce moyen, la suite complète des fractions croissantes sera
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccc}{\frac {4}{1}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {161}{39}},&{\frac {2865}{694}},&{\frac {8434}{2043}},&{\frac {14003}{3392}},&{\frac {19572}{4741}},&{\frac {25141}{6090}},&{\frac {30710}{7439}},&{\frac {36279}{8788}},&{\frac {41848}{10137}},&{\frac {47417}{11486}},\\&&&{\frac {52986}{12835}},&{\frac {58555}{14184}},&{\frac {64124}{15533}},&{\frac {69693}{16682}},&{\frac {75262}{18231}},&{\frac {80831}{19580}},&{\frac {86400}{20929}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c63995623e128e425d3bc4d9bd39b1ca5784785)
Et, comme la dernière fraction est la même que la fraction donnée, il est clair que cette série ne peut pas être poussée plus loin.
De là on voit que, si l’on ne veut admettre que des intercalations qui pèchent par excès, les plus simples et les plus exactes seront celles d’un jour sur quatre années, ou de huit jours sur trente-trois ans, ou de trente-neufjours sur cent soixante et un ans, et ainsi de suite.
Considérons maintenant les fractions décroissantes
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}7,&3,&16,&1,\\{\frac {29}{7}},&{\frac {128}{31}},&{\frac {2704}{655}},&{\frac {5569}{1349}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecd8c5fa08c317ecd5c2810f38b2ba4e8ae1287)
et d’abord, à cause du nombre
qui est au-dessus de la première fraction, on pourra en placer six autres avant celle-ci, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique
et dont les dénominateurs formeront la progression
de même, à cause du nombre
on pourra placer entre la première et la seconde fraction deux fractions intermédiaires, et entre la seconde et la troisième on en pourra placer quinze, à cause du nombre
qui est au-dessus de la troisième ; mais entre celle-ci et la dernière on n’en pourra insérer aucune, à cause que le nombre qui est au-dessus est l’unité.
De plus il faut remarquer que, comme la série précédente n’est pas terminée par la fraction donnée, on peut encore la continuer aussi loin que l’on veut, comme nous l’avons fait voir dans le no 18. Ainsi l’on aura cette série de fractions décroissantes
![{\displaystyle {\frac {5}{1}},\ {\frac {9}{2}},\ {\frac {13}{3}},\ {\frac {17}{4}},\ {\frac {21}{5}},\ {\frac {25}{6}},\ {\frac {29}{7}},\ {\frac {62}{15}},\ {\frac {95}{23}},\ {\frac {128}{31}},\ {\frac {289}{70}},\ {\frac {450}{109}},\ {\frac {611}{148}},\ {\frac {772}{187}},\ {\frac {933}{226}},\ {\frac {1094}{265}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25c4a98b9abf64137ddd4d9aa837fa1eea1b412)
![{\displaystyle {\frac {1255}{304}},\ \ {\frac {1416}{343}},\ \ {\frac {1577}{382}},\ \ {\frac {1738}{421}},\ \ {\frac {1899}{460}},\ \ {\frac {2060}{499}},\ \ {\frac {2221}{538}},\ \ {\frac {2382}{577}},\ \ {\frac {2543}{616}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d822a8999139ad75b39c7f77506cd736d4506814)
![{\displaystyle {\frac {2304}{655}},\ \ {\frac {5569}{1349}},\ \ {\frac {91969}{22278}},\ \ {\frac {178369}{43207}},\ \ {\frac {264769}{64136}},\ \ {\frac {351169}{85060}},\ \ {\frac {437569}{105994}},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d230ea7b8d473fb66440118793caff16bf2e8d)
lesquelles sont toutes plus petites que la fraction proposée, et en approchent plus que toutes autres fractions qui seraient conçues en termes moins simples.
On peut conclure de là que, si l’on ne voulait avoir égard qu’aux intercalations qui pécheraient par défaut, les plus simples et les plus exactes seraient celles d’un jour sur cinq ans, ou de deux jours sur neuf ans, ou de trois jours sur treize ans, etc.
Dans le Calendrier grégorien, on intercale seulement quatre-vingt-dix-sept jours dans quatre cents années ; on voit par la Table précédente qu’on approcherait beaucoup plus de l’exactitude en intercalant cent neuf jours en quatre cent cinquante années.
Mais il faut remarquer que dans la réformation grégorienne on s’est servi de la détermination de l’année donnée par Copernic, laquelle est de
En employant cet élément, on aurait, au lieu de la fraction
celle-ci
ou bien
d’où l’on trouverait, par la méthode précédente, les quotients
et de là ces fractions principales
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}4,&8,&5,&3,\\{\frac {4}{1}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {169}{41}},&{\frac {540}{131}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aaf7cc395c09b8944a00db56d65128d9996f78)
qui sont, à l’exception des deux premières, assez différentes de celles que nous avons trouvées ci-dessus. Cependant on ne trouve pas parmi ces fractions la fraction
adoptée dans le Calendrier grégorien et cette fraction ne peut pas même se trouver parmi les fractions intermédiaires qu’on pourrait insérer dans les deux séries
et
car il est clair qu’elle ne pourrait tomber qu’entre ces deux dernières fractions, entre lesquelles, à cause du nombre
qui est au-dessus de la fraction
il peut tomber deux fractions intermédiaires, qui seront
et
d’où l’on voit qu’on aurait approché plus de l’exactitude si dans la réformation grégorienne on avait prescrit de n’intercaler que quatre-vingt-dix jours dans l’espace de trois cent soixante et onze ans.
Si l’on réduit la fraction
à avoir pour numérateur le nombre
elle deviendra
ce qui supposerait l’année tropique de
Dans ce cas l’interpolation grégorienne serait tout à fait exacte ; mais, comme les observations donnent l’année plus courte de plus de
secondes, il est clair qu’il faudra nécessairement, au bout d’un certain-espace de temps, introduire une nouvelle intercalation.
Si l’on voulait s’en tenir à la détermination de La Caille, comme le dénominateur
de la fraction
\frac{400}{97}
se trouve entre les dénominateurs de la cinquième et de la sixième des fractions principales trouvées ci-devant, il s’ensuit de ce que nous avons démontré (no 14) que la fraction
approcherait plus de la vérité que la fraction
au reste, comme les Astronomes sont encore partagés sur la véritable longueur de l’année, nous nous abstiendrons de prononcer sur ce sujet ; aussi n’avons-nous eu d’autre objet, dans les détails que nous venons de donner, que de faciliter les moyens de se mettre au fait des fractions continues et de leurs usages ; dans cette vue nous ajouterons encore l’Exemple suivant.
Exemple II.
21. Nous avons déjà donné (no 8) la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence du cercle au diamètre, en tant qu’elle résulte de la fraction de Ludolph ; ainsi il n’y aura qu’à calculer, de la manière enseignée dans l’Exemple précédent, la série des fractions convergentes vers ce même rapport, laquelle sera
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}3,&7&15,&1,&292,&1,&1,&1,&2,&1,&3,\\{\frac {3}{1}},&{\frac {22}{7}},&{\frac {333}{106}},&{\frac {355}{113}},&{\frac {103993}{33102}},&{\frac {104348}{33215}},&{\frac {208341}{66317}},&{\frac {319689}{99532}},&{\frac {833719}{265381}},&{\frac {1146408}{364913}},&{\frac {4272943}{1360120}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1194b500485c03985eb5513b9dc55c6e287ba674)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccc}1,&14,&2&1&1,&2,\\{\frac {5419351}{1725033}},&{\frac {80143857}{25510582}},&{\frac {165707065}{52746197}},&{\frac {245850922}{78256779}},&{\frac {411557987}{131002976}},&{\frac {1068966896}{340262731}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141a4a7c6193854cda4e96d229f6439a1cf738be)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccc}2,&2&2,&1,&84,&2,\\{\frac {2549491779}{811528438}},&{\frac {6167950454}{1963319607}},&{\frac {148853929687}{4738167652}},&{\frac {21053343141}{6701487259}},&{\frac {1783366216531}{567663097408}},&{\frac {3587785776203}{114202682075}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc11cfb126b1d37adb2e44cbe3d62ec5df3a1cbe)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}1,&1,&15,&3,\\{\frac {531151992734}{1709690779483}},&{\frac {8958937768937}{2851718461558}},&{\frac {139755218526789}{44485467702853}},&{\frac {428224593349304}{136308121570117}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb1e34d035fc5175767825c049962be93a903c7)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}13,&1,&4,&2\\{\frac {5706674932067741}{1816491048114374}},&{\frac {6134899525417045}{1952799169684491}},&{\frac {30246273033735921}{9627687726852338}},&{\frac {66627445592888887}{21208174623389167}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac372a7e1a8004be947ef6f6151c4acfc23497d)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}6,&6,&1.\\{\frac {430010946591069243}{136876735467187340}},&{\frac {2646693125139304345}{842468587426513207}},&{\frac {3076704071730373588}{979345322893700547}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bef29122ae1b7ec2854400d940f95d4bb9a5823)
Ces fractions seront donc alternativement plus petites et plus grandes que la vràie raison de la circonférence au diamètre, c’est-à-dire que la première
sera plus petite, la deuxième
plus grande, et ainsi de suite, et chacune d’elles approchera plus de la vérité que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait exprimée en termes plus simples, ou, en général, qui aurait un dénominateur moindre que le dénominateur de la fraction suivante ; de sorte que l’on peut assurer que la fraction
approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que
de même la fraction
approchera plus de la vérité que toute autre fraction dont le dénominateur serait moindre que
et ainsi des autres.
Quant à l’erreur de chaque fraction, elle sera toujours moindre que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par celui de la fraction suivante. Ainsi l’erreur de la fraction
sera moindre que
celle de la fraction
sera moindre que
et ainsi de suite. Mais en même temps l’erreur de chaque fraction sera plus grande que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par la somme de ce dénominateur et du dénominateur de la fraction suivante ; de sorte que l’erreur de la faction
sera plus grande que
celle de la fraction
plus grande que
et ainsi de suite (no 14).
Si l’on voulait maintenant séparer les fractions plus petites que le rapport de la circonférence au diamètre d’avec les plus grandes, on pourrait, en insérant les fractions intermédiaires convenables, former deux suites de fractions, les unes croissantes et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont il s’agit ; on aurait de cette manière
Fractions plus petites que ![{\displaystyle {\frac {p{\acute {e}}riph.}{diam.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54cf8f5a9043a632aab05392da28d4817dc95e5)
.
![{\displaystyle {\frac {3}{1}},\ {\frac {25}{8}},\ {\frac {47}{15}},\ {\frac {69}{22}},\ {\frac {91}{29}},\ {\frac {113}{36}},\ {\frac {135}{43}},\ {\frac {157}{50}},\ {\frac {179}{57}},\ {\frac {201}{64}},\ {\frac {223}{71}},\ {\frac {245}{78}},\ {\frac {267}{85}},\ {\frac {289}{92}},\ {\frac {311}{99}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ad608af7e9d98df8561d7a73fbc1721f46a7b8)
![{\displaystyle {\frac {333}{106}},\ {\frac {688}{219}},\ {\frac {1043}{332}},\ {\frac {1398}{445}},\ {\frac {1753}{558}},\ {\frac {2108}{671}},\ {\frac {2463}{784}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3e2496ca5e1203a01f4f50db7ec3a28245eb05)
Fractions plus grandes que ![{\displaystyle {\frac {p{\acute {e}}riph.}{diam.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54cf8f5a9043a632aab05392da28d4817dc95e5)
.
![{\displaystyle {\frac {4}{1}},\ {\frac {7}{2}},\ {\frac {10}{3}},\ {\frac {13}{4}},\ {\frac {16}{5}},\ {\frac {19}{6}},\ {\frac {22}{7}},\ {\frac {355}{113}},\ {\frac {104348}{33215}},\ {\frac {319689}{99532}},\ {\frac {1146408}{30491r39}},\ {\frac {5419351}{1725033}},\ {\frac {85563208}{27235615}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84588073230dadb69cfd356a7c444550522b5644)
![{\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}},\ \ {\frac {411557987}{131002976}},\ \ {\frac {1480524883}{471265707}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5819ed649501d0e7cfe2f6c9433a7c453067a1)
Chaque fraction de la première série approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et qui pécherait aussi par défaut ; et chaque fraction de la seconde série approche aussi plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et péchant par excès.
Au reste, ces séries deviendraient fort prolixes si l’on voulait les pousser aussi loin que nous avons fait celle des fractions principales donnée ci-dessus. Les bornes de cet Ouvrage ne nous permettent pas de les insérer ici dans toute leur étendue ; mais on peut les trouver au besoin dans le Chapitre XI de l’Algèbre de Wallis (Operum mathemat. vol. II).
Remarque.
22. La première solution de ce Problème a été donnée par Wallis dans un petit Traité qu’il a joint aux Œuvres posthumes d’Horrocius, et on la retrouve dans l’endroit cité de son Algèbre ; mais la méthode de cet Auteur est indirecte et fort laborieuse. Celle que nous venons de donner est due à Huyghens, et l’on doit la regarder comme une des principales découvertes de ce grand Géomètre. La construction de son automate planétaire paraît en avoir été l’occasion. En effet, il est clair que, pour pouvoir représenter exactement les mouvements et les périodes des planètes, il faudrait employeur des roues où les nombres des dents fussent précisément dans les mêmes rapports que les périodes dont il s’agit ; mais, comme on ne peut pas multiplier les dents au delà d’une certaine limite dépendante de la grandeur de la roue, et que d’ailleurs les périodes des planètes sont incommensurables ou du moins ne peuvent être représentées avec une certaine exactitude que par de très-grands nombres, on est obligé de se contenter d’un à peu près, et la difficulté se réduit à trouver des rapports exprimés en plus petits nombres, qui approchent autant qu’il est possible de la vérité, et plus que ne pourraient faire d’autres rapports quelconques qui ne seraient pas conçus en termes plus grands.
Huyghens résout cette question par le moyen des fractions continues, comme nous l’avons fait ci-dessus ; il donne la manière de former ces fractions par des divisions continuelles, et il démontre ensuite les principales propriétés des fractions convergentes qui en résultent, sans oublier même les fractions intermédiaires. (Voyez, dans ses Opera posthuma, le Traité intitulé Descriptio automati planetarii.)
D’autres grands Géomètres ont ensuite considéré les fractions continues d’une manière plus générale. On trouve surtout dans les Commentaires de Pétersbourg (tomes IX et XI des anciens et tomes IX et XI des nouveaux) des Mémoires d’Euler remplis des recherches les plus savantes et les plus ingénieuses sur ce sujet ; mais la Théorie de ces fractions, envisagée du côté arithmétique, qui en est le plus intéressant, n’avait pas encore été, ce me semble, autant cultivée qu’elle le mérifait c’est ce qui m’a engagé à en composer ce petit Traité pour la rendre plus familière aux Géomètres. [Voyez aussi les Mémoires de Berlin pour les années 1767 et 1768[7].]
Au reste, cette Théorie est d’un usage très-étendu dans toute l’Arithmétique, et il y a peu de problèmes de cette science, au moins parmi ceux pour lesquels les règles ordinaires ne suffisent pas, qui n’en dépendent directement ou indirectement. Jean Bernoulli vient d’en faire une application heureuse et utile dans une nouvelle espèce de calcul, qu’il a imaginé pour faciliter la construction des Tables de parties proportionnelles. (Voyez le tome I de son Recueil pour les Astronomes.)
Les questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, sont d’un genre entièrement nouveau dans l’Analyse indéterminée. On n’avait point encore appliqué cette Analyse aux Problèmes de maximis et minimis ; nous nous proposons ici de déterminer les minima des fractions rationnelles, entières et homogènes à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Cette recherche nous conduira encore à la Théorie des fractions continues, et servira à donner à cette Théorie de nouveaux degrés de perfection.
Problème I.
23. Étant donnée une quantité positive
et supposant que
et
ne puissent être que des nombres entiers positifs et premiers entre eux, on demande de trouver les valeurs de ces nombres qui rendront la formule
y-az
un minimum (abstraction faite du signe) relativement à tous les nombres plus petits qu’on pourrait substituer pour
et
Soient
et
des nombres entiers et premiers entre eux, qui, étant substitués pour
et
dans la formule
la rendent plus petite que si l’on y substituait d’autres nombres moindres que
et
Donc prenant pour
et
des nombres quelconques entiers positifs et premiers entre eux, mais moindres que
et
il faudra que la valeur de
soit moindre que celle de
abstraction faite des signes de ces quantités, c’est-à-dire en les prenant l’une et l’autre positivement. Prenons
et
tels que l’on ait
le signe supérieur ayant lieu lorsque
sera positif, et l’inférieur lorsque
sera négatif. (Nous verrons dans un moment qu’il est toujours possible de trouver des nombres qui satisfassent à cette condition.) Je vais prouver que tous les autres nombres moindres que
et
qu’on substituerait pour
et
rendraient la formule
(abstraction faite du signe) plus grande que
et que
En effet, il est clair qu’on peut supposer, en général,
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
et
étant deux inconnues ; or, par la résolution de ces équations, on a
![{\displaystyle t={\frac {sy-rz}{ps-qr}},\quad u={\frac {qy-pz}{qr-ps}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3b88a5ec95e5ba5af9278ea0f913f5fabb8a78)
donc, à cause de ![{\displaystyle ps-qr=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281c62e59c3baf17cfdce9b550068f8dadd01c1a)
![{\displaystyle t=\pm (sy-rz),\quad u=\pm (qy-pzr)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55101bf4cbd4e80633cb4e0baeb750d9f48153)
d’où l’on voit que
et
seront toujours des nombres entiers, puisque
et
sont supposés entiers.
Donc,
et
étant des nombres entiers, et
des nombres entiers positifs, il est clair que, pour que les valeurs de
et
soient moindres que celles de
et,
il faudra nécessairement que les nombres
et
soient de signes différents.
Maintenant je remarque que la valeur de
sera aussi de différent signe que celle de
car, faisant
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}=a+{\frac {\mathrm {P} }{q}},\quad {\frac {r}{s}}=a+{\frac {\mathrm {R} }{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60328a8860705ebedbe6694fbb5c241f947b5814)
mais l’équation
donne
donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} }{q}}-{\frac {\mathrm {R} }{s}}=\pm {\frac {1}{qs}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048131805901191c44d2a7a0c21c478c377e088c)
donc, puisqu’on suppose que le signe ambigu soit pris conformément à celui de la quantité
ou
il faudra que la quantité
soit positive si
est positif, et négative si
est négatif ; or, comme
est
![{\displaystyle <q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9f196b56c0d55e03abd0a193a5c9af705eb79e)
et que
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
est
![{\displaystyle >\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bfd022aaa589a6755a4a286164fab97a7cce230)
(hypothèse), il est clair que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} }{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7251850b0ef5e60f4d3e7807451c6bf650c75d34)
sera à plus forte raison
![{\displaystyle >{\frac {\mathrm {P} }{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adae84c188a7b75f93017965a5143b554cce865c)
(abstraction faite du signe) ; donc la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} }{q}}-{\frac {\mathrm {R} }{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b584bf52931cff23f1816cdf2be8c699b2397121)
sera toujours de signe différent de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} }{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea0e98fb4b5b81e432e22b69bc4d4f0489f609d)
c’est-à-dire de
![{\displaystyle \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefdda1e40f99e2c96a1709a201ef9bc0266b2)
puisque
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
est positif ; donc
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
et
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
seront nécessairement de signes différents.
Cela posé, on aura, en substituant les valeurs ci-dessus de
et
![{\displaystyle y-az=(p-aq)t+(r-as)u=\mathrm {P} t+\mathrm {R} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfd0dfabc49a92888e70ca181dc5bab73d1cf27)
or,
et
étant de signes différents, aussi bien que
et
il est clair que
et
seront des quantités de mêmes signes ; donc, puisque
et
sont d’ailleurs des nombres entiers, il est visible que la valeur de
sera toujours plus grande que
et que
c’est-à-dire, que les valeurs de
et de
abstraction faite des signes.
Mais il reste maintenant à savoir si, les nombres
et
étant donnés, on peut toujours trouver des nombres
et
moindres que ceux-là, et tels que
les signes ambigus étant à volonté ; or cela suit évidemment de la Théorie des fractions continues ; mais on peut aussi le démontrer directement et indépendamment de cette Théorie. Car la difficulté se réduit à prouver qu’il existe nécessairement un nombre entier positif et moindre que
lequel, étant pris pour
rendra
divisible par
or supposons qu’on substitue successivement à la place de
les nombres naturels
jusqu’à
et qu’on divise les nombres
par
on aura
restes moindres que
qui seront nécessairement tous différents les uns des autres ; car, si par exemple
et
(
et
étant des nombres entiers différents qui ne surpassent pas
), étant divisés par
donnaient un même reste, il est clair que leur différence
devrait être divisible par
or c’est ce qui ne se peut, à cause que
est premier à
et que
est un nombre moindre que
Donc, puisque tous les restes dont il s’agit sont des nombres entiers positifs moindres que
et différents entre eux, et que ces restes sont au nombre de
il est clair qu’il faudra nécessairement que le zéro se trouve parmi ces restes, et conséquemment qu’il y ait un des nombres
qui soit divisible par
or il est clair que ce ne peut être le dernier ; ainsi il y aura sûrement une valeur de
moindre que
laquelle rendra
divisible par
et il est clair en même temps que le quotient sera moindre que
donc il y aura toujours une valeur entière et positive de
moindre que
et une autre valeur pareille de
et moindre que
lesquelles satisferont à l’équation
![{\displaystyle s={\frac {qr\pm 1}{p}},\quad {\text{ou}}\quad ps-qr=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a1f2f8520fa7c2e282ce7cac3a7b702ae3b8a5)
24. On voit par là que les nombres
et
sont, parmi les nombres moindres que
et
ceux qui rendent la formule
le plus petite.
Nous dénoterons, pour plus de simplicité, les nombres
et
par
et
on aura ainsi la condition
et les quantités
seront les deux minima consécutifs dans la série des valeurs de
en prenant pour
et
tous les nombres qui ne surpassent pas
et
ces minima seront de signes contraires, et le second immédiatement plus grand que le premier.
Il est clair qu’on peut trouver de même deux autres nombres
et
moindres que
et
et qui aient avec ceux-ci la même relation que
et
ont avec
et
Ainsi, comme
est de signe contraire à
il faudra faire
![{\displaystyle p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844b0c34ca95fa5f83e8eb267331ba8e367ff9b3)
et la quantité
sera de signe contraire à
et plus grande que celle-ci ; mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de
tant que
et
seront moindres que
et
En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres
moindres que
tels que
![{\displaystyle p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616ca79842bfbbadb497040fbf5cb43803786e9d)
et qui rendront la quantité
du signe contraire à
et plus grande que
mais moindre que si l’on prenait pour
et
d’autres nombres moindres que
et
et ainsi de suite.
On aura de cette manière deux suites de nombres entiers décroissants
tels que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p\ \,q_{1}-q\ \,p_{1}=\pm 1,\\&p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,\\&p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6628f8149817cd3f95b20b9800b6b42daa22a7fc)
et qui donneront la suite des minima
![{\displaystyle p-aq,\quad p_{1}-aq_{1},\quad p_{2}-aq_{2},\quad p_{3}-aq_{3},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6b7d19aa237a97fb9f5d0ab1b01c03af3f5fe0)
de la formule
ces minima seront successivementde signes différents, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme, comme
sera un minimum relativement aux valeurs de
et
moindres que
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
D’où il s’ensuit que les termes correspondants des deux séries ![{\displaystyle p,p_{1},p_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df554306ecd4019bc3b2b29f53291235f6f42a64)
ont des propriétés analogues, et résolvent tout le Problème proposé.
Il ne s’agit donc plus que de trouver les deux séries.
Pour cela, je remarque : 1o qu’en ajoutant ensemble les équations
![{\displaystyle pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,\quad p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5774a88cd503da0240044221e1b1989ae060df6e)
on a
![{\displaystyle (p-p_{2})q_{1}-(q-q_{2})p_{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad q_{1}(p-p_{2})=p_{1}(q-q_{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc6b7dd98a1161f40a99029dc957c0d4f9d8a3)
donc, puisque cette équation doit subsister en nombres entiers, et que
sont premiers entre eux, en vertu de l’équation
il faudra que
soit divisible par
ainsi, nommant
le quotient de cette division, on aura
![{\displaystyle p-p_{2}=\mu p_{1},\quad {\text{et}}\quad p=\mu p_{1}+p_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9c27d47f82e8d387aa119d8b4fb344521daaf8)
alors l’équation deviendra
![{\displaystyle \mu q_{1}=q-q_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d9fa1aa68129a227c82c2981387dcfe4744508)
ce qui donne de même
![{\displaystyle q=\mu q_{1}+q_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f9257f7c07bb72295ff840a41644242b02831)
On trouvera de la même manière, en ajoutant ensemble les deux équations
![{\displaystyle p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1,p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d00500b49ede950a4f9108349935e9095069e2)
et faisant des raisonnements semblables,
![{\displaystyle p_{1}=\mu _{1}p_{2}+p_{3},\quad q_{1}=\mu _{1}q_{2}+q_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c29c5124723127c89bc1707187215c9feb1182f)
étant un nombre entier, et ainsi de suite.
Donc la loi des deux séries dont il s’agit sera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p\ \,&=\mu \ \,p_{1}+p_{2},&q\ \,&=\mu \ \,q_{1}+q_{2},\\p_{1}&=\mu _{1}p_{2}+p_{3},\qquad &q_{1}&=\mu _{1}q_{2}+q_{3},\\p_{2}&=\mu _{2}p_{3}+p_{4},&q_{2}&=\mu _{2}q_{3}+q_{4},\\p_{3}&=\mu _{3}p_{4}+p_{5},&q_{3}&=\mu _{3}q_{4}+q_{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db5cb1352bdca6ac5dca6aa30f2f371d563dc04)
les nombres
étant tous entiers positifs, et les nombres ![{\displaystyle p,p_{1},p_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df554306ecd4019bc3b2b29f53291235f6f42a64)
formant deux séries continuellement décroissantes.
On voit par cette loi qu’il suffira de connaître les nombres
pour pouvoir trouver tous les termes des deux séries, lorsqu’on en connaîtra les deux derniers.
La substitution des valeurs précédentes donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\ \,-aq\ \,&=\mu \ \,(p_{1}-aq_{1})+p_{2}-aq_{2},\\p_{1}-aq_{1}&=\mu _{1}(p_{2}-aq_{2})+p_{3}-aq_{3},\\p_{2}-aq_{2}&=\mu _{2}(p_{3}-aq_{3})+p_{4}-aq_{4},\\p_{3}-aq_{3}&=\mu _{3}(p_{4}-aq_{4})+p_{5}-aq_{5},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2913a522aafea4e09182e2ba98677cb6fac21a6c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \ \,&={\frac {p-aq}{p_{1}-aq_{1}}}+{\frac {aq_{2}-p_{2}}{p_{1}-aq_{1}}},\\\mu _{1}&={\frac {p_{1}-aq_{1}}{p_{2}-aq_{2}}}+{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}},\\\mu _{2}&={\frac {p_{2}-aq_{2}}{p_{3}-aq_{3}}}+{\frac {aq_{4}-p_{4}}{p_{3}-aq_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bf2434209270a86461c594ec872c50a4d484df)
On a vu plus haut que les quantités
forment une suite de termes qui vont en augmentant, et qui sont alternativement positifs et négatifs ; d’où il suit que les fractions
ont toutes des valeurs négatives et moindres que l’unité, et qu’au contraire les fractions
sont toutes positives et plus grandes que l’unité. Ainsi, comme les valeurs des premières sont renfermées entre les limites zéro et
on pourra substituer ces limites à leur place, ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \ \,<{\frac {aq_{2}-p_{2}}{p_{1}-aq_{1}}}&>{\frac {aq_{2}-p_{2}}{p_{1}-aq_{1}}}-1,\\\mu _{1}<{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}}&>{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}}-1,\\\mu _{2}<{\frac {aq_{4}-p_{4}}{p_{3}-aq_{3}}}&>{\frac {aq_{4}-p_{4}}{p_{3}-aq_{3}}}-1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea73349df11673be77a5802c35294b2493035da)
Il est clair que ces limites suffiront pour déterminer les nombres
puisqu’on sait que ces nombres doivent être tous entiers. Par ce moyen, la détermination de
ne dépendra que des quatre termes
celle de
ne dépendra que de
et ainsi de suite ; par conséquent, en connaissant les valeurs de
et
on trouvera d’abord
ensuite on aura
et
par les formules
données ci-dessus.
De même, en connaissant seulement les termes
on trouvera d’abord
par la condition de
![{\displaystyle \mu _{1}<{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}}>{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a8dda58fa5dcf0b16b957018ebc4191eb35e5d)
ensuite on aura
par les formules
de là on trouvera
et enfin
et
et ainsi de suite.
D’où l’on peut conclure qu’il suffira de connaître les deux derniers termes de chacune des deux séries correspondantes
pour pouvoir remonter de là successivement à tous les autres termes, et connaître les deux séries entières.
Ce Problème est donc réduit maintenant à trouver les deux derniers termes de ces séries.
Pour cela je remarque que, par leur nature, elles doivent se terminer l’une etl’autre à zéro ; car les formules
font voir que
est le quotient et
le reste de la division de
par
que
est le quotient et
le reste de la division de
par
et ainsi de suite, de manière que
sont les restes que l’on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur des deux nombres
et
qui sont supposés premiers entre eux ; par conséquent on doit nécessairement parvenir à un reste nul. On doit dire la même chose des nombres
qui ne sont que les différents restes qui résulteraient de la recherche du commun diviseur de
et
Supposons que la série
se termine avant sa correspondante
et soit, par exemple,
donc l’équation
![{\displaystyle p_{3}q_{4}-q_{3}p_{4}=\mp 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c705785db867aca6f1c93cfe8bcfbd217320f419)
se réduira à
![{\displaystyle q_{3}p_{4}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcad9a67b5f5e95c512645166f92caf7f88a50c)
d’où, à cause que
et
ne peuvent être que des nombres entiers positifs, il suit que
et
ainsi les deux quantités
deviendront
et
Mais nous avons vu que ces quantités doivent être des signes différents, et que, abstraction faite des signes, la seconde doit être plus grande que la première, ces quantités étant deux termes consécutifs de la série des minima ; donc il faudra que
et
par conséquent
![{\displaystyle p_{3}<a>a-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86d9256145de2a266886aff13cafce36674bb2a)
Ainsi
sera connu, parce que, devant être un nombre entier, il ne pourra être que le nombre entier qui tombera entre
et
Donc, en général, dans le cas dont il s’agit, les deux derniers termes de la série
seront
et les correspondants de la série
seront
en dénotant par
le nombre entier qui tombe entre
et
Supposons maintenant que ce soit la série
qui se termine la première, et soit
par exemple ; alors l’équation
![{\displaystyle p_{3}q_{4}-q_{3}p_{4}=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc439942845006700e2172f4e8eb49a450201f6)
devenant
![{\displaystyle p_{3}q_{4}=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a2dc7eb872e5d1c2dcaec34540bd2549df9a23)
donnera, par la raison que
et
doivent être entiers positifs,
de sorte que les deux quantités
qui doivent être de signe contraire, et la seconde plus grande que la première, deviendront
d’où il suit qu’il faudra que
et
ce qui donne
et
et par conséquent
![{\displaystyle q_{3}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2436868738f122b377cf345c66297c42d862d0)
c’est-à-dire que
devra être le nombre entier qui tombera entre
et ![{\displaystyle {\frac {1}{a}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e6ad9517f560e313b75b69dd48903180325c1e)
Donc, en général, dans ce second cas, les deux derniers termes de la sériep,
seront
et les correspondants dans la série
seront
en dénotant par
le nombre entier qui tombera entre
et
On voit par là que le premier cas aura lieu lorsque a est un nombre plus grand que l’unité, et que le second aura lieu lorsque
sera moindre que l’unité.
Connaissant ainsi les deux derniers termes correspondants des séries
on pourra, par les formules données plus haut, trouver successivement, en remontant, tous les termes de ces séries qui résolvent le Problème proposé.
25. Il est plus commode de considérer ces séries à rebours, en commençant par les derniers termes. Ainsi nous avons deux séries croissantes, que nous représenterons, pour plus de commodité, de cette manière
![{\displaystyle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,\quad q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa12b87d696e8f644f16a2cdf2b1cf880199149)
et pour lesquelles nous avons les déterminations suivantes
Si
![{\displaystyle p_{0}=1,\quad p_{1}<a>a-1,\quad q_{0}=0,\quad q_{1}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298436df078786154ebb5e1482ee7223739ec603)
si ![{\displaystyle a<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f5c15f7d5a3a4750ded7f54380b807ef28839c)
![{\displaystyle p_{0}=0,\quad p_{1}=1,\quad q_{0}=1,\quad q_{1}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9924541567954fc6460e47bf1e19f14148916509)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p_{2}&=\mu _{1}p_{1}+p_{0},\qquad &q_{2}&=\mu _{1}q_{1}+q_{0},\\p_{3}&=\mu _{2}p_{2}+p_{1},&q_{3}&=\mu _{2}q_{2}+q_{1},\\p_{4}&=\mu _{3}p_{3}+p_{2},&q_{4}&=\mu _{3}q_{3}+q_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80778f4feb9084d23c7afaf6af865d1439a26aea)
et pour la détermination de
les conditions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}<{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}&>{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}-1,\\\mu _{2}<{\frac {p_{1}-aq_{1}}{aq_{2}-p_{2}}}&>{\frac {p_{1}-aq_{1}}{aq_{2}-p_{2}}}-1,\\\mu _{3}<{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}}&>{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}}-1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf302e1db51d2e1325b8394d9970bf08cc5d1214)
Il est bon de remarquer encore que le second cas rentre dans le premier ; car, en supposant dans les formules du premier cas
on aura nécessairement
![{\displaystyle p_{1}<a>a-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4434a696321dec059127deb322bcc5cab2e1691c)
donc
![{\displaystyle p_{0}=1,\quad p_{1}=0,\quad q_{0}=0,\quad q_{1}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c437b44b20a6c01392fec218ee9227837503c43a)
et de là
![{\displaystyle \mu _{1}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1,\quad p_{2}=1,\quad q_{2}=\mu _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adbe5867e72d6733b09f9a56968deb1ab28b1e3)
de sorte qu’ici
et
seront ce que seraient
dans
les formules du second cas ; et les termes suivants seront par conséquent les mêmes dans les deux cas.
On peut donc établir, en général, quel que soit le nombre
les déterminations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p_{0}&=1,&q_{0}&=0,\\p_{1}&=\mu ,&q_{1}&=1,\\p_{2}&=\mu _{1}p_{1}+1,&q_{2}&=\mu _{1},\\p_{3}&=\mu _{2}p_{2}+p_{1},&q_{3}&=\mu _{2}q_{2}+q_{1},\\p_{4}&=\mu _{3}p_{3}+p_{2},\qquad &q_{4}&=\mu _{3}q_{3}+q_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb663f139fe8c01b04b364afa916347cf20f4fde)
Ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \ \,<a,\\&\mu _{1}<{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}<{\frac {1}{a-\mu }},\\&\mu _{2}<{\frac {aq_{1}-p_{1}}{p_{2}-aq_{2}}},\\&\mu _{3}<{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}},\\&\mu _{4}<{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{4}-aq_{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3928d8ab16dc42ffdddbb6e8ec053ad0fc879611)
où le signe
dénote le nombre entier qui est immédiatement moindre que la valeur de la quantité placée après ce signe.
On trouvera ainsi successivement toutes les valeurs de
et
qui pourront satisfaire au Problème, ces valeurs ne pouvant être que les termes correspondants des deux séries
et
Corollaire I.
26. Si l’on fait
![{\displaystyle b={\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}},\quad c={\frac {aq_{1}-p_{1}}{p_{2}-aq_{2}}},\quad d={\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e18254e00815cb314d5aac78b3a0c51a64b8151)
on aura, comme il est facile de le voir,
![{\displaystyle b={\frac {1}{a-\mu }},\quad c={\frac {1}{b-\mu _{1}}},\quad d={\frac {1}{c-\mu _{2}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaf2ff3c84c1739d737cdf05d6d5ec482b49938)
et
etc. ; donc les nombres
ne seront autre chose que ceux que nous avons désignés par
dans le no 3, c’est-à-dire que ces nombres seront les termes de la fraction continue qui représente la valeur de
en sorte que l’on aura ici
![{\displaystyle a=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bad79d5f2c41dc79b9b09193a99bb185ff167e8)
Par conséquent les nombres
seront les numérateurs, et
les dénominateurs des fractions convergentes vers
fractions que nous avons désignées ci-devant par
(no 10).
Ainsi tout se réduit à convertir la valeur de
en une fraction continue, dont tous les termes soient positifs, ce qu’on peut exécuter par les méthodes exposées plus haut, pourvu qu’on ait soin de prendre toujours les valeurs approchées en défaut ; ensuite il n’y aura plus qu’à former la suite des fractions principales convergentes vers
et les termes de chacune de ces fractions donneront des valeurs de
et
qui résoudront le Problème proposé ; de sorte que
ne pourra être qu’une de ces mêmes fractions.
Corollaire II.
27. Il résulte de là une nouvelle propriété des fractions dont nous parlons ; c’est que, nommant
une des fractions principales convergentes vers
(pourvu qu’elles soient déduites d’une fraction continue dont tous les termes soient positifs), la quantité
aura toujours une valeur plus petite, abstraction faite du signe, qu’elle n’aurait, si l’on y mettait à la place de
et
d’autres nombres moindres quelconques.
Problème II.
28. Étant proposée la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63eb422e229f29339f95dd3072ccd62b0503477)
dans laquelle
sont des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et où
et
sont des nombres indéterminés, qu’on suppose devoir être entiers et positifs, on demande quelles valeurs on doit donner à
et
pour que la quantité proposée devienne la plus petite qu’il est possible.
Soient
les racines réelles, et
les racines imaginaires de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59f7d5dc7eb045c17d26faccb5b0af2e29da12e)
on aura, par la Théorie des équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} p^{m}&+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m}\\=&\mathrm {A} (p-\alpha q)(p-\beta q)(p-\gamma q)\ldots \left[p-\left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)q\right]\\&\times \left[p-\left(\mu -\nu {\sqrt {-1}}\right)q\right]\left[p-\left(\varpi +\rho {\sqrt {-1}}\right)q\right]\left[p-\left(\mu -\rho {\sqrt {-1}}\right)q\right]\ldots \\=&\mathrm {A} (p-\alpha q)(p-\beta q)(p-\gamma q)\ldots \left[(p-\mu q)^{2}+\nu ^{2}q^{2}\right]\left[(p-\varpi q)^{2}+\rho ^{2}q^{2}\right]\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb8833e4a979a162b0297115de9d5a115e3462b)
Donc la question se réduit à faire en sorte que le produit des quantités
et ![{\displaystyle (p-\mu q)^{2}+\nu ^{2}q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9441b5a85370ba7855138f891b80d6118e03c6e0)
soit le plus petit qu’il est possible, tant que
et
sont des nombres entiers positifs.
Supposons qu’on ait trouvé les valeurs de
et
qui répondent au minimum ; et, si l’on met à la place de
et
d’autres nombres moindres, il faudra que le produit dont il s’agit acquière une valeur plus grande. Donc il faudra nécessairement que quelqu’un des facteurs augmente de valeur. Or il est visible que, si
par exemple, était négatif, le facteur
diminuerait toujours, lorsque
et
décroîtraient ; la même chose arriverait au facteur
si
était négatif, et ainsi des autres ; d’où il s’ensuit que, parmi les facteurs simples réels, il n’y a que ceux où les racines sont positives qui puissent augmenter de valeur ; et, parmi les facteurs doubles imaginaires, il n’y aura que ceux où la partie réelle de la racine imaginaire sera positive qui puissent augmenter aussi ; de plus, il faut remarquer, à l’égard de ces derniers, que, pour que
augmente, tandis que
et
diminuent, il faut nécessairement que la partie
augmente, parce que l’autre terme
diminue nécessairement, de sorte que l’augmentation de ce facteur dépendra de la quantité
et ainsi des autres.
Donc les valeurs de
et
qui répondent au minimum, doivent être telles que la quantité
p-aq
augmente, en donnant à
et
des valeurs moindres, et prenant pour
une des racines réelles positives de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bb74ff1f274c9cfd9301b840a1a3eea312ca0b)
ou une des parties réelles positives des racines imaginaires de la même équation, s’il y en a.
Soient
et
deux nombres entiers positifs moindres que
et
il faudra donc que
soit
(abstraction faite du signe de ces deux quantités). Qu’on suppose, comme dans le no 23, que ces nombres soient tels que
le signe supérieur ayant lieu lorsque
est positive, et l’inférieur lorsque
est négative ; en sorte que les deux quantités
et
deviennent de différents signes, et l’on aura exactement le cas auquel nous avons réduit le Problème précédent (no 24), et dont nous avons déjà donné la solution.
Donc (no 26) les valeurs de
et
devront nécessairement se trouver parmi les termes des fractions principales convergentes vers
c’est-à-dire vers quelqu’une des quantités que nous avons dit pouvoir être prises pour
Ainsi il faudra réduire toutes ces quantités en fractions continues (ce qu’on pourra exécuter facilement par les méthodes enseignées ailleurs), et en déduire ensuite les fractions convergentes dont il s’agit, après quoi on fera successivement
égal à tous les numérateurs de ces fractions, et
égal aux dénominateurs correspondants, et celle de ces suppositions qui donnera la moindre valeur de la fonction proposée sera nécessairement aussi celle qui répondra au minimum cherché.
Remarque I.
29. Nous avons supposé que les nombres
et
devaient être tous deux positifs ; il est clair que, si on les prenait tous deux négatifs, il n’en résulterait aucun changement dans la valeur absolue de la formule proposée elle ne ferait que changer de signe dans le cas où l’exposant
serait impair, et elle demeurerait absolument la même dans le cas où l’exposant
serait pair ; ainsi il n’importe quels signes on donne aux nombres
et
lorsqu’on les suppose tous deux de même signe.
Mais il n’en sera pas de même si l’on donne à
et
des signes différents car alors les termes alternatifs de l’équation proposée changeront de signe, ce qui en fera aussi changer aux racines
![{\displaystyle \mu \pm \nu {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb053ae1b987f674131fc122e4aeef113a0006d)
de sorte que celles des quantités
qui étaient négatives, et par conséquent inutiles dans le premier cas, deviendront positives dans celui-ci, et devront être employées à la place des autres.
De là je conclus, en général, que, lorsqu’on recherche le minimum de la formule proposée sans autre restriction, sinon que
et
soient des nombres entiers, il faut prendre successivement pour
toutes les racines réelles
et toutes les parties réelles
des racines imaginaires de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bb74ff1f274c9cfd9301b840a1a3eea312ca0b)
en faisant abstraction des signes de ces quantités ; mais ensuite il faudra donner à
et
les mêmes signes ou des signes différents, suivant que la quantité qu’on aura prise pour
aura eu originairement le signe positif ou le signe négatif.
Remarque II.
30. Lorsque, parmi les racines réelles
il y en a de commensurables, alors il est clair que la quantité proposée deviendra nulle en faisant
égal à une de ces racines ; de sorte que dans ce cas il n’y aura pas, à proprement parler, de minimum ; dans tous les autres cas il sera impossible que la quantité dont il s’agit devienne zéro, tant que
et
seront des nombres entiers ; or, comme les coefficients
sont aussi des nombres entiers (hypothèse), cette quantité sera toujours égale à un nombre entier, et par conséquent elle ne pourra jamais être moindre que l’unité.
Donc, si l’on avait à résoudre en nombres entiers l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ae5b440600469e96d649273fb3141442453939)
il faudrait chercher les valeurs de
et
par la méthode du Problème précédent, excepté dans les cas où l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {V} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e273ea6d2034f1b5b48faf87d3226776f4c9e9c0)
aurait des racines ou des diviseurs quelconques commensurables ; car alors il est visible que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31f0279e4840aff593334fed8c9435748de7824)
pourrait se décomposer en deux ou plusieurs quantités semblables de degrés moindres ; de sorte qu’il faudrait que chacune de ces formules partielles fût égale à l’unité en particulier, ce qui donnerait pour le moins deux équations qui serviraient à déterminer
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Nous avons déjà donné ailleurs [Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768[8]] une solution de ce dernier Problème ; mais celle que nous venons d’indiquer est beaucoup plus simple et plus directe, quoique toutes les deux dépendent de la même Théorie des fractions continues.
Problème III.
31. On demande les valeurs de
et de
qui rendront la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa002c7105638ed38223dddc954d6085b03df2c)
le plus petite qu’il est possible, dans l’hypothèse qu’on n’admette pour
et
que des nombres entiers.
Ce Problème n’est, comme l’on voit, qu’un cas particulier du précédent mais nous avons cru devoir le traiter en particulier, parce qu’il est susceptible d’une solution très-simple et très-élégante, et que d’ailleurs nous aurons dans la suite occasion d’en faire usage dans la résolution des équations du second degré à deux inconnues, en nombres entiers.
Suivant la méthode générale, il faudra donc commencer par chercher les racines de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4ae0aa903306a50154d6d45178049e9c4a8703)
lesquelles sont, comme l’on sait,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafe253b883f1641f27a87166e1d6a6db874fbfb)
Or :
1o Si
est égal à un nombre carré, les deux racines seront commensurables, et il n’y aura point de minimum proprement dit, parce que la quantité
pourra devenir nulle.
2o Si
n’est pas carré, alors les deux racines seront irrationnelles ou imaginaires, suivant que
sera
ou
ce qui fait deux cas qu’il faut considérer séparément ; nous commencerons par le dernier, qui est le plus facile à résoudre.
Premier cas, lorsque ![{\displaystyle \mathrm {B^{2}-4AC} <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081eb838804a253a8d86ae2961292dbda9cf7cb5)
.
32. Les deux racines étant, dans ce cas, imaginaires, on aura
pour la partie toute réelle de ces racines, laquelle devra par conséquent être prise pour
Ainsi il n’y aura qu’à réduire la fraction
(en faisant abstraction du signe qu’elle peut avoir) en fraction continue par la méthode du no 4, et en déduire ensuite la série des fractions convergentes (no 10), laquelle sera nécessairement terminée ; cela fait, on essayera successivement pour
les numérateurs de ces fractions, et pour
les dénominateurs correspondants, en ayant soin de donner à
et
les mêmes signes ou des signes différents, suivant que
sera un nombre positif ou négatif. On trouvera de cette manière les valeurs de
et
qui peuvent rendre la formule proposée un moindre.
Exemple.
Soit proposée, par exemple, la quantité
![{\displaystyle 49p^{2}-238pq+290q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32657aa234e7f4615e621f860b38b6149aafcd6a)
On aura donc ici
donc
![{\displaystyle \mathrm {B^{2}-4AC=-196,\quad {\frac {-B}{2A}}} ={\frac {238}{98}}={\frac {17}{7}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6697f24ef5e240d4a1fe4a0ce4b3491fc25ea8)
Opérant donc sur cette fraction de la manière enseignée dans le no 4, on trouvera les quotients
à l’aide desquels on formera ces fractions (no 20)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&2,&2,&3,\\{\cfrac {1}{0}},&{\cfrac {2}{1}},&{\cfrac {5}{2}},&{\cfrac {17}{7}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a638c33a33d339c6c3dd804d9ca3fdf86140ad13)
De sorte que les nombres à essayer seront
pour
et
pour
or, désignant par
la quantité proposée, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}p&\qquad &q&\qquad &\mathrm {P} \\1&&0&&49\\2&&1&&10\\5&&2&&5\\17&&7&&49\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019909716fd6bbd42db2a581d82ba87b31da2ef9)
d’où l’on voit que la plus petite valeur de
est
laquelle résulte de ces suppositions
et
ainsi l’on peut conclure en général que
la formule proposée ne pourra jamais devenir plus petite que
![{\displaystyle 5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b13068804ccdd036a5e780d3848bf98ed516a4d)
tant que
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
seront des nombres entiers ; de sorte que le minimum aura lieu lorsque
![{\displaystyle p=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261ae92684f7423f53230594c6aca12906781b79)
et
Second cas, lorsque ![{\displaystyle \mathrm {B^{2}-4AC} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9944d0b3f9076dbf519e77289de781dd78ec3b46)
33. Comme, dans le cas présent, l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162a52e59bd55a109d2a7124fe5484b9d80c52d5)
a deux racines réelles irrationnelles, il faudra les réduire l’une et l’autre en fractions continues. Cette opération peut se faire avec la plus grande facilité par une méthode particulière que nous avons exposée ailleurs, et que nous croyons devoir rappeler ici, d’autant qu’elle se déduit naturellement des formules du no 25, et qu’elle renferme d’ailleurs tous les principes nécessaires pour la solution complète et générale du Problème proposé.
Dénotons donc par
la racine qu’on a dessein de convertir en fraction continue, et que nous supposerons toujours positive, et soit en même temps
l’autre racine ; on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle a+b=-\mathrm {\frac {B}{A}} ,\quad ab=\mathrm {\frac {C}{A}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261a3ee4a1af762229da2de1374a517a64a2411a)
d’où
![{\displaystyle a-b=\mathrm {\frac {\sqrt {B^{2}-4AC}}{A}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2706630b8d7d2a9765e85ce72ea8b8f38e0a4e6)
ou bien, en faisant, pour abréger, ![{\displaystyle \mathrm {B^{2}-4AC=E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b889676f3f2055e213c70e941f657aacaa6921a5)
![{\displaystyle a-b=\mathrm {\frac {\sqrt {E}}{A}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3ce7e6593cb258a2b6aff66e049a91483bd22c)
où le radical
peut être positif ou négatif : il sera positif lorsque la racine
sera la plus grande des deux, et négatif lorsque cette racine sera la plus petite ; donc
![{\displaystyle a=\mathrm {\frac {-B+{\sqrt {E}}}{2A}} ,\quad b=\mathrm {\frac {-B-{\sqrt {E}}}{2A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b32becaa78deb0324176ed3403e4b93c43e8a9c)
Maintenant, si l’on conserve les mêmes dénominations du no 25, il n’y aura qu’à substituer à la place de
la valeur précédente, et la difficulté ne consistera qu’à pouvoir déterminer facilement les valeurs entières approchées ![{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7534e6eadd105bd0079c58cc71323b79390906)
Pour faciliter ces déterminations, je multiplie le haut et le bas des fractions
respectivement par
et, comme on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} (p_{0}-aq_{0})(p_{0}-bq_{0})=&\mathrm {A} ,\\\mathrm {A} (q_{1}a-p_{1})(bq_{1}-p_{1})=&\mathrm {A} p_{1}^{2}-\mathrm {A} (a+b)p_{1}q_{1}+\mathrm {A} abq_{1}^{2}=\mathrm {A} p_{1}^{2}+\mathrm {B} p_{1}q_{1}+\mathrm {C} q_{1}^{2},\\\mathrm {A} (p_{2}-aq_{2})(p_{2}-bq_{2})=&\mathrm {A} p_{2}^{2}-\mathrm {A} (a+b)p_{2}q_{2}+\mathrm {A} abq_{2}^{2}=\mathrm {A} p_{2}^{2}+\mathrm {B} p_{2}q_{2}+\mathrm {C} q_{2}^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a1c0e6139368fad0596719f9d01671eb5db6cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} (p_{0}-aq_{0})(bq_{1}-p_{1})=&-\mu \mathrm {A-{\frac {1}{2}}B-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}} ,\\\mathrm {A} (aq_{1}-p_{1})(p_{2}-bq_{2})=&-\mathrm {A} p_{1}p_{2}+\mathrm {A} ap_{2}q_{1}+\mathrm {A} bp_{1}q_{2}-\mathrm {A} abq_{1}q_{2}\\=&-\mathrm {A} p_{1}p_{2}-\mathrm {C} q_{1}q_{2}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{1}q_{2}+q_{1}p_{2})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}(p_{2}q_{1}-q_{2}p_{1}),\\\mathrm {A} (p_{2}-aq_{2})(bq_{3}-p_{3})=&-\mathrm {A} p_{2}p_{3}+\mathrm {A} ap_{3}q_{2}+\mathrm {A} bp_{2}q_{3}-\mathrm {A} abq_{2}q_{3}\\=&-\mathrm {A} p_{2}p_{3}-\mathrm {C} q_{2}q_{3}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{2}q_{3}+q_{2}p_{3})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}(p_{3}q_{2}-q_{3}p_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19a9004dfec4197317a6ff70cd44442698906e0)
et ainsi de suite, je fais, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{0}&=\mathrm {A} ,\\\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {A} p_{1}^{2}+\mathrm {B} p_{1}q_{1}+\mathrm {C} q_{1}^{2},\\\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {A} p_{2}^{2}+\mathrm {B} p_{2}q_{2}+\mathrm {C} q_{2}^{2},\\\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {A} p_{3}^{2}+\mathrm {B} p_{3}q_{3}+\mathrm {C} q_{3}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Q} _{0}&={\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,\\\mathrm {Q} _{1}&=\mathrm {A} \mu +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mathrm {A} p_{1}p_{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{1}q_{2}+q_{1}p_{2})+\mathrm {C} q_{1}q_{2},\\\mathrm {Q} _{3}&=\mathrm {A} p_{2}p_{3}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{2}q_{3}+q_{2}p_{3})+\mathrm {C} q_{2}q_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a9e3093b41059468196faf6c7999e106fa8127)
J’aurai, à cause de
![{\displaystyle p_{2}q_{1}-q_{2}p_{1}=1,\quad p_{3}q_{2}-q_{3}p_{2}=-1,\quad p_{4}q_{3}-q_{4}p_{3}=1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b858f8919ae3e8c3ffcc143b4ed140d262424efa)
les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \ \,&<\mathrm {\frac {-Q_{0}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{0}}} ,\\\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{1}}} ,\\\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{2}}} ,\\\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388ff4b842f87289570e33c280fca05edac07c7b)
Or, si dans l’expression de
on met pour
et
leurs valeurs
et
elle deviendra
de même, si l’on substitue dans l’expression de
pour
et
leurs valeurs
et
elle se changera en
et ainsi du reste ; de sorte que l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} _{1}&=\mu \ \,\mathrm {P_{0}+Q_{0}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\\\mathrm {Q} _{4}&=\mu _{3}\mathrm {P_{3}+Q_{3}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fd2daf7793add7b509108c542cdb381612096b)
Pareillement, si l’on substitue dans l’expression de
les valeurs de
et
elle deviendra
![{\displaystyle \mu _{1}^{2}\mathrm {P_{1}+2\mu _{1}Q_{1}+A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5696d3ac320f946f7e55d4651ebd3f31c365b07a)
et, si l’on substitue les valeurs de
et
dans l’expression de
elle deviendra
![{\displaystyle \mu _{2}^{2}\mathrm {P_{2}+2\mu _{2}Q_{2}+P_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468fec1876103dbfeb6bc09a0c731574b99a2aab)
et ainsi de suite ; de sorte que l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}&=\mu ^{2}\mathrm {P_{0}+2\mu \ \,Q_{0}+C} ,\\\mathrm {P} _{2}&=\mu _{1}^{2}\mathrm {P_{1}+2\mu _{1}Q_{1}+P_{0}} ,\\\mathrm {P} _{3}&=\mu _{2}^{2}\mathrm {P_{2}+2\mu _{2}Q_{2}+P_{1}} ,\\\mathrm {P} _{4}&=\mu _{3}^{2}\mathrm {P_{3}+2\mu _{3}Q_{3}+P_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6230165973d8a436fc21507e2bf0c2576996560)
Ainsi l’on pourra, à l’aide de ces formules, continuer aussi loin qu’on voudra les suites des nombres
et
qui dépendent, comme l’on voit, mutuellement les uns des autres, sans qu’il soit nécessaire de calculer en même temps les nombres
et
On peut encore trouver les valeurs de
par des formules plus simples que les précédentes, en remarquant que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {Q_{1}^{2}-P_{1}=\left(\mu _{1}A+{\frac {1}{2}}B\right)^{2}-A\left(\mu _{1}^{2}A+\mu _{1}B+C\right)={\frac {1}{4}}B^{2}-AC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2072199ef2f2bc2d9ea1a4ef4b44d989faaefd3a)
![{\displaystyle \mathrm {Q_{1}^{2}-P_{1}P_{2}=(\mu _{1}P_{1}+Q_{1})^{2}-P_{1}\left(\mu _{1}^{2}P_{1}+2\mu _{1}Q_{1}+A\right)=Q_{1}^{2}-AP_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a892b8b3f9d12ac6ed63bd5148595218a2096c)
et ainsi de suite, c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Q_{1}^{2}-P_{0}P_{1}={\frac {1}{4}}E} ,\\&\mathrm {Q_{2}^{2}-P_{1}P_{2}={\frac {1}{4}}E} ,\\&\mathrm {Q_{3}^{2}-P_{2}P_{3}={\frac {1}{4}}E} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51598e53b6831c628e5da64afebd1d8a881fdaf8)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {P_{1}={\frac {Q_{1}^{2}-{\frac {1}{4}}E}{P_{0}}}} ,\\&\mathrm {P_{2}={\frac {Q_{2}^{2}-{\frac {1}{4}}E}{P_{1}}}} ,\\&\mathrm {P_{3}={\frac {Q_{3}^{2}-{\frac {1}{4}}E}{P_{2}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91b5537b0f18a7c1f2fe4eeb17ce970b9d73f98)
Les nombres
étant donc trouvés ainsi, on aura (no 26) la fraction continue
![{\displaystyle a=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf3f6b210a06add68ab171ad055c9b185ec7b8b)
et, pour trouver le minimum de la formule
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a37f24f17c47d39e67b55bbb588224f591dafd)
il n’y aura qu’à calculer les nombres
et
(no 25), et les essayer ensuite à la place de
et
mais on peut encore se dispenser de cette opération, en remarquant que les quantités
ne sont autre chose que les valeurs de la formule dont il s’agit, lorsqu’on y fait successivement
et
Ainsi il n’y aura qu’à voir quel est le plus petit terme de la suite
qu’on aura calculée en même temps que la suite
et ce sera le minimum cherché ; on trouvera ensuite les valeurs correspondantes de
et
par les formules citées.
34. Maintenant je dis qu’en continuant la série
on doit nécessairement parvenir à deux termes consécutifs de signes différents, et qu’alors tous les termes suivants seront aussi deux à deux de différents signes. Car on a (numéro précédent)
![{\displaystyle \mathrm {P_{0}=A} (p_{0}-aq_{0})(p_{0}-bq_{0}),\quad \mathrm {P_{1}=A} (p_{1}-aq_{1})(p_{1}-bq_{1}),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21b5427748c0889a7d6f3309e4fb9ed0cb36911)
Or, de ce qu’on a démontré dans le Problème I, il s’ensuit que les quantités
doivent être de signes alternatifs et aller toujours en diminuant ; donc : 1o si
est une quantité négative, les quantités
seront toutes positives ; par conséquent les nombres
seront tous de signes alternatifs ; 2o si
est une quantité positive, comme les quantités
et à plus forte raison les quantités
forment une suite décroissante à l’infini, on arrivera nécessairement à une de ces dernières
quantités, comme
![{\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}-a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0912823ddfd5c9f27b47581449171ab62b0deb)
qui sera
![{\displaystyle <a-b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384859fae1a18ab0f5bada50b0e2668e06ca4145)
abstraction faite du signe, et alors toutes les suivantes
![{\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}-a,\ {\frac {p_{5}}{q_{5}}}-a,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4854328dcb22157bda08cc9b83580548fb37c80d)
le seront aussi ; de sorte que toutes les quantités
![{\displaystyle a-b+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}-a,\ a-b+{\frac {p_{4}}{q_{4}}}-a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cbee09c3d76170bee0aea8a6b674981a37a53d)
seront nécessairement de même signe que la quantité
![{\displaystyle a-b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366a76a5263c2bf8617b03932f08607fb8c602fe)
par conséquent les quantités
![{\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}-b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4712a18a3752195cbda92588dac15becef32ca)
![{\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}-b,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f330737ea7298355da8932c74a895230c01b5318)
et celles-ci
![{\displaystyle p_{3}-bq_{3},\ p_{4}-bq_{4},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abf901c5b03fdb0136d411372566c7319f33e21)
à l’infini seront toutes de même signe ; donc les nombres
![{\displaystyle p_{3},p_{4},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be272585bb8a63d6f74a10028c22343cbb0ad8c8)
seront tous de signes alternatifs.
Supposons donc, en général, que l’on soit parvenu à des termes de signes alternatifs dans la série
et que
soit le premier de ces termes, en sorte que tous les termes
à l’infini, soient alternativement positifs et négatifs ; je dis qu’aucun de ces termes ne pourra être
Car si, par exemple,
sont tous de signes alternatifs, il est clair que les produits deux à deux,
seront nécessairement tous négatifs ; mais on a (numéro précédent)
![{\displaystyle \mathrm {Q_{4}^{2}-P_{3}P_{4}={\frac {1}{4}}E,\quad Q_{5}^{2}-P_{4}P_{5}={\frac {1}{4}}E} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d7de7dde450f2706d647b2a192d7919c886a3c)
donc les nombres positifs
seront tous moindres que
ou au moins pas plus grands que
de sorte que, comme les nombres
sont d’ailleurs tous entiers par leur nature, les nombres
et, en général, les nombres
abstraction faite de leurs signes, ne pourront jamais surpasser le nombre ![{\displaystyle \mathrm {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4642c12921fcac0ddbc898e25f5b18a38bac9e3)
Il s’ensuit aussi de là que les termes
et, en général,
ne pourront jamais être plus grand que
D’où il est facile de conclure que les deux séries
et
quoique poussées à l’infini, ne pourront être composées que d’un certain nombre de termes différents, ces termes ne pouvant être pour la première que les nombres naturels jusqu’à
pris positivement ou négativement, et, pour la seconde, les nombres naturels jusqu’à
avec les fractions intermédiaires
pris aussi positivement ou négativement ; car il est visible, par les formules du numéro précédent, que les nombres
seront toujours entiers lorsque
sera pair, mais qu’ils contiendront chacun la fraction
lorsque
sera impair.
Donc, en continuant les deux séries
et
il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme
et
reviendront après un certain intervalle de termes, dont le nombre pourra toujours être supposé pair ; car, comme il faut que les mêmes termes
et
reviennent en même temps une infinité de fois, à cause que le nombre des termes différents dans l’une et l’autre série est limité, et par conséquent aussi le nombre de leurs combinaisons différentes, il est clair que, si ces deux termes revenaient toujours après un intervalle d’un nombre impair de termes, il n’y aurait qu’à considérer leurs retours alternativement, et alors les intervalles seraient tous composés d’un nombre pair de termes.
On aura donc, en dénotant par
le nombre des termes intermédiaires,
![{\displaystyle \mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5aafb063fe740911e853facabcd8a16f8c34ab)
et alors tous les termes
et
reviendront aussi au bout de chaque intervalle de
termes ; car il est facile de voir, par les formules données dans le numéro précédent pour la détermination des nombres
et
que, dès qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5aafb063fe740911e853facabcd8a16f8c34ab)
on aura aussis
![{\displaystyle \mu _{\varpi +2\rho }=\mu _{\varpi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441c14820e33a8384d5709f26822ac3427cd22fe)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Q_{\varpi +2\rho +1}=Q_{\varpi +1},\quad {\text{et}}\quad P_{\varpi +2\rho +1}=P_{\varpi +1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637351bea9bc3b940f6d7e9edcf92c112a4dffd2)
donc aussi
![{\displaystyle \mu _{\varpi +2\rho +1}=\mu _{\varpi +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decbd88e1cd13b0d9cc89205cd6d9aecdfc65c70)
et ainsi de suite.
Donc, si
est un nombre quelconque, égal ou plus grand que
et que
dénote un nombre quelconque entier positif, on aura, en général,
![{\displaystyle \mathrm {P_{\Pi +2m\rho }=P_{\Pi },\quad Q_{\Pi +2m\rho }=Q_{\Pi }} ,\quad \mu _{\Pi +2m\rho }=\mu _{\Pi }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b94be3d1487b81f756a4d54a8c2515c1b0d235)
de sorte qu’en connaissant les
![{\displaystyle \varpi +2p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729c27046a2123b1f9b0cd2fe078eae6829c7de4)
premiers termes de chacune de ces trois suites, on connaîtra aussi tous les suivants, qui ne seront autre chose que les
![{\displaystyle 2\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00092e1eed2611482328ecd989d40cf34c724a1)
derniers termes répétés à l’infini dans le même ordre.
De tout cela il s’ensuit que, pour trouver la plus petite valeur de
![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efd7fa89c0f558a361d2ed05139b53b9196bcac)
il suffit de pousser les séries
et
jusqu’à ce que deux termes correspondants, comme
et
reparaissent ensemble après un nombre pair de termes intermédiaires, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d844eae0dde049ff216a079aa09a8a19bd94a016)
alors le plus petit terme de la série
sera le minimum cherché.
Corollaire I.
35. Si le plus petit terme de la série
ne se trouve pas avant le terme
alors ce terme reparaîtra une infinité de fois dans la même suite prolongée à l’infini ; ainsi il y aura alors une infinité de valeurs de
et de
qui répondront au minimum, et qu’on pourra trouver toutes par les formules du no 25, en continuant la série des nombres
au delà du terme
par la répétition des mêmes termes
comme on l’a dit plus haut.
On peut aussi, dans ce cas, avoir des formules générales qui représentent toutes les valeurs de
et de
dont il s’agit ; mais le détail de la méthode qu’il faut employer pour y parvenir nous mènerait trop loin ; quant à présent, nous nous contenterons de renvoyer pour cet objet aux Mémoires de Berlin déjà cités, année 1768, pages 123 et suivantes[9], où l’on trouvera une Théorie générale et nouvelle des fractions continues périodiques.
Corollaire II.
36. Nous avons démontré, dans le no 34, qu’en continuant la série
on doit trouver des termes consécutifs de signes différents. Supposons donc, par exemple, que
et
soient les deux premiers termes de cette qualité ; on aura nécessairement les deux quantités
et
de mêmes signes, à cause que les quantités
et
sont de leur nature de différents signes. Or, en mettant dans les quantités
les valeurs de
(no 25), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{5}-aq_{5}=\mu _{4}(p_{4}-bq_{4})+p_{3}-bq_{3},\\&p_{6}-aq_{6}=\mu _{5}(p_{5}-bq_{5})+p_{4}-bq_{4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b5008b2dd952c9e4ca071b4535c950deac21df)
d’où, à cause que
sont des nombres positifs, il est clair que toutes les quantités
à l’infini, seront de mêmes signes que les quantités
et
par conséquent tous les termes ![{\displaystyle \mathrm {P_{3},P_{4}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6211bed70e5eba0266576ad276a039c624245fe)
à l’infini, auront alternativement les signes
et ![{\displaystyle -.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c79a602196e181673b8bd5bd8c1fe8761d65a5b)
Maintenant on aura par les équations précédentes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{4}={\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}}-{\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}},\\&\mu _{5}={\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}}-{\frac {p_{4}-bq_{4}}{p_{5}-bq_{5}}},\\&\mu _{6}={\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}}-{\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{6}-bq_{6}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfff866c55e485f7629efe91cc7bbac87ecedaab)
où les quantités
seront toutes positives.
Donc, puisque les nombres
doivent être tous entiers positifs (hypothèse), la quantité
devra être positive et
de même que les quantités
donc les quantités
seront positives et moindres que l’unité ; de sorte que les nombres
ne pourront être que les nombres entiers qui sont immédiatement moindres que les valeurs de
quant au nombre
il sera aussi égal au nombre entier, qui est immédiatement moindre que la valeur de
toutes les fois qu’on aura
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{4}<{\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}},\quad {\text{si}}\quad {\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}}<1,\\&\mu _{5}<{\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}},\\&\mu _{6}<{\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0302f222b6193ac35f4afb9ed23d9dce6a81d1)
le signe
placé après les nombres
dénotant, comme plus haut, les nombres entiers qui sont immédiatement au-dessous des quantités qui suivent ce même signe.
Or il est facile de transformer, par des réductions semblables à celles du no 33, les quantités
en celles-ci
de plus, la condition de
peut se réduire à celle-ci
laquelle, à cause de
aura sûrement lieu lorsqu’on aura
ou
donc on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{4}<\mathrm {\frac {Q_{5}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{4}}} ,\quad {\text{si}}\quad \mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}} =\ {\text{ou}}\ <1,\\&\mu _{5}<\mathrm {\frac {Q_{6}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{5}}} ,\\&\mu _{6}<\mathrm {\frac {Q_{7}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{6}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354226173cd9b0f8f7d2c0df7476f2e0bd267659)
En combinant ces formules avec celles du no 33, qui renferment la loi des séries
et
on verra aisément que, si l’on suppose donnés deux termes correspondants de ces deux séries, dont le numéro soit plus grand que
on pourra remonter aux termes précédents jusqu’à
et
et même jusqu’aux termes
et
si la condition de
ou
a lieu ; en sorte que tous ces termes seront absolument déterminés par ceux qu’on a supposés donnés.
En effet, connaissant, par exemple,
et
on connaîtra d’abord
par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Q_{6}^{2}-P_{5}P_{6}={\frac {1}{4}}E} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc446b363f3041991dd15333e86d4cc08ee59c3)
ensuite, ayant
et
on trouvera la valeur de
à l’aide de laquelle on trouvera ensuite la valeur de
par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Q_{6}=\mu _{5}P_{5}+Q_{5}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dec4d275f0bb04bd89a2616aee4f9cac0aed089)
or l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Q_{5}^{2}-P_{4}P_{5}={\frac {1}{4}}E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a99ff2bc2668bdad0d3ee5fadd823e080733ea)
donnera
et, si l’on sait d’avance que
doit être
ou
on trouvera
après quoi on aura
par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Q_{5}=\mu _{4}P_{4}+Q_{4}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07de849a3c867b7c70d9faf22e5f908eda4677fe)
et ensuite
par celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {Q_{4}^{2}-P_{3}P_{4}={\frac {1}{4}}E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7ae16115a009cc8e4e148d64873336480f54fa)
De là il est facile de tirer cette conclusion générale, que, si
et
sont les premiers termes de la série
qui se trouvent consécutivement de différents signes, le terme
et les suivants reviendront toujours après un certain nombre de termes intermédiaires, et qu’il en sera de même du terme
si l’on a
ou
Car imaginons, comme dans le no 34, que l’on ait trouvé
et
et supposons que
soit
c’est-à-dire
donc on pourra, d’un côté, remonter du terme
au terme
ou
et de l’autre, du terme
au terme
ou
et, comme les termes d’où l’on part, de part et d’autre, sont égaux, tous les dérivés seront aussi respectivement égaux, de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} _{\lambda +2\rho +1}=\mathrm {P} _{\lambda +1},\quad {\text{ou même}}\quad \mathrm {P} _{\lambda +2\rho }=\mathrm {P} _{\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c386f223238ad46f3b1a646837f92105fb9c04e)
si
ou ![{\displaystyle <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343a72ab0e303aab6fb542b543febbad3dab418)
Par là on pourra donc juger d’avance du commencement des périodes dans la série
et par conséquent aussi dans les deux autres séries
et
mais, quant à la longueur des périodes, cela dépend de la nature du nombre
et même uniquement de la valeur de ce nombre, comme je pourrais le démontrer, si je ne craignais que ce détail ne me menât trop loin.
Corollaire III.
37. Ce qu’on vient de démontrer dans le corollaire précédent peut servir encore à prouver ce beau Théorème :
Toute équation de la forme
où
est un nombre entier positif non carré, et
et
deux indéterminées, est toujours résoluble en nombres entiers.
Car, en comparant la formule
avec la formule générale
on a
donc (no 33)
![{\displaystyle \mathrm {E=B^{2}-4AC=4K,\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}={\sqrt {K}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae672629e21aa1558862a83fda188dd758b9612)
Donc
donc
![{\displaystyle \mathrm {\mu <{\sqrt {K}},\quad Q_{1}=\mu ,\quad {\text{et}}\quad P_{1}=\mu ^{2}-K} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cddbbbb2d0a408c65decadabd05ea3ee0bd1215)
d’où l’on voit : 1o que
est négatif, et par conséquent de signe différent de
2o que
est
ou
parce que
et
sont des nombres entiers ; de sorte qu’on aura
ou
donc on aura (numéro précédent)
![{\displaystyle \lambda =0,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {P_{2\rho }=P_{0}} =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d86bf079feb6da85ded1bf9e83720c959e77dc)
de sorte qu’en continuant la série
![{\displaystyle \mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39430db71cbd0192c02fec557f70ea236ee8259)
le terme
![{\displaystyle \mathrm {P} _{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ef4fafa185137b0288da159b295aebc89a4f4a)
reviendra nécessairement après un certain intervalle de termes ; par conséquent on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et de
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
qui rendent la formule
![{\displaystyle p^{2}-\mathrm {K} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4548bb4e3d2338c49e1c30c2d9c9c38025426785)
égale à l’unité.
Corollaire IV.
38. On peut aussi démontrer cet autre Théorème :
Si l’équation
est résoluble en nombres entiers, en supposant
un nombre positif non carré, et
un nombre positif et moindre que
les nombres
et
doivent être tels que
soit une des fractions principales convergentes vers la valeur de
Supposons que le signe supérieur doive avoir lieu, eu sorte que
donc on aura
![{\displaystyle p-q{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{p+q{\sqrt {\mathrm {K} }}}},\quad {\frac {p}{q}}-{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{q^{2}\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca30f121a8388fe9df7a7786fe49f4bb5fe4b33c)
qu’on cherche deux nombres entiers positifs
et
moindres que
et
et tels que
ce qui est toujours possible, comme on l’a démontré dans le no 23, et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}-{\frac {r}{s}}={\frac {1}{qs}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b675a0234a4dd5200bffe6f33d6d112def7bbf2)
donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra
![{\displaystyle {\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{q^{2}\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}-{\frac {1}{qs}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de562841855797e5e480d8397dec5f640472f242)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p-q{\sqrt {\mathrm {K} }}=&{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}},\\r-s{\sqrt {\mathrm {K} }}=&{\frac {1}{q}}\left[{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}-1\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d2de2fd410872ec5123865963cb720479a5a1a)
Or, comme
et
il est clair que
sera
donc
sera
donc
sera à plus forte raison
puisque
de sorte que
sera une quantité négative, laquelle, prise positivement, sera
à cause de
Ainsi, en faisant
on aura les deux quantités
et
assujetties aux mêmes conditions que celles du no 23 ; on y pourra par conséquent appliquer la même analyse du no 24, et l’on en tirera des conclusions semblables ; donc, etc. (no 26). Si l’on avait
alors il faudrait chercher les nombres
et
tels que
et l’on aurait ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}q{\sqrt {\mathrm {K} }}-p=&{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}},\\s{\sqrt {\mathrm {K} }}-r=&{\frac {1}{q}}\left[{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}}-1\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8746e8e986dc77e539c1b2b9e414b3aa4440cf6)
Comme
et
il est clair que
sera
de sorte que la quantité
sera négative ; or je dis que cette quantité, prise positivement, sera
pour cela il faut démontrer que
![{\displaystyle {\frac {1}{q}}\left[1-{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}}\right]>{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5ae3cb237d339aaf1235ed2aec98aebf9dc7b8)
ou bien que
![{\displaystyle 1>{\frac {\mathrm {H} \left(1+{\cfrac {s}{q}}\right)}{{\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}}},\quad {\text{savoir}}\quad {\sqrt {\mathrm {K} }}+{\frac {p}{q}}>\mathrm {H} +{\frac {s\mathrm {H} }{q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a15ab60048dabe96f0992055ac45bb5ef24e52a)
mais
![{\displaystyle \mathrm {H} <{\sqrt {\mathrm {K} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d7e846ef6732c5b428242e1c301e024e3a213)
(hypothèse) ; donc il suffit de prouver que
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}>{\frac {s{\sqrt {\mathrm {K} }}}{q}},\quad {\text{ou bien que}}\quad p>s{\sqrt {\mathrm {K} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6810bf7933d9cf41cb0e2fca65d212a746fcfe6)
c’est ce qui est évident, à cause que, la quantité
étant négative, il faut que
et à plus forte raison
puisque ![{\displaystyle p>r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ece7e735e7892cc29cd1f37a43f4a509ba877f3)
Ainsi les deux quantités
et
seront de différents signes, et la seconde sera plus grande que la première, abstraction faite des signes, comme dans le cas précédent ; donc, etc.
Donc, lorsqu’on aura à résoudre en nombres entiers une équation-de la forme
![{\displaystyle p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=\pm \mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4982c133e13aa05a5b363292a9db3bf3af4d4b74)
où
il n’y aura qu’à suivre les mêmes procédés du no 33, en faisant
et
et, si dans la série
on rencontre un terme
on aura la résolution cherchée ; sinon on sera assuré que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.
Remarque.
39. Nous n’avons considéré dans le no 33 qu’une des racines de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4ae0aa903306a50154d6d45178049e9c4a8703)
que nous avons supposée positive ; si cette équation a ses deux racines positives, il faudra les prendre successivement pour
et faire la même opération sur l’une que sur l’autre ; mais, si l’une des deux racines ou toutes deux étaient négatives, alors on les changerait d’abord en positives, en changeant seulement le signe de
et l’on opérerait comme ci-dessus ; mais ensuite il faudrait prendre les valeurs de
et de
avec des signes différents, c’est-à-dire l’une positivement et l’autre négativement (no 29).
Donc, en général, on donnera à la valeur de
le signe ambigu
de même qu’à
c’est-à-dire qu’on fera
et qu’on mettra
à la place de
et il faudra prendre ces signes en sorte que la racine
![{\displaystyle a=\mathrm {\frac {\mp {\frac {1}{2}}B\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{A}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c2e9d710f576bd16b7d18d67327fcfca3e2ae5)
soit positive, ce qui pourra toujours se faire de deux manières différentes le signe supérieur de
indiquera une racine positive, auquel cas il faudra prendre
et
tous deux de mêmes signes ; au contraire, le signe inférieur de
indiquera une racine négative, auquel cas les valeurs de
et
devront être prises de signes différents.
Exemple.
40. On demande quels nombres entiers il faudrait prendre pour
et
afin que la quantité
![{\displaystyle 9p^{2}-118pq+378q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a990fef6b55984ec3ba252194fc6109d4bb1a4)
devînt le plus petite qu’il est possible.
Comparant cette quantité avec la formule générale du Problème III, on aura
donc
d’où l’on voit que ce cas se rapporte à celui du no 33. On fera donc
et
où l’on remarquera d’abord que
et
de sorte que, dans les formules dont il ne s’agira que d’avoir la valeur entière approchée, on pourra prendre sur-le-champ, à la place du radical
le nombre
ou
suivant que ce radical se trouvera ajouté ou retranché des autres nombres de la même formule.
Maintenant on donnera tant à
qu’à
le signe ambigu
et l’on prendra ensuite ces signes tels que
![{\displaystyle a={\frac {\pm 59\pm {\sqrt {79}}}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e76b9174dba81fbd59233ee2f645d9ad6abe1)
soit une quantité positive (no 39) ; d’où l’on voit qu’il faut toujours prendre le signe supérieur pour le nombre
et que pour le radical
![{\displaystyle {\sqrt {79}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6628a16744247279a57fc6bc8b60a6ddc320567a)
on peut prendre également le signe supérieur et l’inférieur. Ainsi l’on fera toujours
![{\displaystyle \mathrm {Q} _{0}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77645bbb0bb622b15238c881504007884ce484b9)
et
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {E} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33388ed2677eb7320365c5738aec6acab6f0273e)
pourra être pris successivement en plus et en moins.
Soit donc
1o
avec le signe positif ; on fera (no 33) le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {Q} _{0}=&-59,&\mathrm {P} _{0}=&9,&&&\mu <&{\frac {59+{\sqrt {79}}}{9}}&&=7,\\\mathrm {Q} _{1}=&9.7-59=4,&\mathrm {P} _{1}=&{\frac {16-79}{9}}&&=-7,&\mu _{1}<&{\frac {-4-{\sqrt {79}}}{-7}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{2}=&-7.1+4=-3,&\mathrm {P} _{2}=&{\frac {9-79}{-7}}&&=10,&\mu _{2}<&{\frac {3+{\sqrt {79}}}{10}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{3}=&10.1-3=7,&\mathrm {P} _{3}=&{\frac {49-79}{10}}&&=-3,&\mu _{3}<&{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-3}}&&=5,\\\mathrm {Q} _{4}=&-3.5+7=-8,&\mathrm {P} _{4}=&{\frac {64-79}{-3}}&&=5,&\mu _{4}<&{\frac {8+{\sqrt {79}}}{5}}&&=3,\\\mathrm {Q} _{5}=&5.3-8=7,&\mathrm {P} _{5}=&{\frac {49-79}{5}}&&=-6,&\mu _{5}<&{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-6}}&&=2,\\\mathrm {Q} _{6}=&-6.2+7=-5,\qquad &\mathrm {P} _{6}=&{\frac {25-79}{-6}}&&=9,\qquad &\mu _{6}<&{\frac {5+{\sqrt {79}}}{9}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{7}=&9.1-5=4,&\mathrm {P} _{7}=&{\frac {16-79}{9}}&&=-7,&\mu _{7}<&{\frac {-4-{\sqrt {79}}}{-7}}&&=1,\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2591cf7e1c082303725828e5aa8905d7f15d9152)
Je m’arrête ici, parce que je vois que
et
et que la différence entre les deux numéros
et
est paire ; d’où il s’ensuit que tous les termes suivants seront aussi les mêmes que les précédents ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q_{7}=4,\quad Q_{8}=-3,\quad Q_{9}=7,\quad \ldots ,\quad P_{7}=-7,\quad P_{8}=10} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a43afc87fbabd65838d2b5f525d2b8434ed28c)
de sorte qu’on pourra, si l’on veut, continuer les séries ci-dessus à l’infini, en ne faisant que répéter les mêmes termes.
2o Prenons maintenant le radical
avec un signe négatif, et le calcul sera comme il suit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {Q} _{0}=&-59,&\mathrm {P} _{0}=&9,&&&\mu \ \,<&{\frac {59-{\sqrt {79}}}{9}}&&=5,\\\mathrm {Q} _{1}=&9.5-59=-14,&\mathrm {P} _{1}=&{\frac {106-79}{9}}&&=13,&\mu _{1}<&{\frac {14+{\sqrt {79}}}{13}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{2}=&13.1-14=-1,&\mathrm {P} _{2}=&{\frac {1-79}{13}}&&=-6,&\mu _{2}<&{\frac {1-{\sqrt {79}}}{-6}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{3}=&-6.1-1=-7,&\mathrm {P} _{3}=&{\frac {49-79}{-6}}&&=5,&\mu _{3}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{5}}&&=3,\\\mathrm {Q} _{4}=&5.3-7=8,&\mathrm {P} _{4}=&{\frac {64-79}{5}}&&=-3,&\mu _{4}<&{\frac {-8-{\sqrt {79}}}{-3}}&&=5,\\\mathrm {Q} _{5}=&-3.5+8=-7,&\mathrm {P} _{5}=&{\frac {49-79}{-3}}&&=10,&\mu _{5}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{10}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{6}=&10.1-7=3,&\mathrm {P} _{6}=&{\frac {9-79}{10}}&&=-7,&\mu _{6}<&{\frac {-3-{\sqrt {79}}}{-7}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{7}=&-7.1+3=-4,\qquad &\mathrm {P} _{7}=&{\frac {16-79}{-7}}&&=9,\qquad &\mu _{7}<&{\frac {4+{\sqrt {79}}}{9}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{8}=&9.1-4=5,&\mathrm {P} _{8}=&{\frac {25-79}{9}}&&=-6,&\mu _{8}<&{\frac {-5-{\sqrt {79}}}{-6}}&&=2,\\\mathrm {Q} _{9}=&-6.2+5=-7,&\mathrm {P} _{9}=&{\frac {49-79}{-6}}&&=5,&\mu _{9}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{5}}&&=3,\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95472a137d520295898470af587cb9f81088a7a9)
On peut s’arrêter ici, puisque l’on a trouvé
et
et que la différence des numéros
et
est paire ; car, en continuant les séries, on ne retrouverait plus que les mêmes termes qu’on a déjà trouvés.
Si l’on considère les valeurs des termes
trouvées dans les deux cas, on verra que le plus petit de ces termes est égal à
dans le premier cas, c’est le terme
auquel répondent les valeurs
et
et dans le second cas, c’est le terme
auquel répondent les valeurs
et
D’où il s’ensuit que la plus petite valeur que puisse recevoir la quantité proposée est
et, pour avoir les valeurs de
et
qui y répondent, on prendra dans le premier cas les nombres
savoir
et
et l’on en formera les fractions principales convergentes
la troisième fraction sera donc
en sorte que l’on aura
et
c’est-à-dire que les valeurs cherchées seront
et
Dans le second cas, on prendra les nombres
savoir
lesquels donneront ces fractions
de sorte qu’on aura
et
donc
et
Les valeurs qu’on vient de trouver pour
et
dans le cas du minimum sont aussi les plus petites qu’il est possible ; mais on pourra, si l’on veut, en trouver successivement d’autres plus grandes ; car il est clair que le même terme
reviendra toujours au bout de chaque intervalle de six termes ; de sorte que, dans le premier cas, on aura
et dans le second,
Donc dans le premier cas on aura, pour les valeurs satisfaisantes de
et
celles-ci ![{\displaystyle p_{3},q_{3},p_{9},q_{9},p_{15},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b908536662560731fe3fe6faacfafb0c0b1456c)
et dans le second cas celles-ci
Or les valeurs de
sont, dans le premier cas,
![{\displaystyle 7,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced71c012967025ddb2bdbb1078c63b16cc72829)
à l’infini, parce que
et
ainsi il n’y aura qu’à former par la méthode du no 20 les fractions
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}7,&1,&1,&5,&3,&2,&1,&1,&1,&5,\\{\frac {7}{1}},&{\frac {8}{1}},&{\frac {15}{2}},&{\frac {83}{11}},&{\frac {264}{35}},&{\frac {611}{81}},&{\frac {875}{116}},&{\frac {1486}{197}},&{\frac {2361}{313}},&{\frac {13291}{1762}},&\ldots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511d4f57d43662b46a4cb8e3104e1a9de7f649cf)
et l’on pourra prendre pour
les numérateurs de la troisième, de la neuvième, etc., et pour
les dénominateurs correspondants ; on aura donc ![{\displaystyle p=15,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdc627a6537832cc66479acf1371f8382988e34)
ou
ou etc.
Dans le second cas, les valeurs de
seront
![{\displaystyle 5,\ 1,\ 1,\ 3,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ \quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5212fe5edea62b9a279b7e24c854357f63a2a62)
parce que
On formera donc ces fractions-ci
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccc}5,&1,&1,&3,&5,&1,&1,&1,&2,&3,&5,&\ldots ,\\{\frac {5}{1}},&{\frac {6}{1}},&{\frac {11}{2}},&{\frac {39}{7}},&{\frac {206}{37}},&{\frac {245}{44}},&{\frac {451}{81}},&{\frac {696}{125}},&{\frac {1843}{331}},&{\frac {6225}{1118}},&{\frac {32968}{5921}},&\ldots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437bacbc7ff3f1e861091bc66674bdafd7c9f064)
et les fractions quatrième, dixième, etc., donneront les valeurs de
et
lesquelles seront donc
ou
etc.
De cette manière on pourra donc trouver par ordre toutes les valeurs de
et
qui rendront la formule proposée
valeur qui est la plus petite qu’elle puisse recevoir. On pourrait même avoir une formule générale qui renfermât toutes ces valeurs de
et de
on la trouvera, si l’on en est curieux, par la méthode que nous avons exposée ailleurs et dont nous avons parlé plus haut (no 35).
Nous venons de trouver que le minimum de la quantité proposée est
et par conséquent négatif ; or on pourrait proposer de trouver la plus petite valeur positive que la même quantité puisse recevoir ; alors il n’y aurait qu’à examiner les séries
dans les deux cas, et l’ou verrait que le plus petit terme positif est
dans les deux cas ; et, comme dans le premier cas c’est
et dans le second
qui est égal à
les valeurs de
et de
qui donneront la plus petite valeur positive de la quantité proposée, seront
ou
ou etc. dans le premier cas, et
ou
ou etc. dans le second ; de sorte que l’on aura, par les fractions ci-dessus,
ou ![{\displaystyle p=13291,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec1af55fe86be2b9d19ad47dfb406c28564bb21)
ou
ou
ou etc.
Au reste, on ne doit pas oublier de remarquer que les nombres
trouvés dans les deux cas ci-dessus, ne sont autre chose que les termes des fractions continues qui représentent les deux racines de l’équation
![{\displaystyle 9x^{2}-118x+378=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3e137beec98158fa720fd3e691ee5a654bd2f5)
De sorte que ces racines seront
![{\displaystyle 7+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52fc8b784e6fc6219aeb9be18f8b01debd8e158)
![{\displaystyle 5+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{5+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00b41efc9b9d3ab2cdb95cb55e469d5e7c404e8)
expressions qu’on pourra continuer à l’infini par la simple répétition des mêmes nombres.
Ainsi l’on voit par là comment on doit s’y prendre pour réduire eu fractions continues les racines de toute équation du second degré.
Scolie.
41. Euler a donné, dans le tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, une méthode analogue à la précédente, quoique déduite de principes un peu différents, pour réduire en fraction continue la racine d’un nombre quelconque entier non carré, et il y a joint une Table où les fractions continues sont calculées pour tous les nombres naturels non carrés jusqu’à
Comme cette Table peut être utile en différentes occasions, et surtout pour la solution des Problèmes indéterminés du second degré, comme on le verra plus bas (§ VII), nous croyons faire plaisir à nos lecteurs de la leur présenter ici. On remarquera qu’à chaque nombre radical il répond deux suites de nombres entiers la supérieure est celle des nombres
et l’inférieure est celle des nombres
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {2}}\left\{{\begin{array}{lllll}1&1&1&1&\ldots \\1&2&2&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96ea1067fe2feb17c690fc924be905333481e05)
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {3}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\1&1&2&1&2&1&2\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854cbcbe1d33726a4d4484553d3e97ea85b5ba63)
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {5}}\left\{{\begin{array}{lllll}1&1&1&1&\ldots \\2&4&4&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a471a6967fabee9cfcf05a3067b3a887c8c2b20)
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {6}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\2&2&4&2&4&2&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b330b3855fcaf73e0098e38f9d0ecd055761167b)
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {7}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&3&2&3&1&3&2&3&1&\ldots \\2&1&1&1&4&1&1&1&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d587400f3b0f16b9de3eed39ea5799a3a4ead6)
![{\displaystyle \ \ {\sqrt {8}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&4&1&4&1&4&1&\ldots \\2&1&4&1&4&1&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba899a4be7e567a2255c5664fb48abdf5e606dd8)
![{\displaystyle {\sqrt {10}}\left\{{\begin{array}{lllll}1&1&1&1&\ldots \\3&6&6&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec8e36b92d669e9c98854bb4fe71b97e53ec96f)
![{\displaystyle {\sqrt {11}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\3&3&6&3&6&3&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011992f29ffc5bc831827377c07e1c0799b0037)
![{\displaystyle {\sqrt {12}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&3&1&3&1&3&1&\ldots \\3&2&6&2&6&2&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c822b9f94f43ec7d5ce9503b7654d987bda7d7)
![{\displaystyle {\sqrt {13}}\left\{{\begin{array}{llllllllllll}1&4&3&3&4&1&4&3&3&4&1&\ldots \\3&1&1&1&1&6&1&1&1&1&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd378b345bbd426fa03c633c7230c8fa07240875)
![{\displaystyle {\sqrt {14}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&5&2&5&1&5&2&5&1&\ldots \\3&1&2&1&6&1&2&1&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae779411b16e85085b4e7856d51953a79c457213)
![{\displaystyle {\sqrt {15}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&6&1&6&1&6&1&\ldots \\3&1&6&1&6&1&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00458c1b05b32378f70472810ea14d2523ad2cb1)
![{\displaystyle {\sqrt {17}}\left\{{\begin{array}{llllll}1&1&1&1&1&\ldots \\4&8&8&8&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ba4195fab2c6ba76d6ad847c9e656190c3f039)
![{\displaystyle {\sqrt {18}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&2&1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\4&4&8&4&8&4&8&4&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6494f7ab3f6267085133e81b28ecde302be1f0b3)
![{\displaystyle {\sqrt {19}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllll}1&3&5&2&5&3&1&3&5&2&5&3&1&\ldots \\4&2&1&3&1&2&8&2&1&3&1&2&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dda6fefdd915226b47cbc57a1195d7354835b5)
![{\displaystyle {\sqrt {20}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&4&1&4&1&4&1&4&1&\ldots \\4&2&8&2&8&2&8&2&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa1cefc0fddce3e300112ea2d6998e405ea3fc2)
![{\displaystyle {\sqrt {21}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllll}1&5&4&3&4&5&1&5&4&3&4&5&1&\ldots \\4&1&1&2&1&1&8&1&1&2&1&1&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab39109f3002a2caaede81f67cb5415f14c2c77)
![{\displaystyle {\sqrt {22}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllll}1&6&3&2&3&6&1&6&3&2&3&6&1&\ldots \\4&1&2&4&2&1&8&1&2&4&2&1&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a426e2a882d4660318b3c23a79d09d22d3d5e0)
![{\displaystyle {\sqrt {23}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&7&2&7&1&7&2&7&1&\ldots \\4&1&3&1&8&1&3&1&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b4fb38cdd4b063d89ee978091b67900e1d2a75)
![{\displaystyle {\sqrt {24}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&8&1&8&1&8&1&\ldots \\4&1&8&1&8&1&8&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5682ee3594b33ce30b6f69ffb4147cbe7d0e7b)
![{\displaystyle {\sqrt {26}}\left\{{\begin{array}{lllll}1&1&1&1&\ldots \\5&10&10&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0881d5cc1aa0fdd7c226dfdfe0a9ddc5d94b77fe)
![{\displaystyle {\sqrt {27}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\5&5&10&5&10&5&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0857228b53ef8e550b5479455bef3fad470753c7)
![{\displaystyle {\sqrt {28}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}101&3&4&3&1&3&4&3&1&\ldots \\5&3&2&5&10&3&2&3&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba679849965317a519611baaec1d5e7dea130d4)
![{\displaystyle {\sqrt {29}}\left\{{\begin{array}{llllllllllll}121&4&5&5&4&1&4&5&5&4&1&\ldots \\5&2&1&1&2&10&2&1&1&2&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1d1e203735a42cb5a3d690a6a52de364d35615)
![{\displaystyle {\sqrt {30}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&5&1&5&1&5&1&5&1&\ldots \\5&2&10&2&10&2&10&2&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d35e46a069f691aeee1a3f658040957e370d8af)
![{\displaystyle {\sqrt {31}}\left\{{\begin{array}{llllllllllll}1&6&5&3&2&3&5&6&1&6&5&\ldots \\5&1&1&3&5&3&1&1&10&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7a383efee5de8277694954c38966c73f71da44)
![{\displaystyle {\sqrt {32}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&7&4&7&1&7&4&7&1&\ldots \\5&1&1&1&10&1&1&1&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d979d9a3ac5a6c866f12dd4f1dbf672d2d28f251)
![{\displaystyle {\sqrt {33}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&8&3&8&1&8&3&8&1&\ldots \\5&1&2&1&10&1&2&1&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f335d6465add3ed968a232e4380274cf62367363)
![{\displaystyle {\sqrt {34}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&9&2&9&1&9&2&9&1&\ldots \\5&1&4&1&10&1&4&1&10&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbf952fb03d3cca9234455d668baee9d8a70348)
![{\displaystyle {\sqrt {35}}\left\{{\begin{array}{lllllllll}1&10&1&10&1&10&1&10&\ldots \\5&1&10&1&10&1&10&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571fc61297689850f5112376562f5fdea3a43fa6)
![{\displaystyle {\sqrt {37}}\left\{{\begin{array}{llllll}1&1&1&1&1&\ldots \\6&12&12&12&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9408b977648667242b958366ab210ae7cc9035c0)
![{\displaystyle {\sqrt {38}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&2&1&2&1&2&1&\ldots \\6&6&12&16&12&6&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c784f6c015425120b690ba9631f001e79aaf19)
![{\displaystyle {\sqrt {39}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&3&1&3&1&3&1&\ldots \\6&4&12&4&12&4&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f92dd116d0329befc3db6f6ee7d7a06f5f592c)
![{\displaystyle {\sqrt {40}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&4&1&4&1&4&1&\ldots \\6&3&12&3&12&3&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a0de4c9e019b48dfd4d9670b652bda6253d891)
![{\displaystyle {\sqrt {41}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&5&5&1&5&5&1&\ldots \\6&2&2&12&2&2&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0ebc0018070b2959b4af00b870c1d609c5e630)
![{\displaystyle {\sqrt {42}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&6&1&6&1&6&1&\ldots \\6&2&12&2&12&2&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3258a329a9ee1b0b44b963ba13495022f81752f)
![{\displaystyle {\sqrt {43}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllll}1&7&6&3&9&2&9&3&6&7&1&7&6&\ldots \\6&1&1&3&1&5&1&3&1&1&12&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f358a7e60b2cab0cdab98797865d99f2931905b4)
![{\displaystyle {\sqrt {44}}\left\{{\begin{array}{llllllllllll}1&8&5&7&4&7&5&8&1&8&5&\ldots \\6&1&1&1&2&1&1&1&12&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffce7b2716cecd212bf1820534e0928f1543de21)
![{\displaystyle {\sqrt {45}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllllll}1&9&4&5&4&9&1&9&4&5&4&9&1&9&4&\ldots \\6&1&2&2&2&1&12&1&2&2&2&1&12&1&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d682186c751902ea2d5b1db49269eed0e700984)
![{\displaystyle {\sqrt {46}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllllll}1&10&3&7&6&5&2&5&6&7&3&10&1&10&3&\ldots \\6&1&3&1&1&2&6&2&1&1&3&1&12&1&3&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdfd20b670a8c946cc94d1658c388692e75e5f5)
![{\displaystyle {\sqrt {47}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&11&2&11&1&11&2&11&1&\ldots \\6&1&5&1&12&1&5&1&12&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a952e5f5c24922f4ef7dd44ac6308bd69dc4ec8)
![{\displaystyle {\sqrt {48}}\left\{{\begin{array}{lllllll}1&12&1&12&1&12&\ldots \\6&1&12&1&12&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea506fdc49b2db5e81161f75b8e8f1e085ae54f)
![{\displaystyle {\sqrt {50}}\left\{{\begin{array}{lllll}1&1&1&1&\ldots \\7&14&14&14&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c4251ce5c59e5f23ec81a35b05b0db6366ab74)
![{\displaystyle {\sqrt {51}}\left\{{\begin{array}{lllllll}1&2&1&2&1&2&\ldots \\7&7&14&7&14&7&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6411873e053706de899d1570a51e077acb574b1)
![{\displaystyle {\sqrt {52}}\left\{{\begin{array}{lllllllllllllll}1&3&9&4&9&3&1&3&9&4&9&3&1&3&\ldots \\7&4&1&2&1&4&14&4&1&2&1&4&14&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e348a6574184d7e70ccf6f1c201e38689f5e8d51)
![{\displaystyle {\sqrt {53}}\left\{{\begin{array}{llllllllllllll}1&4&7&7&4&1&4&7&7&4&1&4&7&\ldots \\7&3&1&1&3&14&3&1&1&3&14&3&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caabf87033c265ebadd81bdfdd8f3f8d646efc89)
![{\displaystyle {\sqrt {54}}\left\{{\begin{array}{lllllllllllllll}1&5&9&2&9&5&1&5&9&2&9&5&1&5&\ldots \\7&2&1&6&1&2&14&2&1&6&1&2&14&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928d5c46cd39b830ace6ad80c6bcce4c27938d48)
![{\displaystyle {\sqrt {55}}\left\{{\begin{array}{lllllllllll}1&6&5&6&1&6&5&6&1&6&\ldots \\117&2&2&2&14&2&2&2&14&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d806bc61b6f14c9b30cc37c808a5e7dcb87e32)
![{\displaystyle {\sqrt {56}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&7&1&7&1&7&1&\ldots \\87&2&14&2&14&2&14&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e469cefab1bcf43143866d26dee742c52b05a9)
![{\displaystyle {\sqrt {57}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&8&7&3&7&8&1&8&7&\ldots \\107&1&1&4&1&1&14&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9173a9bfeb69c8135cff3946fae0bbb533886d59)
![{\displaystyle {\sqrt {58}}\left\{{\begin{array}{lllllllllll}1&9&6&7&7&6&9&1&9&6&\ldots \\117&1&1&1&1&1&1&14&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868e12f1acb6f878c5736899ab20f2b3bb32b430)
![{\displaystyle {\sqrt {59}}\left\{{\begin{array}{llllllllll}1&10&5&2&5&10&1&10&5&\ldots \\7&1&2&7&2&1&14&1&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e5cd5bf101d74c543d97a69498ee72c42c2a74)
![{\displaystyle {\sqrt {60}}\left\{{\begin{array}{llllllll}1&11&4&11&1&11&4&\ldots \\7&1&2&1&14&1&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c452b039df4d9e2aa27af16ae8836dcd1d748ec)
![{\displaystyle {\sqrt {61}}\left\{{\begin{array}{lllllllllllllll}1&12&3&4&9&5&5&9&4&3&12&1&12&3&\ldots \\7&1&4&3&1&2&2&1&3&4&1&14&1&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da851dd28b98b92a5c32f57161923df01f52ec01)
![{\displaystyle {\sqrt {62}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrr}1&13&2&13&1&13&2&\ldots \\7&1&6&1&14&1&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df940dade8cd284f3af19f14a42530ded525226a)
![{\displaystyle {\sqrt {63}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&14&1&14&1&14&\ldots \\7&1&14&1&14&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3957274dfca8eff7bb74cdc79290d0340384ffb)
![{\displaystyle {\sqrt {65}}\left\{{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&\ldots \\9&16&16&16&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f506683154d9260939eb0daa71d8ab34eee71299)
![{\displaystyle {\sqrt {66}}\left\{{\begin{array}{rrrrrr}1&2&1&2&1&\ldots \\8&8&16&8&16&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcffebef1b169da4e4b7954a5057f54cff9240c)
![{\displaystyle {\sqrt {67}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}1&3&6&7&9&2&9&7&6&3&1&3&6&\ldots \\8&5&2&1&1&7&1&1&2&5&16&5&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603b7abf0ee76cf3c94fe2a86fe65565b32fd562)
![{\displaystyle {\sqrt {68}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&4&1&4&1&4&\ldots \\8&4&16&4&16&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11f9c8ce85f898624dc754e8a3177ef90994c21)
![{\displaystyle {\sqrt {69}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1&5&4&11&3&11&4&5&1&5&4&\ldots \\8&3&3&1&4&1&3&3&16&3&3&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e891287e439515a5972d6bff4b7a258714f27dfc)
![{\displaystyle {\sqrt {70}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&6&9&5&9&6&1&6&9&\ldots \\8&2&1&2&1&2&16&2&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac7be989f631bc7202ae9b3c7dd11e7b8ea648c)
![{\displaystyle {\sqrt {71}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1&7&5&11&2&11&5&7&1&7&5&\ldots \\8&2&2&1&7&1&2&2&16&2&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca7257ad285c8cdfeeee4a273090b2fa2591c2d)
![{\displaystyle {\sqrt {72}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&8&1&8&1&8&\ldots \\8&2&16&2&16&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cee797e349324e35b9522925189b44ca3280e09)
![{\displaystyle {\sqrt {73}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrr}1&9&8&3&3&8&9&1&9&8&\ldots \\8&1&1&5&5&1&1&16&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ecb37130e784a0a805c3c5a90d942cf0006e8a)
![{\displaystyle {\sqrt {74}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrr}1&10&7&7&10&1&10&7&\ldots \\8&1&1&1&1&16&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9c67ffed1730941e6c92ac16f3fc1c231e933c)
![{\displaystyle {\sqrt {75}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrr}1&11&6&11&1&11&6&\ldots \\8&1&1&1&16&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a6edadaba626b2526fe95d2195190030883e36)
![{\displaystyle {\sqrt {76}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}1&12&5&8&9&3&4&3&9&8&5&12&1&12&5&\ldots \\8&1&2&1&1&5&4&5&1&1&2&1&16&1&2&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0b46b3b109cd202908f65e9c509b4db443eb30)
![{\displaystyle {\sqrt {77}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&13&4&7&4&13&1&13&4&\ldots \\8&1&3&2&3&1&16&1&3&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0caf17ecab1996b2cd9dcd9c16462054d809a82)
![{\displaystyle {\sqrt {78}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrr}1&14&3&14&1&14&3&\ldots \\8&1&4&1&16&1&4&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd5c6d31daad0ebdd2082acd3cbec879b85faab)
![{\displaystyle {\sqrt {79}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrr}1&15&2&15&1&15&2&\ldots \\8&1&7&1&16&1&7&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb649d2f319a4ee35c4202ecd5798bacd0a8aec)
![{\displaystyle {\sqrt {80}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&16&1&16&1&16&\ldots \\8&1&16&1&16&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c962a1f22b411509bcfd2002dba9d697dd927bdc)
![{\displaystyle {\sqrt {82}}\left\{{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&\ldots \\9&18&18&18&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69e48dcb1fee664333fda65d5daee1b121b0583)
![{\displaystyle {\sqrt {83}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&2&1&2&1&2&\ldots \\9&9&18&9&18&9&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa4d7531e8a35341e55e53fea7faa403901ec23)
![{\displaystyle {\sqrt {84}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}3&3&1&3&1&3&\ldots \\9&6&18&6&18&6&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867e12454acebe2b61dcb8393a04c63269a0d5b9)
![{\displaystyle {\sqrt {85}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrr}1&4&9&9&4&1&4&9&\ldots \\9&4&1&1&4&18&4&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a6818645d37075dd8db7493d8448068edf9b4f)
![{\displaystyle {\sqrt {86}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}1&5&10&7&11&2&11&7&10&5&1&5&10&\ldots \\9&3&1&1&1&8&1&1&1&3&18&3&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ec7694e68ce00626c8eb1f0835f127d3431fa1)
![{\displaystyle {\sqrt {87}}\left\{{\begin{array}{lllllll}1&6&1&6&1&6&\ldots \\9&3&18&3&18&3&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e143eb50a40aa9d1f0f74742906cc240908bc47c)
![{\displaystyle {\sqrt {88}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&7&9&8&9&7&1&7&9&\ldots \\9&2&1&1&1&2&18&2&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e3ff737c75d885ff25907b686b0533c4271996)
![{\displaystyle {\sqrt {89}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrr}1&8&5&5&8&1&8&5&\ldots \\9&2&3&3&2&18&2&3&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0811d3aad65e15caf7817d138337e0a5713ac076)
![{\displaystyle {\sqrt {90}}\left\{{\begin{array}{rrrrrr}1&9&1&9&1&\ldots \\9&2&18&2&18&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bc07d5e7b5b3977bc89a50d56b98aee8606bf)
![{\displaystyle {\sqrt {91}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1&10&9&3&14&3&9&10&1&10&9&\ldots \\9&1&1&5&1&5&1&1&18&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7a2f2a065cdf448920bad43a1658a0aabcac6a)
![{\displaystyle {\sqrt {92}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1&11&8&7&4&7&8&11&1&11&8&\ldots \\9&1&1&2&4&2&1&1&18&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b063d6fbfa9896e10ac0020b3ca0c2f34f1e448f)
![{\displaystyle {\sqrt {93}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}1&12&7&11&4&3&4&11&7&12&1&12&7&\ldots \\9&1&1&1&4&6&4&1&1&1&18&1&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33ec93deee7d09b5216af1517d1699b3a924ba2)
![{\displaystyle {\sqrt {94}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrr}1&13&6&5&9&10&3&15&2&15&3&10&9&5&6&13&1&\ldots \\9&1&2&3&1&1&5&1&8&1&5&1&1&3&2&1&18&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dc14f850ab0de7d6428afd49bfa7d71307a3ff)
![{\displaystyle {\sqrt {95}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&14&5&14&1&14&\ldots \\9&1&2&1&18&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f431a0f5ebe240d61d33095ca8f20ea11ed33b8)
![{\displaystyle {\sqrt {96}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&15&4&15&1&15&\ldots \\9&1&3&1&18&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8195e7e2acdb2b70ec86c7381c948ad7e43bf6d)
![{\displaystyle {\sqrt {97}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}1&16&3&11&8&9&9&8&11&3&16&1&16&\ldots \\9&1&5&1&1&1&1&1&1&5&1&18&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a8f4712ca8e38ccb7df0a5feece7518984afb9)
![{\displaystyle {\sqrt {98}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&17&2&17&1&17&\ldots \\9&1&8&1&18&1&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ff3837728cde38f5a8650435a1f327000aaa51)
![{\displaystyle {\sqrt {99}}\left\{{\begin{array}{rrrrrrr}1&18&1&18&1&\ldots \\9&1&18&1&18&\ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e521d7bc8d86ec650de3911e82dc378eace1db2b)
Ainsi l’on aura, par exemple,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}=&1+{\frac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}},\\{\sqrt {3}}=&1+{\frac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9859a17025a79c65774b67a34cc38078b3f164)
et ainsi des autres.
Et, si l’on forme les fractions convergentes
d’après chacune de ces fractions continues, on aura
![{\displaystyle p_{0}^{2}-2q_{0}^{2}=1,\quad p_{1}^{2}-2q_{1}^{2}=-1,\quad p_{2}^{2}-2q_{2}^{2}=1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9629b2fc1366f0b9148d9f56a860130d5fd2d550)
et de même
![{\displaystyle p_{0}^{2}-3q_{0}^{2}=1,\quad p_{1}^{2}-3q_{1}^{2}=-1,\quad p_{2}^{2}-3q_{2}^{2}=1,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf3494e1a752d1e53f35bca4b701cd355d16b15)
§ III. — Sur la résolution des équations du premier degré
à deux inconnues en nombres entiers.
(Addition pour le Chapitre I).
42. Lorsqu’on a à résoudre une équation de cette forme
![{\displaystyle ax-by=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c8ae312f82bb104c23a304a541b8280c331270)
où
sont des nombres entiers donnés positifs ou négatifs, et où les deux inconnues
et
doivent être aussi des nombres entiers, il suffit de connaître une seule solution pour pouvoir en déduire facilement toutes les autres solutions possibles.
En effet, supposons que l’on sache que ces valeurs
et
satisfont à l’équation proposée,
et
étant des nombres entiers quelconques ; on aura donc
![{\displaystyle a\alpha -b\beta =c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3fbb13889a5466ebafd146ad7ee0b399b53deb)
et par conséquent
![{\displaystyle ax-by=a\alpha -b\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a0b0779f98387b88c3fe4c9a52dd12a9e002dd)
ou bien
![{\displaystyle a(x-\alpha )-b(y-\beta )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0b7044b46d7ef18261fc07fb55cccd56182134)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c053e4d68efb289b9371f0ae5e8845427fa697)
Qu’on réduise la fraction
à ses moindres termes, et supposant qu’elle se change par là en celle-ci
où
et
seront premiers entre eux, il est visible que l’équation
![{\displaystyle {\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f0b05f337f65f51b24f3a5b28ceb6be4afc827)
ne saurait subsister dans la supposition que
et
soient des nombres entiers, à moins que l’on ait
![{\displaystyle x-\alpha =mb_{1},\quad y-\beta =ma_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86baab7820fffdd6b78885918122dd981d50db75)
étant un nombre quelconque entier ; de sorte que l’on aura, en général,
![{\displaystyle x=\alpha +mb_{1},\quad y=\beta +ma_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee109dfa04ce311198126bd1414090a9877a4dda)
étant un nombre entier indéterminé.
Comme on peut prendre
positif ou négatif à volonté, il est facile de voir qu’on pourra toujours déterminer ce nombre
en sorte que la valeur de
ne soit pas plus grande que
ou que celle de
ne soit pas plus grande que
(abstraction faite des signes de ces quantités) ; d’où il s’ensuit que, si l’équation proposée
![{\displaystyle ax-by=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6747421a0d513853fb779bc85a0cd6073c080da8)
est résoluble en nombres entiers, et qu’on y substitue successivement à
la place de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
tous les nombres entiers, tant positifs que négatifs, renfermés entre ces deux limites
![{\displaystyle {\frac {b_{1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ef0de48c06516f08db6f2d0437af4584d5c569)
et
![{\displaystyle {\frac {-b_{1}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40df5f5c835c6ed81b06d8a2c18c300792ab53e7)
on en trouvera nécessairement un qui satisfera à cette équation ; et l’on trouvera de même une valeur satisfaisante de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
parmi les nombres entiers positifs ou négatifs, contenus entre les limites et
![{\displaystyle {\frac {a_{1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd43278e0f143510fe1ca63425b1197190ba1e0c)
et
Ainsi l’on pourra par ce moyen trouver une première solution de la proposée, après quoi on aura toutes les autres par les formules ci-dessus.
43. Mais si l’on ne veut pas employer la méthode de tâtonnement que nous venons de proposer, et qui serait souvent très-laborieuse, on pourra faire usage de celle qui est exposée dans le Chapitre Ier du Traité précédent, et qui est très-simple et très-directe, ou bien on pourra s’y prendre de la manière suivante.
On remarquera :
1o Que, si les nombres
et
ne sont pas premiers entre eux, l’équation ne pourra subsister en nombres entiers, à moins que le nombre donné
ne soit divisible par la plus grande commune mesure de
et
de sorte qu’en supposant la division faite lorsqu’elle a lieu, et désignant les quotients par
on aura à résoudre l’équation
![{\displaystyle a_{1}x-b_{1}y=c_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07567f1f0d16319ec90bd4f9e6039cd4f9d975f6)
où
et
seront premiers entre eux.
2o Que, si l’on peut trouver des valeurs de
et de
qui satisfassent à l’équation
![{\displaystyle a_{1}p-b_{1}q=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759bc4367524a1c06fcac7ab2bcf050162324403)
on pourra résoudre l’équation précédente ; car il est visible qu’en multipliant ces valeurs par
on aura des valeurs qui satisferônt à l’équation
![{\displaystyle a_{1}x-b_{1}y=c_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d778483f78f030647de141aef7218e7b2484f0ff)
c’est-à-dire qu’on aura.
![{\displaystyle x=\pm pc_{1},\quad y=\pm qc_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e65e813ed1a9a020959a59a972cca4d6e4b87c)
Or l’équation
![{\displaystyle a_{1}p-b_{1}q=\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fdea5ad0ae5768b0f2bcef472529ea36f5cab7)
est toujours résoluble en nombres entiers, comme nous l’avons démontré dans le no 23 ; et, pour trouver les plus petites valeurs de
et de
qui y peuvent satisfaire, il n’y aura qu’à convertir la fraction
en fraction continue par la méthode du no 4, et en déduire ensuite la série des fractions principales convergentes vers la même fraction
par les formules du no 10 ; la dernière de ces fractions sera la fraction même
et, si l’on désigne l’avant-dernière par
on aura, par la loi de ces fractions (no 12),
![{\displaystyle a_{1}p-b_{1}q=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759bc4367524a1c06fcac7ab2bcf050162324403)
le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction
est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est impair.
Ces valeurs de
et de
étant ainsi connues, on aura donc d’abord
![{\displaystyle x=\pm pc_{1},\quad y=\pm qc_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3413dfae38ca1ecd1b4bd5faba1a80c2c3798c13)
et, prenant ensuite ces valeurs pour
et
on aura, en général (no 42),
![{\displaystyle x=\pm pc_{1}+mb_{1},\quad y=\pm qc_{1}+ma_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d139657093216859a1b41244b3bdcb0a4d9ecd0)
expressions qui renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l’équation proposée.
Au reste, pour ne laisser aucun embarras dans la pratique de cette méthode, nous remarquerons que, quoique les nombres
et
puissent être positifs ou négatifs, on peut néanmoins les prendre toujours positivement, pourvu qu’on donne des signes contraires à
si
est négatif, et à
si
est négatif.
Exemple.
44. Pour donner un exemple de la méthode précédente, nous prendrons celui du no 14 du Chapitre Ier du Traité précédent, où il s’agit de résoudre l’équation
![{\displaystyle 39p=56q+11\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525a39f3bb1553f2341f345c5a0e22aa9466f4ca)
changeant
en
et
en
on aura donc
![{\displaystyle 39x-56y=11.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8bdbca5cf271fa383eebb15d3d5842763bdaad)
Ainsi on fera
et
et, comme
et
sont déjà premiers entre eux, on aura
On réduira donc en fraction continue la fraction
et pour cela on fera ( comme on l’a déjà pratiqué dans le no 20) le calcul suivant
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}39&56&1\\&{\underline {39}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0557cac9d3ca7a480a0df53b4eb572c36bbf1e1e)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}17&39&2\\&{\underline {34}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825cb58b05f504d3619fdf988a35fcf6f54a5fc6)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}5&17&3\\&{\underline {15}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2259a6f44dbd7ca4c41c665e9cccbec1f09c400)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}2&5&2\\&{\underline {4}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75577fb7456d944278d2d0126b245677931e41eb)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}1&2&2\\&{\underline {2}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413d1acd5aad4f51829316e82cd2c72d10634b2c)
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Ensuite, à l’aide des quotients
on formera les fractions
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}1,&2,&3,&2,&2,\\{\frac {1}{1}},&{\frac {3}{2}},&{\frac {10}{7}},&{\frac {23}{16}},&{\frac {56}{39}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d103fe96e1488521282ddd17a4d80f1ce4a20e3)
et la pénultième fraction
sera celle que nous avons désignée, en général, par
de sorte qu’on aura
,
et, comme cette fraction est la quatrième et par conséquent d’un quantième pair, il faudra prendre le signe supérieur ; ainsi l’on aura, en général,
![{\displaystyle x=23.11+56m,\quad y=16.11+39m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faaecb0b11ab7676ccb2b3956bf94d8b02daaab)
pouvant être un nombre quelconque entier, positif ou négatif.
Remarque.
45. On doit la première solution de ce Problème à Bachet de Méziriac, qui l’a donnée dans la seconde édition de ses Récréations mathématiques, intitulées Problèmes plaisans et délectables, etc. La première édition de cet Ouvrage a paru en 1612 ; mais la solution dont il s’agit n’y est qu’annoncée, et ce n’est que dans l’édition de 1624 qu’on la trouve complète. La méthode de Bachet est très-directe et très-ingénieuse, et ne laisse rien à désirer du côté de l’élégance et de la généralité.
Nous saisissons avec plaisir cette occasion de rendre à ce savant Auteur la justice qui lui est due sur ce sujet, parce que nous avons remarqué que les géomètres qui ont traité le même Problème après lui n’ont jamais fait aucune mention de son travail.
Voici en peu de mots à quoi se réduit la méthode de Bachet. Après avoir fait voir comment la solution des équations de la forme
![{\displaystyle ax-by=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c8ae312f82bb104c23a304a541b8280c331270)
et
étant premiers entre eux, se réduit à celle de
![{\displaystyle ax-by=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5a77f47b866b0a8057704523adf73dcdb590cd)
il s’attache à résoudre cette dernière équation, et pour cela il prescrit de faire entre les nombres
et
la même opération que si l’on voulait chercher leur plus grand commun diviseur (c’est aussi la même que nous avons pratiquée ci-devant) ; ensuite, nommant
les restes provenant des différentes divisions, et supposant, par exemple, que
soit le dernier reste, qui sera nécessairement égal à l’unité (à cause que
et
sont premiers entre eux, hyp.), il fait, lorsque le nombre des restes est pair, comme dans ce cas,
![{\displaystyle e\mp 1=\varepsilon ,\quad {\frac {\varepsilon d\pm 1}{e}}=\delta ,\quad {\frac {\delta c\mp 1}{d}}=\gamma ,\quad {\frac {\gamma b\pm 1}{c}}=\beta ,\quad {\frac {\beta a\mp 1}{b}}=\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95becd0c1d9453dbf00419eb00930c20849d5500)
ces derniers nombres
et
seront les plus petites valeurs de
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Si le nombre des restes était impair, comme si
était le dernier reste
alors il faudrait faire
![{\displaystyle f\pm 1=\zeta ,\quad {\frac {\zeta e\mp 1}{f}}=\varepsilon ,\quad {\frac {\varepsilon d\pm 1}{e}}=\delta ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960f698d2df2127d6f0cf56c793c8ff56c734bae)
Il est facile de voir que cette méthode revient au même dans le fond que celle du Chapitre Ier ; mais elle est moins commode, parce qu’elle demande des divisions ; au reste, les géomètres qui sont curieux de ces matières verront avec plaisir dans l’Ouvrage de Baeliet les artifices qu’il a employés pour parvenir à la règle précédente, et pour en déduire la solution complète des équations de la forme
![{\displaystyle ax-by=c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993de3c076ad5bff235fb6c1d3b0f730e1525ec4)
§ IV. — Méthodes pour résoudre en nombres entiers les équation indéterminées à deux inconnues, lorsque l’une des inconnues ne passe pas par le premier degré, et lorsque les deux inconnues ne forment que des produits d’une même dimension.
(Addition pour le Chapitre III).
46. Soit proposée l’équation générale
![{\displaystyle a+bx+cy+dx^{2}+exy+fx^{3}+gx^{2}y+hx^{4}+kx^{3}y+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681ec60d8a0b4e3bf1ea61fd826bbfb84ff7dae8)
dans laquelle les coefficients
soient des nombres entiers donnés, et où
et
soient deux nombres indéterminés, qui doivent aussi être entiers.
Tirant la valeur de
de cette équation, on aura
![{\displaystyle y=-{\frac {a+bx+dx^{2}+fx^{3}+hx^{4}+\ldots }{c+ex+gx^{2}+kx^{3}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba75f0bf278d1ef13f94feb7b3bef96d4146f243)
ainsi la question sera réduite à trouver un nombre entier qui, étant pris pour
rende le numérateur de cette fraction divisible par son dénominateur.
Soit supposé
![{\displaystyle p=a+bx+dx^{2}+fx^{3}+hx4+\ldots ,\quad q=c+ex+gx^{2}+kx^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50734184e7bfe722eb37621acca5aba5b53a5d79)
et qu’on élimine
de ces deux équations par les règles ordinaires de l’Algèbre ; on aura une équation finale de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} p+\mathrm {C} q+\mathrm {D} p^{2}+\mathrm {E} pq+\mathrm {F} q^{2}+\mathrm {G} p^{3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca1d1179b7d84e90c812241a2d0d7100159e529)
où les coefficients
seront des fonctions rationnelles et entières des nombres
,
Maintenant, puisque
on aura aussi
de sorte qu’en substituant cette valeur de
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {A} -\mathrm {B} yq+\mathrm {C} q+\mathrm {D} y^{2}q^{2}-\mathrm {E} q^{2}y+\mathrm {F} q^{2}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60fe24c8fcf9624c8ce673e9b729a9016f9ba98)
où l’on voit que tous les termes sont multipliés par
à l’exception du premier terme
donc il faudra que le nombre
soit divisible par le nombre
autrement il serait impossible que les nombres
et
pussent être entiers à la fois.
On cherchera donc tous les diviseurs du nombre entier connu
et l’on prendra successivement chacun de ces diviseurs pour
on aura par chacune de ces suppositions une équation déterminée en
dont on cherchera par les méthodes connues les racines rationnelles et entières, s’il y en a ; on substituera ensuite ces racines à la place de
et l’on verra si les valeurs résultantes de
et de
seront telles que
soit un nombre entier. On sera sûr de trouver par ce moyen, toutes les valeurs entières de
qui peuvent donner aussi des valeurs entières pour y dans l’équation proposée.
De là on voit que le nombre des solutions en entiers de ces sortes d’équations est toujours nécessairement limité ; mais il y a un cas qui doit être excepté, et qui échappe à la méthode précédente.
47. Ce cas est celui où les coefficients
sont nuls, en sorte que l’on ait simplement
![{\displaystyle y=-{\frac {a+bx+dx^{2}+fx^{3}+hx^{4}+\ldots }{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8b0a85a3c3aa335df92207cd35543d85b623ea)
voici comment il faudra s’y prendre pour trouver toutes les valeurs de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
qui pourront rendre la quantité
![{\displaystyle a+bx+dx^{2}+fx^{3}+hx^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf8f54f5c7243236099f4fad70d1018aa347002)
divisible par le nombre donné
je suppose d’abord qu’on ait trouvé un nombre entier
qui satisfasse à cette condition ; il est facile de voir que tout nombre de la forme
y satisfera aussi,
étant un nombre quelconque entier ; de plus, si
est
(abstraction faite des signes de
et de
), on pourra toujours déterminer le nombre
et le signe qui le précède, en sorte que le nombre
devienne
et il est aisé de voir que cela ne saurait se faire que d’une seule manière, les valeurs de
et de
étant données ; donc, si l’on désigne par
cette valeur de
laquelle est
et qui satisfait à la condition dont il s’agit, on aura, en général,
![{\displaystyle n=n_{1}\mp \mu c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ad094dc6d5173c731710f0fd21c695f96eae8e)
étant un nombre quelconque.
D’où je conclus que, si l’on substitue successivement, dans la formule
![{\displaystyle a+bx+dx^{2}+fx^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11c144f2b5dd06b5a20e4862fca656646abcb93)
à la place de
tous les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne passent pas
et qu’on dénote par
ceux de ces nombres qui rendront la quantité
divisible par
tous les autres nombres qui pourront faire le même effet seront nécessairement renfermés dans ces formules
![{\displaystyle n_{1}\pm \mu _{1}c,\quad n_{2}\pm \mu _{2}c,\quad n_{3}\pm \mu _{3}c,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6826fcfc008dea98d56d799623d30a5dd5328c)
étant des nombres quelconques entiers.
On pourrait faire ici différentes remarques pour faciliter la recherche des nombres
mais nous ne croyons pas devoir nous arrêter davantage sur ce sujet, d’autant que nous avons déjà eu occasion de le traiter dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin pour l’année 1768, et qui a pour titre Nouvelle Méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés[10]. Voyez aussi un Mémoire de Legendre sur l’Analyse indéterminée, dans le Recueil de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1785.
48. Considérons maintenant les équations de la forme
![{\displaystyle ay^{m}+by^{m-1}x+cy^{m-2}x^{2}+dy^{m-3}x^{3}+\ldots =h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a746d68aaffeed662b233fd8b6a6f738a6eb06)
dans lesquelles
sont des nombres entiers donnés, et où les deux indéterminées
qui forment partout dans le premier membre le même nombre
de dimensions, doivent être aussi des nombres entiers.
Je supposerai d’abord que
et
doivent être premiers entre eux, et que de plus y doive être premier à
je dis qu’on peut faire
![{\displaystyle x=ny-hz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1dae61bdd45623a18132c013afe870aa505a9b)
et
étant des nombres entiers indéterminés ; car, en regardant
et
comme des nombres donnés, on aura une équation résoluble en nombres entiers par la méthode du § III, puisque
et
n’ont, par l’hypothèse, d’autre commune mesure que l’unité. Qu’on substitue cette expression de
dans l’équation proposée, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots \right)y^{m}&-\left(b+2cn+3dn^{2}+\ldots \right)h^{2}y^{m-1}z\\&+(c+3dn+\ldots )h^{2}y^{m-2}z^{2}-\ldots =h,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7497ba75ba19185968531911e233d2ffdd5c5672)
où l’on voit que tous les termes sont divisibles d’eux-mêmes par
excepté le premier
![{\displaystyle \left(a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots \right)y^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e159ef4a87b328ac3d0b9d9fdb260ffe7ece2ce)
Il faudra donc, pour que l’équation puisse subsister en nombres entiers, que cette quantité soit aussi divisible par
Mais nous supposons que
et
sont premiers entre eux ; donc il faudra que la quantité
![{\displaystyle a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd3b36de043c4819f0dca302ebcdb3fd46bef75)
soit elle-même divisible par
![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Ainsi il n’y aura qu’à chercher, par la méthode du numéro précédent, toutes les valeurs de
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
qui pourront satisfaire à cette condition ; faisant ensuite, pour chacune de ces valeurs,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a+bn\ \,+\ \ cn^{2}+dn^{3}+\ldots =h\mathrm {A} ,\\&b+2cn+3dn^{2}+\ldots =\mathrm {B} ,\\&c+3dn+\ldots =\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfb62c0b174087792aeb9f9a11450c9acb847b0)
l’équation précédente deviendra, après ces substitutions et la division de tous les termes par ![{\displaystyle h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c92993ef69282ac39ddc98b7150dabfae40c14)
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{m}-\mathrm {B} y^{m-1}z+h\mathrm {C} y^{m-2}z^{2}-\ldots =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e27bd2515ac66d6fc8be29acba2410bb297bdce)
cette équation, étant ainsi réduite à la forme de celle du no 30, est susceptible des méthodes que nous avons données dans le § II, et par lesquelles on pourra trouver toutes les valeurs satisfaisantes de
et
Ces valeurs, ainsi que celles de
étant connues, on aura, en général,
![{\displaystyle x=ny-hz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c891e99a2310815ccb43fd04ed81eb4a343ca277)
Nous avons supposé, dans la solution précédente, que
et
doivent être premiers entre eux, ainsi que
et
entre eux ; ces suppositions sont permises, puisque les nombres
et
sont indéterminés ; mais, comme elles ne paraissent point absolument nécessaires, il faut encore examiner dans quels cas elles peuvent cesser d’avoir lieu.
Supposons donc : 1o que
et
puissent avoir une commune mesure
il n’y aura qu’à mettre partout, dans l’équation proposée,
à la place de
et
et regarder ensuite
et
comme premiers entre eux. Or, par cette substitution, il est clair que tous les termes du premier membre de l’équation se trouveront multipliés par
par conséquent, il faudra que le second membre
soit divisible par
d’où il suit qu’on ne peut prendre pour
que les diviseurs du nombre
qui s’y trouveront élevés à la puissance
Ainsi, si le nombre
ne contient aucun facteur élevé à la puissance
on sera assuré que les nombres
et
devront nécessairement être premiers entre eux.
Si le nombre
contient un ou plusieurs facteurs élevés à la puissance
alors il faudra prendre successivement pour
chaque facteur ou combinaison de facteurs, dont la puissance
divisera le nombre
et l’on aura autant de solutions différentes en regardant dans chacune
et
comme premiers entre eux.
Supposons : 2o que
et
aient une commune mesure
on mettra
et
à la place de
et
et l’on regardera ensuite
et
comme premiers entre eux. Par ces substitutions, tous les termes du premier membre qui contiennent
se trouveront multipliés par une puissance de
il n’y aura que le dernier terme, que je représenterai par
qui, ne contenant point
ne se trouvera point multiplié par
Mais, puisque le second membre
devient
il s’ensuit que le terme
devra aussi être divisible par
or,
et
étant déjà supposés premiers entre eux,
ne saurait être divisible par
donc il faudra que le coefficient
le soit. D’où je conclus qu’on pourra prendre pour successivement tous les diviseurs de
et, après la substitution de
et
au lieu de
et de
et la division de toute l’équation par
on aura de nouveau le cas où l’indéterminée
sera nécessairement première au nombre
qui formera le second membre.
§ V. —
Méthode directe et générale pour trouver les valeurs de
qui peuvent rendre rationnelles les quantités de la forme
et pour résoudre en nombres rationnels les équations indéterminées du second degré à deux inconnues, lorsqu’elles admettent des solutions de cette espèce.
(Addition pour le Chapitre IV.)
49. Je suppose d’abord que les nombres connus
soient entiers ; s’ils étaient fractionnaires, il n’y aurait qu’à les réduire à un même dénominateur carré, et alors il est clair qu’on pourrait toujours faire abstraction de leur dénominateur ; quant au nombre
on supposera ici qu’il puisse être entier ou fractionnaire, et l’on verra par la suite comment il faudra résoudre la question, lorsqu’on ne veut admettre que des nombres entiers.
Soit donc
![{\displaystyle {\sqrt {a+bx+cx^{2}}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf80c5d6baaefe2ea09995d092a2d9aff4795c)
et l’on aura
![{\displaystyle 2cx+b={\sqrt {4cy^{2}+b^{2}-4ac}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5912659526c7578a6fa8c84fd533e500700a633d)
de sorte que la difficulté sera réduite à rendre rationnelle la quantité
![{\displaystyle {\sqrt {4cy^{2}+b^{2}-4ac}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8cae7e3f25bbe91188786c90fa95a8d9c40d7b)
50. Supposons donc, en général, qu’on ait à rendre rationnelle la quantité
c’est-à-dire à rendre
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ff0456aa435927f5311e3784a253d09e3d4afa)
égal à un carré,
et
étant des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et
un nombre indéterminé, qui doit être rationnel.
Il est d’abord clair que, si l’un des nombres
ou
était
ou égal à un carré quelconque, le Problème serait résoluble par les méthodes connues de Diophante, qui sont détaillées dans le Chapitre IV ; ainsi nous ferons ici abstraction de ces cas, ou plutôt nous tâcherons d’y ramener tous les autres.
De plus, si les nombres
et
étaient divisibles par des nombres carrés quelconques, on pourrait aussi faire abstraction de ces diviseurs, c’est-à-dire les supprimer, en ne prenant pour
et
que les quotients qu’on aurait après avoir divisé les valeurs données par les plus grands carrés possibles ; en effet, supposant
et
on aura à rendre carré le nombre
donc, divisant par
et faisant
il s’agira de déterminer l’inconnue
en sorte que
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}y_{1}^{2}+\mathrm {B} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffb7bb208b2e82972b34105f7ca6e497a61561a)
soit un carré.
D’où il s’ensuit que, dès qu’on aura trouvé une valeur de
propre à rendre
égal à un carré, en rejetant dans les valeurs données de
et de
les facteurs carrés
et
qu’elles pourraient renfermer, il n’y aura qu’à multiplier la valeur trouvée de
par
pour avoir celle qui convient à la quantité proposée.
51. Considérons donc la formule
dans laquelle
et
soient des nombres entiers donnés qui ne soient divisibles par aucun carré ; et, comme on suppose que
puisse être une fraction, faisons
et
étant des nombres entiers et premiers entre eux, pour que la fraction soit réduite à ses moindres termes ; on aura donc la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} p^{2}}{q^{2}}}+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98a5f11bc4de28a8ec5db99ff268743d97ec4d7)
qui devra être un carré ; donc
devra en être un aussi ; de sorte qu’on aura à résoudre l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}=z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bd95b925745f20d771e3b5dc5b8da3e04bde12)
en supposant
et
des nombres entiers.
Je vais prouver d’abord que
doit être premier à
et que
doit l’être à
car, si
et
avaient un commun diviseur, il est clair que le terme
serait divisible par le carré de ce diviseur, et que le terme
ne serait divisible que par la première puissance du même diviseur, à cause que
et
sont premiers entre eux, et que
est supposé ne contenir aucun facteur carré ; donc le nombre
ne serait divisible qu’une seule fois par le diviseur commun de
et de
par conséquent il serait impossible que ce nombre fût un carré. On prouvera de même que
et
ne sauraient avoir aucun diviseur commun.
Résolution de l’équation
en nombres entiers.
52. Supposons
on écrira cette équation ainsi
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b979c3b76ff7635765555ceb3c81c4de4833aa3b)
et l’on remarquera que, comme les nombres
![{\displaystyle p,q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953a97b9fe7d257c9666fb3cf6bf75380295e2cf)
et
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
doivent être entiers, il faudra que
![{\displaystyle z^{2}-\mathrm {B} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97471418509498e5eab94565499e832efea303ea)
soit divisible par
Donc, puisque
et
sont premiers entre eux (numéro précédent), on fera, suivant la méthode du § IV, no 48 ci-dessus,
![{\displaystyle z=nq-\mathrm {A} q_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13d83e1d1c0d5bb1708c2d45dc5c0cbf8a06d61)
et
étant deux nombres entiers indéterminés ; ce qui changera la formule
en celle-ci
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edce89cb55352a38294a194f5e030bae4aa8fed)
dans laquelle il faudra que
soit divisible par
en prenant pour
un nombre entier non ![{\displaystyle >{\frac {\mathrm {A} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a99508603b96cd15f825ad1526eeb4cb786cc58)
On essayera donc pour
tous les nombres entiers qui ne surpassent pas
et, si l’on n’en trouve aucun qui rende
divisible par
on en conclura sur-le-champ que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fbea41b9c3460632270054d5bae8a4e64e2d2d)
n’est pas résoluble en nombres entiers, et qu’ainsi la quantité
ne saurait jamais devenir un carré.
Mais, si l’on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de
on les mettra l’une après l’autre à la place de
et l’on poursuivra le calcul comme on va le voir.
Je remarquerai seulement encore qu’il serait inutile de donner aussi à
des valeurs plus grandes que
car, nommant
les valeurs de
moindres que
qui rendront
divisible par
toutes les autres valeurs de
qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules (no 47 du § IV)
![{\displaystyle n_{1}\pm \mu _{1}\mathrm {A} ,\quad n_{2}\pm \mu _{2}\mathrm {A} ,\quad n_{3}\pm \mu _{3}\mathrm {A} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2a1dd5b2cd7a83703e440c8c92d2b0bf673f3f)
or, substituant ces valeurs à la place de
dans la formule
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad (nq-\mathrm {A} q_{1})^{2}-\mathrm {B} q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac816125db405ef45ddc55b9a543a095932030a)
il est clair qu’on aura les mêmes résultats que si l’on mettait seulement
![{\displaystyle n_{1},n_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b318b20caf67dca97c2d6331f45205504123df)
![{\displaystyle n_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56ab89d354cad1606954656bbbd8d24222a22e8)
à la place de
![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
et qu’on ajoutât à
![{\displaystyle q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daa41f6e8f78ea6bb5711d7ac97901ce564b94e)
les quantités
![{\displaystyle \mp \mu _{1}q,\mp \mu _{2}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefdfc5de6653ad3e18df4adca2c9e5263742296)
![{\displaystyle \mp \mu _{3}q,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981e038999d7ae787534a88e22b18503fbbd9174)
de sorte que, comme
![{\displaystyle q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a)
est un nombre indéterminé, ces substitutions ne donneraient pas des formules différentes de celles qu’on aura par la simple substitution des valeurs
53. Puis donc que
doit être divisible par
soit
le quotient de cette division, en sorte que
et l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2}=\left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb80a4001661f0fa24383ecc402426a140330b04)
étant divisée par
deviendra celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{1}q^{2}-2nqq_{1}+\mathrm {A} q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175da64c12d9cb81e917561ade7949d76cdee2b1)
où
sera nécessairement moindre que
à cause que
et que
et
non ![{\displaystyle >{\frac {\mathrm {A} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a99508603b96cd15f825ad1526eeb4cb786cc58)
Or, 1o si
est un nombre carré, il est clair que cette équation sera résoluble par les méthodes connues, et l’on en aura la solution la plus simple qu’il est possible, en faisant
et
2o Si
n’est pas égal à un carré, on verra si ce nombre est moindre que
ou au moins s’il est divisible par un nombre quelconque carré, en sorte que le quotient soit moindre que
abstraction faite des signes ; alors on multipliera toute l’équation par
et l’on aura, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}p^{2}=(\mathrm {A} _{1}q-nq_{1})-\mathrm {B} q_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e8e60079909a5b323d615d7fcdf116b0330afe)
soit un carré ; donc, divisant par
et faisant
et
on aura à rendre carrée la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4188cab535a320e63b373ca3219f0049b7223bc)
laquelle est, comme l’on voit, analogue à celle du no 50. Ainsi, si
contient un facteur carré
on pourra le supprimer, en ayant attention de
multiplier ensuite par
![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
là valeur qu’on trouvera pour
![{\displaystyle y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8269b96bd2c28b5f5ddb541d4e5514f53e26159)
pour avoir sa véritable valeur ; et l’on aura une formule qui sera dans le cas de celle du
no 51, mais avec cette différence que les coefficients
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
et
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
de celle-ci seront moindres que les coefficients
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
de celle-là.
54. Mais, si
n’est pas moindre que
ni ne peut le devenir en le divisant parle plus grand carré qui le mesure, alors on fera
et substituant cette valeur dans l’équation, elle deviendra
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{1}q_{2}^{2}-2n_{1}q_{2}q_{1}+\mathrm {A} _{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be3a497e2de06ce97a7b4a9f16b626b4a0dfaea)
où
![{\displaystyle n_{1}=n-\nu \mathrm {A} _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} _{1}\nu ^{2}-2n\nu +\mathrm {A} ={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8abd678ef02080f14146898f5ecde7b32e12b4)
On déterminera, ce qui est toujours possible, le nombre entier
en sorte que
ne soit pas
abstraction faite des signes, et alors il est clair que
deviendra
à cause de
et de
ou
et
ou
On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et, si
est carré, on aura la résolution de l’équation ; si
n’est pas carré, mais qu’il soit
ou qu’il le devienne étant divisé par un carré, on multipliera l’équation par
et l’on aura, en faisant
et
la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4188cab535a320e63b373ca3219f0049b7223bc)
qui devra être un carré, et dans laquelle les coefficients
et
(après avoir supprimé dans
les diviseurs carrés, s’il y en a) seront moindres que ceux de la formule
du no 51.
Mais, si ces cas n’ont pas lieu, on fera comme ci-dessus
et l’équation se changera en celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{3}q_{2}^{2}-2n_{2}q_{2}q_{3}+\mathrm {A} _{2}q_{3}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fbe723b4847d47ebd7bd87909538f71a4f5b66)
où
![{\displaystyle n_{2}=n_{1}-\nu _{1}\mathrm {A} _{2},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{3}=\mathrm {A} _{2}\nu _{1}^{2}-2n_{1}\nu _{1}+\mathrm {A} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec47efd1abad98bf517b010503079bba7cc61e4)
On prendra donc pour
un nombre entier, tel que
ne soit pas
abstraction faite des signes ; et, comme
n’est pas
(hyp.), il s’ensuit de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} _{3}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bc16d0d2bf8d353d74b50112d9141684f9c2df)
que
sera
ainsi l’on pourra faire derechef les mêmes raisonnements que ci-dessus, et l’on en tirera des conclusions semblables, et ainsi de suite.
Maintenant, comme les nombres
forment une suite décroissante de nombres entiers, il est visible qu’en continuant cette suite on parviendra nécessairement à un terme moindre que le nombre donné
et alors, nommant ce terme
on aura, comme nous l’avons vu ci-dessus, la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba33123023ba9346de96efd93999088ca5378028)
à rendre égale à un carré ; de sorte que, par les opérations que nous venons d’exposer, on sera toujours assuré de pouvoir ramener la formule
à une autre plus simple, telle que
au moins si le Problème est résoluble.
55. De même qu’on a réduit la formule
à celle-ci
on pourra réduire cette dernière à cette autre-ci
![{\displaystyle \mathrm {C} y_{2}^{2}+\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4cd8393c8e790e5107a276fe0adb47b1ab3a06)
où
sera moindre que
ainsi de suite ; et, comme les nombres ![{\displaystyle \mathrm {A,B,C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cff493e749c5a2d0ae945c6bd4d862b374b9350)
forment une série décroissante de nombres entiers, il est clair que cette série ne pourra pas aller à l’infini, et qu’ainsi l’opération sera toujours nécessairement terminée. Si la question n’admet point de solution en nombres rationnels, on parviendra à une condition impossible ; mais, si la question est résoluble, on arrivera toujours à une équation semblable à celle du no 53, et où l’un des coefficients, comme
sera carré, en sorte qu’elle sera susceptible des méthodes connues ; cette
équation étant résolue, on pourra, en rétrogradant, résoudre successivement toutes les équations précédentes, jusqu’à la première
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}=z^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb3d87076ce94a204c9531b5bf0e62906227594)
Éclaircissons cette méthode par quelques Exemples.
Exemple I.
56. Soit proposé de trouver une valeur rationnelle de
telle que la formule
![{\displaystyle 7+15x+13x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1901a33186897770f1f951ab95c069bd17cbc1)
devienne un carré. (Voyez Chapitre IV, no 57 du Traité précédent.)
On aura donc ici
donc
![{\displaystyle 4c=4.13,\quad {\text{et}}\quad b^{2}-4ac=-139,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3377f76c8792051e4fe117325b8206b8aef077)
de sorte que, en nommant
la racine du carré dont il s’agit, on aura la formule
![{\displaystyle 4.13y^{2}-139}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a414f21788c60b7df9410fb3791d44f981882388)
qui devra être un carré ; ainsi l’on aura
et
où l’on remarquera d’abord que
est divisible par le carré
de sorte qu’il faudra rejeter ce diviseur carré et supposer simplement
mais on se souviendra ensuite de diviser par
la valeur qu’on trouvera pour
(no 50).
On aura donc, en faisant
l’équation
![{\displaystyle 13p^{2}-139q^{2}=z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf33e74f3521f3e7345ab667a4fc0abb6c82d9c7)
ou bien, à cause que
est
on fera
pour avoir
![{\displaystyle -139p^{2}+13q^{2}=z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e361edfb74352c1d3db09291aa19f839d6b8f050)
équation qu’on écrira ainsi
![{\displaystyle -139p^{2}=z^{2}-13q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e8d05da6d3c9c46caa6b8a0e5f1c3b22e2c0e3)
On fera (no 52)
et il faudra prendre pour
un nombre entier non
c’est-à-dire
tel que
soit divisible par
je trouve
ce qui donne
de sorte que, en faisant la substitution et divisant ensuite par
on aura l’équation
![{\displaystyle p^{2}=-12q^{2}+2.41qq_{1}-139q_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd8a93d7a0f3a449dd8b46e651e77412510ea2a)
Or, comme
n’est pas un carré, cette équation n’a pas encore les conditions requises ; ainsi, puisque
est déjà moindre que
on multipliera toute l’équation par
et elle deviendra
![{\displaystyle -12p^{2}=\left(-12q+41q_{1}\right)^{2}-13q_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6ae1cbb8f8dc46ceead1261dc24a72299ce08e)
de sorte qu’il faudra que
soit un carré, ou bien, en faisant
que
![{\displaystyle 13y_{1}^{2}-12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dba54c7569fd7ca1aee07414321a1d34b92a76)
en soit un aussi.
On voit ici qu’il n’y aurait qu’à faire
mais, comme ce n’est que le hasard qui nous donne cette valeur, nous allons poursuivre le calcul selon notre méthode, jusqu’à ce que l’on arrive à une formule qui soit susceptible des méthodes ordinaires. Comme
est divisible par
je rejette ce diviseur carré, en me souvenant que je dois ensuite multiplier la valeur de
par
j’aurai donc à rendre carrée la formule
ou bien, en faisant
on suppose que
et
sont des nombres entiers premiers entre eux, en sorte que la fraction
soit déjà réduite à ses moindres termes, comme la fraction
celle-ci
![{\displaystyle 13r^{2}-3s^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a28908c4a6467e3ebe84c100494e3156192ce8)
soit la racine
j’aurai
![{\displaystyle 13r^{2}=z_{1}^{2}+3s^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b1dc815ba0ced5e6cfd8eb6d894dbba2d736d4)
et je ferai
étant un nombre-entier non
c’est-à-dire
et tel que
soit divisible par
or je trouve ![{\displaystyle m=6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a59a4accd702a7a6d85cf1254c5d1ac48aba053)
ce qui donne
![{\displaystyle m^{2}+3=39=13.3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44177ca57ee8a3bc9d78a12cde6a21b3e0b718e)
donc, substituant la valeur de
![{\displaystyle z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3621e468231ab352b7caa30bcf0ce9b452241a6)
et divisant toute l’équation par
![{\displaystyle 13,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eec95299911f39f2e54999eb8ef3b45373ed69f)
on aura
![{\displaystyle r^{2}=3s^{2}-2.6ss_{1}+13s_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7f7041476c751f64496b07418e64f194a7e720)
Comme le coefficient
de
n’est ni carré, ni moindre que celui de
dans l’équation précédente, on fera (no 54)
et, substituant, on aura la transformée
![{\displaystyle r^{2}=3s_{2}^{2}-2(6-3\mu )s_{2}s_{1}+\left(3\mu ^{2}-2.6\mu +13\right)s_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d708c9585fef4e186006ad0031454b555eebbc)
on déterminera
en sorte que
ne soit pas
et il est clair qu’il faudra faire
ce qui donne
et l’équation deviendra
![{\displaystyle r^{2}=3s_{2}^{2}+s_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2b7e38bb2fd089f5ea069b8c5fdf2ce2dc9ac9)
laquelle est, comme l’on voit, réduite à l’état demandé, puisque le coefficient du carré de l’une des deux indéterminées du second membre est aussi carré.
On fera donc, pour avoir la solution la plus simple qu’il est possible,
et
donc
et de là
mais nous avons vu qu’il faut multiplier la valeur de
par
ainsi l’on aura
donc, en rétrogradant toujours, on aura
donc
donc l’équation
![{\displaystyle -12p^{2}=\left(-12q+41q_{1}\right)^{2}-13q_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca850a600623369b8ef83c8ebc776c3baf4c1c08)
donnera
![{\displaystyle \left(-12q+41q_{1}\right)^{2}=p^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ade8ead9d51b4fd31e59a52dc160aea59daab7)
donc
![{\displaystyle -12q+41q_{1}=p,\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad 12q=40p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0912be075125a8b2eca9cc229f301391c8dca514)
donc
![{\displaystyle y={\frac {q}{p}}={\frac {40}{12}}={\frac {10}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e504260fa5a5d1fab87b86ec6d24438c9b4216)
mais, comme il faut diviser la valeur de
par
on aura
ce sera le côté de la racine de la formulé proposée
ainsi, fai-
sant cette quantité
![{\displaystyle ={\frac {25}{9}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96587866f8463aab7edadfbb4298e4fed9b94635)
on trouvera, par la résolution de l’équation,
![{\displaystyle 26x+15=\pm {\frac {7}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8baadec5b73906b7a67663f576306b444e43c5e1)
d’où
![{\displaystyle x=-{\frac {19}{39}}\quad {\text{ou}}\quad =-{\frac {2}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485af8992e76b52f76a0feadffa604eaed58a4b8)
On aurait pu prendre aussi
![{\displaystyle -12q+41p=-p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b9479257faede3d8baf6eefb4b10410514c5d)
et l’on aurait eu
et divisant par
faisant donc
![{\displaystyle 7+15x+13x^{2}=\left({\frac {21}{12}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae27e7ca896ebdf811ad7700a45c1d7c4140e23)
on trouvera
![{\displaystyle 26x+15=\pm {\frac {9}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5cd272697dfe315d408bdcd167dbed3eeed29f)
donc
![{\displaystyle x=-{\frac {21}{52}}\quad {\text{ou}}\quad =-{\frac {3}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930c9937b14a859b7d5b97302686316ee5fffbb2)
Si l’on voulait avoir d’autres valeurs de
il n’y aurait qu’à chercher d’autres solutions de l’équation
![{\displaystyle r^{2}=3s_{2}^{2}+s_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2b7e38bb2fd089f5ea069b8c5fdf2ce2dc9ac9)
laquelle est résoluble, en général, par les méthodes connues ; mais on peut aussi, dès qu’on connaît une seule valeur de
en déduire immédiatement toutes les autres valeurs satisfaisantes de
par la méthode expliquée dans le Chapitre IV du Traité précédent.
Remarque.
57. Supposons, en général, que la quantité
devienne égale à un carré
lorsque
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle a+bf+cf^{2}=g^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a454c301d26095630e4cf8f1cffc375e0399ec)
donc
![{\displaystyle a=g^{2}-bf-cf^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b3f510d9c21b5520fb9c639dafdc3731b0fbcb)
de sorte que ; en substituant cette valeur dans la formule proposée, elle deviendra
![{\displaystyle g^{2}+b(x-f)+c\left(x^{2}-f^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2386230f8d4ea782986288db6694384b88c75c6)
Qu’on prenne
pour la racine de cette quantité,
étant un nombre indéterminé, et l’on aura l’équation
![{\displaystyle g^{2}+b(x-f)+c(x^{2}-f^{2})=g^{2}+2mg(x-f)+m^{2}(x-f)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3407374701286b144cc2a1569a8325279a9e8f46)
c’est-à-dire, en effaçant
de part et d’autre, et divisant ensuite par ![{\displaystyle x-f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ac9db86e0590bcb87828b77ebdaccfccf996c4)
![{\displaystyle b+c(x+f)=2mg+m^{2}(x-f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891c2c32d381030f4b246e81ea2d8b8a889a2163)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x={\frac {fm^{2}-2gm+b+cf}{m^{2}-c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefa0cfb6c02e8e8b15e1e9f972e7057c8d23b2c)
Et il est clair qu’à cause du nombre indéterminé
cette expression de
doit renfermer toutes les valeurs qu’on peut donner à
pour que la formule proposée devienne un carré ; car, quel que soit le nombre carré auquel cette formule peut être égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par
en donnant à
une valeur convenable. Ainsi, quand on aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de
il n’y aura qu’à la prendre pour
et la racine du carré qui en résultera pour
on aura par la formule précédente toutes les autres valeurs possibles de
.
Dans l’Exemple précédent on a trouvé
et
ainsi l’on fera
et
et l’on aura
![{\displaystyle x={\frac {19-10m-2m^{2}}{3(m^{2}-13)}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a5b3e7fd5b32ae8c8726037f2a39fdda76326)
c’est l’expression générale des valeurs rationnelles de
qui peuvent rendre carrée la quantité ![{\displaystyle 7+15x+13x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce12d1be3a9dc9c2d29c680cf253c0e2609c978)
Exemple II.
58. Soit encore proposé de trouver une valeur rationnelle de
telle que
soit un carré.
Comme
et
ne sont divisibles par aucun nombre carré, il n’y aura aucune réduction à y faire. Ainsi, en faisant
il faudra que la formule
devienne un carré
de sorte qu’on aura l’équation
![{\displaystyle 23p^{2}=z^{2}+5q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a93daedd7759af2172c729df862ba49a36b5231)
On fera donc
et il faudra prendre pour
un nombre entier non
tel que
soit divisible par
Je trouve
ce qui donne
et cette valeur de
est la seule qui ait les conditions requises. Substituant donc
à la place de
et divisant toute l’équation par
j’aurai celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=3q^{2}-2.8qq_{1}+23q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8324f027ded010320558354a76d8bcaf4ded02f)
dans laquelle on voit que le coefficient
est déjà moindre que la valeur de
qui est
abstraction faite du signe.
Ainsi l’on multipliera toute l’équation par
et l’on aura
![{\displaystyle 3p^{2}=\left(3q-8q_{1}\right)^{2}+5q_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3df8d5ee65cea659aac66f8f4b9f71de82fb53)
de sorte qu’en faisant
il faudra que la formule
![{\displaystyle -5y_{1}^{2}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a8f302d8021bfd209a04003fd2beae72338df3)
soit un carré, où les coefficients
et
n’admettent aucune réduction.
Soit donc
(
et
sont supposés premiers entre eux, au lieu que
et
peuvent ne pas l’être), et l’on aura à rendre carrée la quantité
de sorte qu’en nommant la racine
on aura
![{\displaystyle -5r^{2}+3s^{2}=z_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5912cab9babcfce17f4d43027dd955057d79c740)
et de là
![{\displaystyle -5r^{2}=z_{1}^{2}-3s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5295999c4257ce532565fe323ed3fadff27a5b89)
On prendra donc
et il faudra que
soit un nombre entier non
et tel que
soit divisible par
or c’est ce qui est impossible, car on ne pourrait prendre que
ou
ce qui donne
ou
Ainsi l’on en doit conclure que le Problème n’est pas résoluble, c’est-à-dire qu’il est impossible que la formule
puisse jamais devenir égale à un nombre carré, quelque nombre que l’on substitue à la place de
.
Corollaire.
59. Si l’on avait une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que
![{\displaystyle a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c688681e3179e7aa9609535d59d6ed954b94f5)
et que l’on proposât de trouver des valeurs rationnelles de
et
qui satisfissent à cette équation, on y pourrait parvenir, lorsque cela est possible, par la méthode que nous venons d’exposer.
En effet, si l’on tire la valeur de
en
on aura
![{\displaystyle 2fy+ex+c={\sqrt {(c+ex)^{2}-4f\left(a+bx+dx^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8180dd8aa15fcf1e60eb76c811a8a18d21f8182)
ou bien, en faisant ![{\displaystyle \alpha =c^{2}-4af^{2},\ \beta =2ce-4bf,\ \gamma =e^{2}-4df,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27987f9edc48903405e4d31c9dfbba024a2d54ec)
![{\displaystyle 2fy+ex+c={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b00207a011987cc4be607b6fec52e9fb8ee6a1d)
de sorte que la question sera réduite à trouver des valeurs de
qui rendent rationnel le radical ![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acad65447f0a924d7bd4499571ebc08a2cb3b57)
Remarque.
60. Nous avons déjà traité ce même sujet, mais d’une manière un peu différente, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin pour l’année 1767[11], et nous croyons être les premiers qui aient donné une méthode directe et exempte de tâtonnements pour la solution des Problèmes indéterminés du second degré. Le lecteur qui sera curieux d’approfondir cette matière pourra consulter les Mémoires cités, où il trouvera surtout des remarques nouvelles et importantes sur la recherche des nombres entiers qui, étant pris pour
peuvent rendre
divisible par
et
étant des nombres donnés.
On trouvera aussi, dans les Mémoires pour les années 1770 et suivantes, des recherches sur la forme des diviseurs des nombres représentés par
de sorte que, par la forme même du nombre
on pourra juger souvent de l’impossibilité de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2},\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108cee7d3e6a8a23e9ba619506dba047521d59bd)
à un carré
[12] (
no 52).
Legendre s’est occupé depuis, dans le Mémoire cité plus haut (no 47), à chercher les conditions générales de la possibilité ou de l’impossibilité des équations indéterminées du second degré, et il est parvenu à ce Théorème remarquable, que
L’équation
dans laquelle
sont positifs, premiers entre eux et dégagés de tout facteur carré, est résoluble, si l’on peut trouver trois entiers
tels que les trois quantités
soient des entiers.
§ VI. — Sur les doubles et triples égalités.
61. Nous traiterons ici en peu de mots des doubles et triples égalités, qui sont d’un usage très-fréquent dans l’Analyse de Diophante, et pour la solution desquelles ce grand géomètre et ses commentateurs ont cru devoir donner des règles particulière.
Lorsqu’on a une formule contenant une ou plusieurs inconnues à égaler à une puissance parfaite, comme à un carré ou à un cube, etc., cela s’appelle, dans l’Analyse de Diophante, une égalité simple ; et lorsqu’on a deux formules contenant la même ou les mêmes inconnues à égaler chacune à des puissances parfaites, cela s’appelle une égalités double ; et ainsi de suite.
Jusqu’ici on a vu comment il faut résoudre les égalités simples où l’inconnue ne passe pas le second degré, et où la puissance proposée est la seconde, c’est-à-dire le carré.
Voyons donc comment on doit traiter les égalités doubles et triples de la même espèce.
62. Soit d’abord proposée cette égalité doublée
![{\displaystyle a+bx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9470f52121c8bd4cc669ec04cf17abcf5039d2bd)
à un carré,
![{\displaystyle \quad c+dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2d4e2151f424e22fd9edc1d99c39e00fffe574)
à un carré,
où l’inconnue
ne se trouve qu’au premier degré.
Faisant
![{\displaystyle a+bx=t^{2},\quad c+dx=u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fed8e4d3d1ddf173f71170037caec1c3be15a46)
et chassant
de ces deux équations, on aura
![{\displaystyle ad-bc=dt^{2}-bu^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87519698d4efead74d39b95922a193d2f03dce7)
donc
![{\displaystyle dt^{2}=bu^{2}+ad-bc,\quad {\text{et}}\quad (dt)^{2}=dbu^{2}+(ad-bc)d\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56985e207159ebae1744bf1cea07f61cbfab65bf)
de sorte que la difficulté sera réduite à trouver une valeur rationnelle de
telle que
devienne un carré. On résoudra cette égalité simple par la méthode exposée ci-dessus, et, connaissant ainsi
on aura
![{\displaystyle x={\frac {u^{2}-c}{d}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2002fa1646ffed5430c5baa11cbc857c515b1499)
Si l’égalité doublée était
![{\displaystyle ax+bx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9d1d28d5e135f4f074bae1226f49e5cb91653d)
à un carré,
![{\displaystyle \quad cx^{2}+dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707ddbd9e72ca5a3489f4da1150144b70bbb0d28)
à un carré,
il n’y aurait qu’à faire
![{\displaystyle x={\frac {1}{x_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4235f351aedb28bf9c0375c2a0939227139be8)
et multiplier ensuite l’une et l’autre formule par le carré
![{\displaystyle x_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83524615eb1a0fe0990ef87aed56a905ec310649)
on aurait ces deux autres égalités
![{\displaystyle a+bx_{1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56e25cacb260f3eab0c1c76f02d2d7b5159611a)
à un carré,
![{\displaystyle \quad c+dx_{1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336e1a19939c59c15f21a30746913a7f4303be42)
à un carré,
qui sont semblables aux précédentes.
Ainsi l’on peut résoudre, en général, toutes les égalités doubles où l’inconnue ne passe pas le premier degré, et celles où l’inconnue se trouve dans tousles termes, pourvu qu’elle ne passe pas le second degré ; mais il n’en est pas de même lorsque l’on a des égalités de cette forme
![{\displaystyle a+bx+cx^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6674013d32928c92130573a920aafc3c872a90f3)
à un carré,
![{\displaystyle \quad \alpha +\beta x+\gamma x^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb12dca101a5775b22a9001db706a8d4afaf316)
à un carré.
Si l’on résout la première de ces égalités par notre méthode, et qu’on nomme
la valeur de
qui rend
au carré
on aura en général ( no 57)
![{\displaystyle x={\frac {fm^{2}-2gm+b+cf}{m^{2}-c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b8ac5fe2b35737a2a6f6a36576b66dfed12477)
donc, substituant cette expression de
dans l’autre formule
et la multipliant ensuite par
on aura à résoudre l’égalité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \left(m^{2}-c\right)^{2}+\beta \left(m^{2}-c\right)&\left(fm^{2}-2gm+b+cf\right)\\+\gamma &\,(fm^{2}-2gm+b+cf)^{2}=\mathrm {{\grave {a}}\ un\ carr{\acute {e}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7b9dfc9b9ac9f97781d3aed10b3b7b99ac9e12)
dans laquelle l’inconnue
monte au quatrième degré.
Or on n’a jusqu’à présent aucune règle générale pour résoudre ces sortes d’égalités, et tout ce qu’on peut faire, c’est de trouver successivement différentes solutions, lorsqu’on en connaît une seule (voyez le Chapitre IX).
63. Si l’on avait la triple égalité
![{\displaystyle ax+by=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb4a210271eba16c0198da197206e016654bb62)
à un carré,
![{\displaystyle \quad cx+dy=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9686674f8cfd65e0059328d1c83689d31987ecb)
à un carré,
![{\displaystyle \quad hx+ky=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd401c8b3be8630c9f8894d9068d18dae731ee7)
à un carré,
on ferait
![{\displaystyle ax+by=t^{2},\quad cx+dy=u^{2},\quad hx+ky=s^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f19485ea1d86638764e7c97c6b950223c8ef5a9)
et, chassant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
de ces trois équations, on aurait celle-ci
![{\displaystyle (ak-bh)u^{2}-(ck-dh)t^{2}=(ad-cb)s^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5773c555bff669e09dfd9986e12344fa69d6f7)
de sorte qu’en fraisant
la difficulté se réduirait à résoudre l’égalité simple
![{\displaystyle {\frac {ak-bh}{ad-cb}}z^{2}-{\frac {ck-dh}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6cbd1c42233aa26a4411a5a6d11c93fcb8a0c9)
à un carré,
laquelle est, comme l’on voit, dans le cas de notre méthode générale.
Ayant trouvé la valeur de
on aura
et les deux premières équations donneront
![{\displaystyle x={\frac {d-bz^{2}}{ad-cb}}t^{2},\quad y={\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888db55fd5accbd5b184f22bdf782721e73a07ca)
Mais, si la triple égalité proposée ne contenait qu’une seule variable, on retomberait alors dans une égalité où l’inconnue monterait au quatrième degré.
En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant
de sorte qu’il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53644f1e22788b56c7628b411fb57a94ec96117)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eed93c00c4156549211b7c3a7548301d2c7842)
à un carré.
Or, nommant
une des valeurs de
qui peuvent satisfaire à l’égalité ci-dessus, et faisant, pour abréger,
on aura en général (no 57)
![{\displaystyle z={\frac {fm^{2}-2gm+ef}{m^{2}-e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888abb6f0008d4bddd72c94a32ed63ca93f08704)
Donc, substituant cette valeur de
dans la dernière égalité et la multipliant toute par le carré de
on aura celle-ci
![{\displaystyle {\frac {a\left(fm^{2}-2gm+ef\right)^{2}-c\left(m^{2}-e\right)^{2}}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0640144af8a504560b9362125a543b8b196ce40)
à un carré,
où l’inconnue
monte, comme l’on voit, au quatrième degré.
(Addition pour le Chapitre VI).
64. Quoique par la méthode du § V on puisse trouver des formules générales qui renferment toutes les valeurs rationnelles de
, propres à rendre
égal à un carré, cependant ces formules ne sont d’aucun usage lorsqu’on demande pour
des valeurs exprimées en nombres entiers ; c’est pourquoi nous sommes obligé de donner ici une nouvelle méthode pour résoudre la question dans le cas des nombres entiers.
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105eafa4745557b6c4c86dc33c83dadc7a6daa9)
et, comme
et
sont supposés des nombres entiers, et que
doit être aussi un nombre entier, il est clair que
devra être pareillement entier ; de sorte qu’on aura à résoudre en entiers l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4b58930cd7b0a84f31d7919ce981335ee10ab0)
Je commence par remarquer ici que, si
n’est divisible par aucun nombre carré, il faudra nécessairement que
soit premier à
car supposons, s’il est possible, que
et
aient une commune mesure, en sorte que
et
donc on aura
![{\displaystyle x^{2}=\mathrm {A} \alpha ^{2}y_{1}^{2}+\alpha \mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a965150e859d77c3372bbb246311d0215983385)
d’où il s’ensuit qu’il faudra que
soit divisible par
et, comme
n’est ni carré, ni divisible par aucun carré (hyp.), à cause que
est facteur de
il faudra que
soit divisible par
faisant donc
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{2}x_{1}^{2}=\alpha ^{2}\mathrm {A} y^{2}+\alpha \mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dac88905086c16bf247c728f3b83af66c524b4)
ou bien, en divisant par ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \alpha x_{1}^{2}=\alpha \mathrm {A} y_{1}^{2}+\mathrm {B} _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3c8daeb45a15a5368ddebda7e5f27a3d0daa64)
d’où l’on voit que
devrait encore être divisible par
ce qui est contre l’hypothèse.
Ce n’est donc que lorsque
contient des facteurs carrés que
peut avoir une commune mesure avec
et il est facile de voir par la démonstration précédente que cette commune mesure de
et de
ne peut être que la racine d’un des facteurs carrés de
et que le nombre
devra avoir la même commune mesure ; en sorte que toute l’équation sera divisible par le carré de ce commun diviseur de
et
De là je conclus
1o Que, si
n’est divisible par aucun carré,
et
seront premiers entre eux ;
2o Que, si
est divisible par un seul carré
pourra être premier à
ou divisible par
ce qui fait deux cas qu’il faudra examiner séparément dans le premier cas, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
en supposant
et
premiers entre eux ; dans le second, on aura à résoudre l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f26d5ae1b4c92f6f2c3fea42a8a2a396a8e152)
étant
en supposant aussi
et
premiers entre eux ; mais il faudra ensuite multiplier par
les valeurs qu’on aura trouvées pour
et
pour avoir les valeurs convenables à l’équation proposée ;
3o Que, si
est divisible par deux différents carrés,
et
on aura trois cas à considérer dans le premier, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
en regardant
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
comme premiers entre eux ; dans le second, on résoudra de même l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f26d5ae1b4c92f6f2c3fea42a8a2a396a8e152)
étant
dans l’hypothèse de
et
premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de
et
par
dans le troisième, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f5cad3063339fc9e45389b052b2a6b3145aee6)
étant
dans l’hypothèse de
et
premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de
et de
par ![{\displaystyle \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01f1392a9d3d098e2cf66a41357ee5516c85160)
4o Etc.
Ainsi on aura autant d’équations différentes à résoudre qu’il y aura de différents diviseurs carrés de
mais ces équations seront toutes de la même forme
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
et
sera aussi toujours premier à ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
65. Considérons donc, en général, l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
où
est premier à
et, comme
et
doivent être des nombres entiers, il faudra que
soit divisible par ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
On fera donc, suivant la méthode du § IV (no 48),
et l’on aura l’équation
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {A} \right)y^{2}-2n\mathrm {B} yz+\mathrm {B} ^{2}z^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f4304f32ff2c2198e4aa7b4a2ee969bf18e428)
par laquelle on voit que le terme
doit être divisible par
puisque tous les autres le sont d’eux-mêmes ; donc, comme
est premier à
(hyp.), il faudra que
soit divisible par
de sorte qu’en faisant
on aura, après avoir divisé par ![{\displaystyle \mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78a2086ed80d312a2621662edfa44ef8d47317d)
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a361c5ea62fe0d82bcc8e459f2b4e8f00a91d)
Or cette équation est plus simple que la proposée, en ce que le second membre est égal à l’unité.
On cherchera donc les valeurs de
qui peuvent rendre
divisible par
pour cela il suffira (no 47) d’essayer pour
tous les nombres entiers positifs ou négatifs non
et, si parmi ceux-ci on n’en trouve aucun qui satisfasse, on en conclura d’abord qu’il est impossible que
puisse être divisible par
et qu’ainsi l’équation proposée n’est pas résoluble en nombres entiers.
Mais, si l’on trouve de cette manière un ou plusieurs nombres satisfaisants, on les prendra l’un après l’autre pour
ce qui donnera autant de différentes équations, qu’il faudra traiter séparément, et dont chacune pourra fournir une ou plusieurs solutions de la question proposée.
Quant aux valeurs de
qui surpasseraient celle de
en pourra faire abstraction, parce qu’elles ne donneraient point d’équations différentes de celles, qui résulteront des valeurs de
qui ne sont pas
comme nous l’avons déjà montré dans le no 52.
Au reste, comme la condition par laquelle on doit déterminer
est que
soit divisible par
il est clair que chaque valeur de
pourra être également positive ou négative ; de sorte qu’il suffira d’essayer successivement pour
tous les nombres naturels qui ne sont pas plus grands que
et de prendre ensuite les valeurs satisfaisantes de
tant en plus qu’en moins.
Nous avons donné ailleurs des règles pour faciliter la recherche des valeurs de
qui peuvent avoir la propriété requise, et même pour trouver ces valeurs a priori dans un grand nombre de cas. [Voir les Mémoires de Berlin pour l’année 1767, pages 194 et 274[13].]
Résolution de l’équation
en nombres entiers.
On peut résoudre cette équation par deux méthodes différentes, que nous allons expliquer.
Première méthode.
66. Comme les quantités
sont supposées des nombres entiers, de même que les indéterminées
et
il est visible que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
sera toujours nécessairement égale a des nombres entiers ; par conséquent l’unité sera la plus petite valeur qu’elle puisse recevoir, à moins qu’elle ne puisse devenir nulle, ce qui ne peut arriver que lorsque cette quantité peut se décomposer en deux facteurs rationnels. Comme ce cas n’a aucune difficulté, nous en ferons d’abord abstraction, et la question se réduira à trouver les valeurs de
et
qui rendront la quantité dont il s’agit le plus petite qu’il est possible ; si le minimum est égal à l’unité, on aura la résolution de l’équation proposée sinon, on sera assuré qu’elle n’admet aucune solution en nombres entiers. Ainsi le Problème présent rentre dans le Problème III du § II, et est susceptible d’une solution semblable. Or, comme l’on a ici (no 65)
![{\displaystyle (2n)^{2}-4\mathrm {BC=4A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158f2b8a2d1c2061d2361822b8789b6490ec6338)
il faudra distinguer deux cas, suivant que
sera positif ou négatif.
Premier cas, lorsque ![{\displaystyle n^{2}-\mathrm {BC=A} <0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d2fc018a668aa8b82e66852a1a202582e24f8f)
67. Suivant la méthode du no 32, il faudra réduire en fraction continue la fraction
prise positivement : c’est ce qu’on exécutera par la règle du no 4 ; ensuite on formera par les formules du no 10 la série des fractions convergentes vers
et il n’y aura plus qu’à essayer successivement les numérateurs de ces fractions pour le nombre
et les dénominateurs correspondants pour le nombre
Si la proposée est résoluble en nombres entiers, on trouvera de cette manière les valeurs satisfaisantes de
et
et réciproquement, on sera assuré que la proposée n’admet aucune solution en nombres entiers ; si, parmi les nombres qu’on aura essayés, il ne s’en trouve point de satisfaisants.
Second cas, lorsque ![{\displaystyle n^{2}-\mathrm {BC=A} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0e607edbb92e8039ad8a528bb2fbd47c6d7357)
68. On fera usage ici de la méthode des nos 33 et suivants ; ainsi, à cause de
on considérera d’abord la quantité (no 39)
![{\displaystyle a={\frac {n\pm {\sqrt {\mathrm {A} }}}{\mathrm {C} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b466d8071c4f69c87b7edc6b6eeabb5d3c66b6cb)
dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la valeur de
que nous avons vue pouvoir être également positive et négative, que de
en sorte qu’elle devienne positive ; ensuite on fera le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=-n,&\mathrm {P} _{0}&=\mathrm {C} ,&\mu \ \,&<\mathrm {\frac {-Q_{0}\pm {\sqrt {A}}}{P_{0}}} ,\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu \ \,\mathrm {P_{0}+Q_{0}} ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {\frac {Q_{1}^{2}-A}{P_{0}}} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}\mp {\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}\pm {\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}\mp {\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b240dfd4da9fb868d1a72a593ce5c310e0bec1d5)
et l’on continuera seulement ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble. Alors, si, parmi les termes de la seconde série
il s’en trouve un égal à l’unité positive, ce terme donnera une solution de l’équation proposée, et les valeurs de
et
seront les termes correspondants des deux séries
et
calculées par les formules du no 25 ; sinon, on en conclura sur-le-champque la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. (Voir l’Exemple du no 40.)
Troisième cas, lorsque
à un carré.
69. Dans ce cas le nombre
deviendra rationnel, et la quantité
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
pourra se décomposer en deux facteurs rationnels. En effet, cette quantité n’est autre chose que celle-ci
![{\displaystyle {\frac {(\mathrm {C} y-nz)^{2}-\mathrm {A} z^{2}}{\mathrm {C} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b98fbd16d7085e208fd63f1d27663c10725c56)
laquelle, en supposant
peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {\left[\mathrm {C} y-(n+a)z\right]\left[\mathrm {C} y-(n-a)z\right]}{\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb7f128159545b4743999d1ebdedc2a48abd0c2)
Or, comme
![{\displaystyle n^{2}-a^{2}=\mathrm {BC} =(n+a)(n-a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cb97d40d09913e77f784335873c6ec880797c8)
il faudra que le produit de
par
soit divisible par
et par conséquent que l’un de ces deux nombres
et
soit divisible par un des facteurs de
et l’autre par le facteur réciproque. Supposons donc
et que
et
et
étant des nombres entiers, et la quantité précédente deviendra le produit de ces deux facteurs linéaires
et
donc, puisque ces deux facteurs sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur produit ne saurait être
comme l’équation proposée le demande, à moins que chacun d’eux ne soit en particulier
On fera donc
![{\displaystyle cy-fz=\pm 1,\quad by-gz=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfaf448d18ae330fff63d8c3df5e92955f5c438)
et l’on déterminera par là les nombres
et
si ces nombres se trouvent entiers, on aura la solution de l’équation proposée ; sinon, elle sera insoluble, au moins en nombres entiers.
Seconde méthode.
70. Qu’on pratique sur la formule
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
des transformations semblables à celles dont nous avons fait usage plus haut (no 54), et je dis qu’on pourra toujours parvenir à une transformée telle que
![{\displaystyle \mathrm {L\xi ^{2}-2M\xi \psi +N\psi ^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0338fa7a76b2a78aeb2ffeddb8270c5efb5195ea)
les nombres
étant des nombres entiers, dépendants des nombres donnés
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {M^{2}-LN} =n^{2}-\mathrm {CB=A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40be99e63a6fa478bc38d7c37082eedfd30f2d87)
et que, de plus,
ne soit pas plus grand (abstraction faite des signes) que le nombre
ni que le nombre
les nombres
et
seront aussi des nombres entiers, mais dépendants des nombres indéterminés
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
En effet, soit, par exemple,
moindre que
et qu’on mette la formule dont il s’agit sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {B} _{1}y^{2}-2nyy_{1}+\mathrm {B} y_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad9207b4d1e0cf9f4f7ff7adefd0a6837fb3f1d)
en faisant
et
si
n’est pas plus grand que
il est clair que cette formule aura déjà d’elle-même les conditions requises ; mais, si
est plus grand que
alors on supposera
et, substituant, on aura la transformée
![{\displaystyle \mathrm {B} _{1}y_{2}^{2}-2n_{1}y_{2}y_{1}+\mathrm {B} _{2}y_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d53e53a5ce8005f813b340ab297092fd35ca10)
où
![{\displaystyle n_{1}=n-m\mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f22126654da1609aed73b3647f7eb16b40c2c3)
![{\displaystyle \mathrm {B} _{2}=m^{2}\mathrm {B} _{1}-2mn+\mathrm {B} ={\frac {n^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f11e1f6379408e374febe26ad7c3c21eadd4965)
Or, comme le nombre
est indéterminé, on pourra, en le supposant entier, le prendre tel que le nombre
ne soit pas plus grand que
alors
ne surpassera pas
Ainsi, si
ne surpasse pas non plus
la transformée précédente sera déjà dans le cas qu’on a en vue ; mais, si
est plus grand que
on continuera alors à supposer
ce qui donnera la nouvelle transformée
![{\displaystyle \mathrm {B} _{3}y_{2}^{2}-2n_{2}y_{2}y_{3}+\mathrm {B} _{2}y_{3}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a474d6d9cdb832b3e7c7fd8a3a912418555a18fa)
où
![{\displaystyle n_{2}=n-m_{1}\mathrm {B} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cfc23aea6e2fc1ab632d1a61d0b9f95056c027)
![{\displaystyle \mathrm {B} _{3}=m_{1}^{2}\mathrm {B} _{2}-2m_{1}n_{1}+\mathrm {B} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713a977b62ed450959a2cc8932c2fea010bc7de6)
On déterminera le nombre entier
en sorte que
ne soit pas plus grand que
moyennant quoi
ne surpassera pas
de sorte que l’on aura la transformée cherchée, si
ne surpasse pas non plus
mais, si
surpasse
on supposera de nouveau
etc.
Or il est visible que ces opérations ne peuvent pas aller à l’infini ; car, puisque
est plus grand que
et que
ne l’est pas, il est clair que
sera moindre que
de même,
est plus grand que
et
ne l’est pas ; donc
sera moindre que
et ainsi de suite, de sorte que les nombres
formeront une suite décroissante de nombres entiers, laquelle ne pourra par conséquent pas aller à l’infini. On parviendra donc nécessairement à une formule où le coefficient du terme moyen ne sera pas plus grand que ceux des deux termes extrêmes, et qui aura d’ailleurs les autres propriétés que nous avons énoncées ci-dessus, ce qui est évident par la nature même des transformations pratiquées.
Pour faciliter la transformation de la formule
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L\xi ^{2}-2M\xi \psi +N\psi ^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0338fa7a76b2a78aeb2ffeddb8270c5efb5195ea)
je désigne par
le plus grand des deux coefficients extrêmes
et
et
par
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd4cf9339aacb8e3ed36741d56640f1f8253853)
l’autre coefficient ; et,
vice versâ, je désigne par
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
la variable dont le carré se trouvera multiplié par
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd4cf9339aacb8e3ed36741d56640f1f8253853)
et par
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
l’autre variable ; en sorte que la formule proposée prenne cette forme
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}\theta ^{2}-2n\theta \theta _{1}+\mathrm {D} \theta _{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cdac36e22b32b156108ed8f36b7ab9cad47680)
où
soit moindre que
ensuite je n’aurai qu’à faire le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}m\ \,&={\frac {n}{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &n_{1}&=n\ \,-m\mathrm {D} _{1},\qquad &\mathrm {D} _{2}&={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &\theta \ \,&=m\ \,\theta _{1}+\theta _{2},\\m_{1}&={\frac {n_{1}}{\mathrm {D} _{2}}},&n_{2}&=n_{1}-m_{1}\mathrm {D} _{2},&\mathrm {D} _{3}&={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{2}}},&\theta _{1}&=m_{1}\theta _{2}+\theta _{3},\\m_{2}&={\frac {n_{2}}{\mathrm {D} _{3}}},&n_{3}&=n_{2}-m_{2}\mathrm {D} _{3},&\mathrm {D} _{4}&={\frac {n_{3}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{3}}},&\theta _{2}&=m_{2}\theta _{3}+\theta _{4},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7ab5f27b9a640d2e9241ac1221e31d50a88bd8)
où il faut bien remarquer que le signe
qui est mis après les lettres ![{\displaystyle m,m_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408026cac89018841782bb4ccae9485c2ea7f51d)
n’indique pas une égalité parfaite, mais seulement une égalité aussi approchée qu’il est possible, en tant qu’on n’entend par
que des nombres entiers. Je n’ai employé ce signe
que faute d’un autre signe convenable.
Ces opérations doivent être continuées jusqu’à ce que, dans la série
on trouve un terme, comme
qui (abstraction faite du signe) ne surpasse pas la moitié du terme correspondant
de la série ![{\displaystyle \mathrm {D_{1},D_{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b80cc245776d7de82808093c0092c7c717b3a91)
non plus que la moitié du terme suivant
Alors on pourra faire
![{\displaystyle \mathrm {D_{\rho }=L} ,\quad n_{\rho }=\mathrm {N,\quad D_{\rho +1}=M} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\psi ,\quad \theta _{\rho +1}=\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535437cd6071da01f9ad598b539c94f884ff6410)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {D_{\rho }=M,\quad D_{\rho +1}=L} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\xi ,\quad \theta _{\rho +1}=\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ad585a6279ce061ce78cd481468bfc70e778f3)
Nous supposerons toujours par la suite qu’on ait pris pour
le plus petit des deux nombres
71. L’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {D} z^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cb2babf94a865fe7891dec1dc75af0873a2e7c)
sera donc réduite à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} \xi ^{2}-2\mathrm {N} \xi \psi +\mathrm {M} \psi ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb56a6c8ff8119e7e74de19e29a04ae26171cd4)
où
![{\displaystyle \mathrm {N^{2}-LM=A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b1df01453d8c40ac786d84add95e397d6d039c)
et où
![{\displaystyle 2\mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeb131aead988843bd9b73c2577921a6c51fefa)
n’est ni
![{\displaystyle >\mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bbd60c0d9ba668fff1b26e79aefadad7704774)
ni
![{\displaystyle >\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2766991faaf8181f1b3e22b9286a0593b26e3eb9)
(abstraction faite des signes). Or,
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
étant le plus petit des deux coefficients
![{\displaystyle \mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7693963f7eb3050c4c00a3417c955a5e3630cab)
et
![{\displaystyle \mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02367197b2d74f95eb9965ab69943fd937ca165)
qu’on multiplie toute l’équation par ce coefficient
![{\displaystyle \mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02367197b2d74f95eb9965ab69943fd937ca165)
et faisant
![{\displaystyle \upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4a8164844268af20a05160cdf95e23834789e6)
il est clair qu’elle se changera en celle-ci
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38f9366ae40d35d08c5a6af07d5a82026c596bc)
dans laquelle il faudra maintenant distinguer les deux cas de
positif et de
négatif.
Soit :
1o
négatif et
étant un nombre positif ; l’équation sera donc
![{\displaystyle \upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8272762713cb7cc7328668022a43630d48e485ac)
Or, comme
on aura
d’où l’on voit d’abord que les nombres
et
doivent être de même signe ; d’ailleurs
ne doit être ni
ni
donc
ne sera pas
donc
ou
et, puisque
est supposé moindre que
ou au moins pas plus grand que
on aura à plus forte raison
ou
donc
ou
donc
On voit par là que l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83e0f469da2440d3a4f125c828557fd52786193)
ne saurait subsister dans l’hypothèse que
et
soient des nombres entiers, à moins que l’on ne fasse
et
ce qui demande que
soit un nombre carré.
Supposons donc
et l’on aura
donc, par l’équation
![{\displaystyle \upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4a8164844268af20a05160cdf95e23834789e6)
on aura
![{\displaystyle \mu ^{2}\psi =\pm \mu ,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \psi =\pm {\frac {1}{\mu }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c1d7be8e967c64813d07e4ee71512c60635683)
de sorte que
![{\displaystyle \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
ne saurait être un nombre entier, comme il le doit (hyp.), à moins que
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
ne soit égal à l’unité, soit
![{\displaystyle =\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b631d0d12318c35386c73ec32c27737c7c67f209)
et par conséquent
De là je tire donc cette conséquence, que l’équation proposée ne saurait étre résoluble en nombres entiers, à moins que
ne se trouve égal à l’unité positive. Si cette condition a lieu, alors on fera
et l’on remontera de ces valeurs à celles de
et
Cette méthode revient, pour le fond, au même que celle du no 67, mais elle a sur celle-là l’avantage de n’exiger aucun tâtonnement.
2o Soit maintenant
un nombre positif ; on aura
or, comme
ne peut pas être plus grand que
il est clair que l’équation ne pourra subsister, à moins que
ne soit un nombre positif, c’est-à-dire que
et
ne soient de signes différents. Ainsi
sera nécessairement
ou tout au plus
si
de sorte qu’on aura
ou
et par conséquent
ou
ou
ou
Le cas de
ne peut avoir lieu que lorsque
est un carré ; par conséquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée plus haut (no 69).
Reste donc le cas où
n’est pas carré et dans lequel on aura nécessairement
(abstraction faite du signe de
) ; alors l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52751069c1e1f357d5653d75d4e7c3999e9b33)
sera dans le cas du Théorème du no 38, et se résoudra par conséquent par la méthode que nous y avons indiquée.
Ainsi il n’y aura qu’à faire le calcul suivant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=0,&\mathrm {P} _{0}&=1,&\mu \ \,&<{\sqrt {\mathrm {A} }},\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {Q_{1}^{2}-A} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}-{\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}+{\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}-{\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41755d998fa02b0ae105ed43877c4bd0ba6d156f)
qu’on continuera jusqu’à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble, ou bien jusqu’à ce que dans la série
![{\displaystyle \mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dedba0800b974d0026fe768cf17d3fba83bcf63)
il se trouve un terme égal à l’unité positive, c’est-à-dire
![{\displaystyle =\mathrm {P} _{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e90fe88cb3890f2ed85f2657f4c21730b2c7bb)
car alors tous les termes suivants reviendront dans le même ordre dans chacune des trois séries (
no 37). Si dans la série
![{\displaystyle \mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dedba0800b974d0026fe768cf17d3fba83bcf63)
il se trouve un terme égal à
![{\displaystyle \mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02367197b2d74f95eb9965ab69943fd937ca165)
on aura la résolution de l’équation proposée ; car il n’y aura qu’à prendre pour
![{\displaystyle \upsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d9773c30e2bda2ecb0af8fa63f9e0e537f0fc4)
et
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
les termes correspondants des séries
![{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bc39503b3449030a9305f359abb66c83e318de)
![{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f834aa88222c8ed116167bd164a4cfd50bfb0ec)
calculées d’après les formules du
no 25 ; et même on pourra frouver une infinité de valeurs satisfaisantes de
![{\displaystyle \upsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d9773c30e2bda2ecb0af8fa63f9e0e537f0fc4)
et
![{\displaystyle \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d59525edc6aa51bb96934ef310ab3f950b520cd)
en continuant à l’infini les mêmes séries.
Dès qu’on connaîtra deux valeurs de
et
on aura, par l’équation
![{\displaystyle \upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4a8164844268af20a05160cdf95e23834789e6)
celle de
, laquelle sera aussi toujours égale à un nombre entier ; ensuite on pourra remonter de ces valeurs de
et
c’est-à-dire de
et
à celles de
et
ou bien de
et de
(no 70).
Mais si, dans la série
il n’y a aucun terme qui soit
on en conclura hardiment que l’équation proposée n’admet aucune solution en nombres entiers.
Il est bon de remarquer que, comme la série
ainsi que les deux autres
et
ne dépend que du nombre
le calcul une fois fait pour une valeur donnée de
servira pour toutes les équations où
c’est-à-dire
aura la même valeur et c’est en quoi la méthode précédente est préférable à celle du no 68, qui exige un nouveau calcul pour chaque équation.
Au reste, tant que
ne passera pas
on pourra faire usage de la Table que nous avons donnée au no 41, laquelle contient pour chaque radical
les valeurs des termes des deux séries
et ![{\displaystyle \mu ,\mu _{1},\mu _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82378b124d2f8380b6f910222c4a135ec638752f)
continuéesjusqu’à ce que l’un des termes
devienne
après quoi tous les termes suivants de l’une et de l’autre série reviennent dans le même ordre ; de sorte qu’on pourra juger surle-champ, par le moyen de cette Table, de la résolubilité de l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340be2c076d14575edcf3cf79aed2c1b966cdedb)
De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l’équation
lorsqu’on n’en connaît qu’une seule.
72. Quoique, par les méthodes que nous venons de donner, on puisse trouver successivement toutes les solutions de cette équation, lorsqu’elle est résoluble en nombres entiers, cependant on peut parvenir à cet objet d’une manière encore plus simple, que voici :
Qu’on nomme
et
les valeurs trouvées de
et
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46254f17f998198b8d850ea046d993ee3a0dd19)
et qu’on prenne deux autres nombres entiers
et
tels que
(ce qui est toujours possible, à cause que
et
sont nécessairement premiers entre eux) ; qu’on suppose ensuite
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
et
étant deux nouvelles indéterminées ; substituant ces expressions dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bfddf09a6ea970a77219066bcb112a9f87a3d0)
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2},\\\mathrm {Q} =&\mathrm {C} pr-n(ps+qr)+\mathrm {B} qs,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C} r^{2}-2nrs+\mathrm {B} s^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ff1645ddee0ecc29ba71aba238f18fc47b8aaa)
on aura cette transformée
![{\displaystyle \mathrm {P} t^{2}+2\mathrm {Q} tu+\mathrm {R} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cd260929c665dac03a761ba4cb792554b6152b)
Or on a (hyp.)
de plus, si l’on nomme
et
deux valeurs de
et
qui satisfassent à l’équation
on aura, en général (no 42),
![{\displaystyle r=\rho +mp,\quad s=\sigma +mq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37325132392d0266fea85b5f151fc7b124245f1)
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
étant un nombre quelconque entier ; donc, mettant ces valeurs dans l’expression de
![{\displaystyle \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e83ec0e972d08bb4fe22f6d4dd8b65297a6492)
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\mathrm {C} p\rho -n(p\sigma +q\rho )+\mathrm {B} q\sigma +m\mathrm {P} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f95b0a45138d20ea9f3761e61e8d23ab52f6820)
de sorte que, comme
on pourra rendre
en prenant
![{\displaystyle m=-\mathrm {C} p\rho +n(p\sigma +q\rho )-\mathrm {B} q\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197418cbfa34a5ced393551a00eee122487dfa9c)
Maintenant je remarque que la valeur de
se réduit (après les substitutions et les réductions) à celle-ci
![{\displaystyle (n^{2}-\mathrm {CB} )(ps-qr)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dbbee882f8f431cf37e849fd5e1f999472c83e)
de sorte que, comme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q^{2}-PR} =n^{2}-\mathrm {CB=A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f98a31371cf3780159c7a157a5ba5f68f4b37e2)
donc, faisant
et
il viendra
savoir
ainsi l’équation transformée ci-dessus se changera en celle-ci
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
or, comme
et
sont, par l’hypothèse, des nombres entiers, il est facile de voir que
et
seront aussi des nombres entiers ; car, en tirant leurs valeurs des équations
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
on a
![{\displaystyle t={\frac {sy-rz}{ps-qr}},\quad u={\frac {qy-pz}{qr-ps}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0213f5b41a86c3f5dede1e15f69ced6821277fdf)
c’est-à-dire, à cause de ![{\displaystyle ps-qr=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd046d585379c49c841d30b413286d8cf122c78)
![{\displaystyle t=sy-rz,\quad u=pz-qy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd3727919f4522bde9c461e4805db26530f0d1d)
Il n’y aura donc qu’à résoudre en nombres entiers l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
et chaque valeur de
et de
donnera de nouvelles valeurs de
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
En effet, substituant dans les valeurs générales de
et
la valeur du nombre
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&\rho \left(1-\mathrm {C} p^{2}\right)-\mathrm {B} pq\sigma +np(p\sigma +q\rho ),\\r=&\sigma \left(1-\mathrm {B} q^{2}\right)-\mathrm {C} pq\rho +nq(p\sigma +q\rho )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb8b3c87489614786346f05b87a8811f4c0afd)
ou bien, à cause de ![{\displaystyle \mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46254f17f998198b8d850ea046d993ee3a0dd19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&(\mathrm {B} q-np)(q\rho -p\sigma )=-\mathrm {B} q+np,\\s=&(\mathrm {C} p-nq)(p\sigma -q\rho )=\ \ \ \mathrm {C} p-nq.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dc8c99554a933dd5d9fca29ba4e34acfe7dd9b)
Donc, mettant ces valeurs de
et
dans les expressions ci-dessus de
et
on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&pt-(\mathrm {B} q-np)u,\\z=&qt+(\mathrm {C} p-nq)u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079cfdec87b8f9fe4f427259d9d0324b3e195bff)
73. Tout se réduit donc à résoudre l’équation
![{\displaystyle t^{2}-Au^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0bb1dd7a1f8ca55d3d5a88556b59b9d8d7df04)
Or :
1o Si
est un nombre négatif, il est visible que cette équation ne saurait subsister en nombres entiers, qu’en faisant
et
ce qui donnerait
et
d’où l’on peut conclure que, dans le cas où
est un nombre négatif, l’équation proposée
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01be98b6515a5f32a16ca1d5819674ccd38c56bd)
ne peut jamais admettre qu’une seule solution en nombres entiers.
Il en serait de même si
était un nombre positif carré ; car, faisant
on aurait
![{\displaystyle (t+au)(t-au)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82daac4a917835a6f5b9b4d2aa458ad63b9f0164)
donc
![{\displaystyle t+au=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad t-au=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac9b7f7411e404bd542a18c0e70e807f3e22049)
donc
donc
et par conséquent
![{\displaystyle t=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35787d6b12f278e740df25a5d231f5320d2a6461)
2o Mais, si
est un nombre positi\int non carré, alors l’équations
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ce9a66296db7fc84d353a82966061d61501186)
est toujours susceptible d’une infinité de solutions en nombres entiers (no 37), qu’on peut trouver toutes par les formules données ci-dessus (no 71, 2o) ; mais il suffira de trouver les plus petites valeurs de
et
et pour cela, dès que l’on sera parvenu, dans la série
à un terme égal à l’unité, il n’y aura qu’à calculer, par les formules du no 25, les termes correspondants des deux séries
et
Ce seront les valeurs cherchées de
et
d’où l’on voit que le même calcul qu’on aura fait pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52751069c1e1f357d5653d75d4e7c3999e9b33)
servira aussi pour celle de l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Au reste, tant que
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
ne passe pas
![{\displaystyle 100,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890d7ca12b0878a4786722804ef4f10ea32b66d)
on a les plus petites valeurs de
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
et
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
toutes calculées dans la Table
[14] qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent, et dans laquelle les nombres
![{\displaystyle a,m,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4276b7e2dd4ad260cd5c24815ea0b2dcc4b8878)
sont les mêmes que ceux que nous appelons ici
![{\displaystyle \mathrm {A} ,t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df59e38e24289a7f874eae4ba94bef10dc6001ed)
et
74. Désignons par
les plus petites valeurs de
dans l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
et de même que ces valeurs peuvent servir à trouver de nouvelles va-
leurs de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bfddf09a6ea970a77219066bcb112a9f87a3d0)
de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles valeurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
qui n’est qu’un cas particulier de celle-là. Pour cela, il n’y aura qu’à supposer
et
ce qui donne
et prendre ensuite
à la place de
et
à la place de
Faisant donc ces substitutions dans les expressions générales de
et
du no 72, et mettant de plus
à la place de
on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{1}\,+\mathrm {AU} u_{1},\\u=&\mathrm {T} u_{1}+\mathrm {U} t_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f631893770d60532bc64e16ce88fc4ad0753b94)
et pour la détermination de
et
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T^{2}-AU^{2}} =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890a4cc26708047576a03205b30d926791f0c5d3)
qui est semblable à la proposée.
Ainsi on pourra supposer
et
ce qui donnera
![{\displaystyle t=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u=t_{1}u_{1}+t_{1}u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadace1cb89f03d8c5abd83af1e2233119ddbfa3)
Nommant donc
les secondes valeurs de
et
on aura
![{\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u_{2}=2t_{1}u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58216d294ef6ebc323735e313bf571c1afee4fe4)
Maintenant il est clair qu’on peut prendre ces nouvelles valeurs
à la place des premières
ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{2}\,+\mathrm {AU} u_{2},\\u=&\mathrm {T} u_{2}+\mathrm {U} t_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9959805756b2587bd87dbeb897fcd2e070fa4d61)
où l’on peut supposer de nouveau
ce qui donnera
![{\displaystyle t=t_{1}t_{2}+\mathrm {A} u_{1}u_{2},\quad u=t_{1}u_{2}+u_{1}t_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36117aefa74b72fb9abf0945e60cf4a728f70da8)
Ainsi on aura de nouvelles valeurs de
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
et
![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
lesquelles seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{3}=&t_{1}t_{2}+\mathrm {A} u_{1}u_{2}=t_{1}\left(t_{1}^{2}+3\mathrm {A} u_{1}^{2}\right),\\u_{3}=&t_{1}u_{2}+u_{1}t_{2}=u_{1}\left(3t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0db5f7a72239615bf11ae9a93e57c0fbc61293)
et ainsi de suite.
75. La méthode précédente ne fait trouver que successivement les valeurs
Voyons maintenant comment on peut généraliser cette recherche. On a d’abord
![{\displaystyle t=\mathrm {T} t_{1}+\mathrm {AU} u_{1},\quad u=\mathrm {T} u_{1}+\mathrm {U} t_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d8fab2bbde6e9cf095bd68d600bd991b2e960a)
d’où je tire cette combinaison
![{\displaystyle t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e7f29e74d7c0490f80605f15d3475b45444b07)
donc, supposant
et
on aura
![{\displaystyle t_{2}\pm u_{2}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf6cd60e576762f726c4f6de6c7f5d9e81b8060)
Qu’on mette à présent ces valeurs de
et
à la place de celles de
et
on aura
![{\displaystyle t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{2}\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ba08ff8146876cf297cc88f1db84a2f5cde691)
où, faisant de nouveau
et
et nommant
les valeurs résultantes de
et
il viendra
![{\displaystyle t_{3}\pm u_{3}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e287498ecbfb94d67bf1fa76171f044cb6da6ee1)
On trouvera de même
![{\displaystyle t_{4}\pm u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ead915384a96b6bba2edbcfd7da53f872d5c29)
et ainsi de suite.
Donc si, pour plus de simplicité, on nomme maintenant
et
les premières et plus petites valeurs de
que nous avons nommées ci-dessus
on aura, en général,
![{\displaystyle t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8c1954a1a6dd29dc06a9d78dac1469855fa05)
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
étant un nombre quelconque entier positif ; d’où l’on tire, à cause de l’ambiguïté des signes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}+\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}}{2}},\\u=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}-\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84921db6222a2bcde92df263d8ce4490d06aa960)
Quoique ces expressions paraissent sous une forme irrationnelle, cependant il est aisé de voir qu’elles deviendront rationnelles, en développant les puissances de
car on a, comme l’on sait,
![{\displaystyle \mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}=\mathrm {T} ^{m}\pm m\mathrm {T} ^{m-1}\mathrm {U} {\sqrt {\mathrm {A} }}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} ^{m-2}\mathrm {U} ^{2}{\sqrt {\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8324795c7cc96fd2ca42b7213464d7eed0a3527d)
![{\displaystyle \pm {\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {T} ^{m-3}\mathrm {U} ^{3}\mathrm {A} {\sqrt {\mathrm {A} }}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36704ea0b5b50e627a7041a8950de0707f761b9a)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} ^{m}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {AT} ^{m-2}\mathrm {U} ^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}\mathrm {A^{2}T} ^{m-4}\mathrm {U} ^{4}+\ldots ,\\u=&m\mathrm {T} ^{m-1}\mathrm {U} +{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {AT} ^{m-3}\mathrm {U} ^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d54556b3a2a3868c207b40ab0d6959748bc1f8d)
![{\displaystyle +{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}}\mathrm {A^{2}T} ^{m-5}\mathrm {U} ^{5}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cb79a216ef0f919826e3266944a7f1f7f8ae07)
où l’on pourra prendre pour
des nombres quelconques entiers positifs.
Il est clair qu’en faisant successivement
on aura des valeurs de
et
qui iront en augmentant.
Or je vais prouver que l’on aura de cette manière toutes les valeurs possibles de
et
pourvu que
et
en soient les plus petites. Pour cela il suffit de prouver qu’entre les valeurs de
et
qui répondent à un nombre quelconque
et celles qui répondraient au nombre suivant
il est impossible qu’il se trouve des valeurs intermédiaires qui puissent satisfaire à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Prenons, par exemple, les valeurs
qui résultent de la supposition de
et les valeurs
qui résultent de la supposition
et soient, s’il est possible, d’autres valeurs intermédiaires
et
qui satisfassent aussi à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Puisque l’on a
![{\displaystyle t_{3}^{2}-\mathrm {A} u_{3}^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1,\quad \theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e358594db9b5fc9e9673f94d25038015f1ff7d7)
on aura
![{\displaystyle \theta ^{2}-t_{3}^{2}=\mathrm {A} \left(\upsilon ^{2}-u_{3}^{2}\right),\quad {\text{et}}\quad t_{4}^{2}-\theta ^{2}=\mathrm {A} \left(u_{4}^{2}-\upsilon ^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935d2a4aff44db533edfa3f3b4597b3ccc360b50)
d’où l’on voit que, si
et
on aura aussi
et
De plus, on aura aussi ces autres valeurs de
et
savoir
![{\displaystyle t=\theta _{4}t-\mathrm {A} \upsilon u_{4},\quad u=\theta u_{4}-\upsilon t_{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b906c5ebbce42bb4ec7c24305609867d9d94c1ce)
qui satisferont à la même équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
car, en les y substituant, on aurait
![{\displaystyle (\theta t_{4}-\mathrm {A} \upsilon u_{4})^{2}-\mathrm {A} (\upsilon t_{4}-\theta u_{4})^{2}=\left(\theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}\right)\left(t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}\right)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515d0a361a6fe9f75dfec4f94847746a811f7eec)
équation identique à cause de (hyp.)
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe6414a0a72dc639e7a3d8abddb5f6d068334b0)
Or ces deux dernières équations donnent
![{\displaystyle \theta -\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}},\quad t_{4}-u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056bd115e3b344e39eae4d93cebbe6f928647bfd)
donc, mettant dans l’expression de
à la place de
et à la place de
on aura
![{\displaystyle u={\frac {u_{4}}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {\upsilon }{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144186587283e09e04f00fd9e0f947a4f030775f)
de même, si l’on considère la quantité
elle pourra aussi, à cause de
se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {u_{4}}{t_{3}+u_{3}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {u_{3}}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d6a7ca9b562fa6fa37ded186e2cd2b77729bc4)
Or, il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de
et
donc on aura une valeur de
qui sera moindre que la quantité
mais cette quantité est égale à
car
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2}} ,\\t_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2}} ,\\u_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} ,\\u_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2{\sqrt {A}}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e106afa41618f53ed5f5681aef6fa40c6c0a54)
d’où
![{\displaystyle t_{3}u_{4}-u_{4}t_{3}=\mathrm {\frac {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14597bbe585cf3f7590e6b2683e4be920281673)
de plus,
![{\displaystyle \mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=\left(T^{2}-AU^{2}\right)^{3}=1} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d337d5753e73b359de43e80249d4ca640736695)
puisque
(hyp.) ; donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}=T+U{\sqrt {A}}} ,\\&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=T-U{\sqrt {A}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10a4231eb72b371d014b809574acbd0ffc7eabd)
de sorte que la valeur de
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {2U{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}=U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7f89013dc6a96478ad385451fb6aff1ec6830e)
Il s’ensuivrait donc de là qu’on aurait une valeur de
ce qui est contre l’hypothèse, puisque
est supposé la plus petite valeur possible de
donc il ne saurait y avoir des valeurs de
et
intermédiaires entre celles-ci
et
Et comme ce raisonnement peut s’appliquer en général à toutes valeurs de
et
qui résulteraient des formules ci-dessus, en y faisant
égal à un nombre entier quelconque, on en peut conclure que ces formules renferment effectivement toutes les valeurs possibles de
et
Au reste, il est inutile de remarquer que les valeurs de
et de
peuvent être également positives ou négatives ; car cela est visible par l’équation même
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
De la manière de trouver toutes les solutions possibles, en nombres entiers,
des équations indéterminées du second degré à deux inconnues.
76. Les méthodes que nous venons d’exposer suffisent pour la résolution complète des équations de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105eafa4745557b6c4c86dc33c83dadc7a6daa9)
mais il peut arriver qu’on ait à résoudre des équations du second degré d’une forme plus composée : c’est pourquoi nous croyons devoir montrer comment il faudra s’y prendre.
Soit proposée l’équation
![{\displaystyle ar^{2}+brs+cs^{2}+dr+es+f=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34821b53d796bcc296b7f866b3a01476858da8e4)
où
soient des nombres entiers donnés, et où
et
soient deux inconnues qui doivent être aussi des nombres entiers.
J’aurai d’abord, par la résolution ordinaire,
![{\displaystyle 2ar+bs+d={\sqrt {(bs+d)^{2}-4a\left(cs^{2}+es+f\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da36009957165a5116d836dc786c0fadc5e00573)
d’où l’on voit que la difficulté se réduit à faire en sorte que
![{\displaystyle (bs+d)^{2}-4a\left(cs^{2}+es+f\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25768b62ae9e04d97c14f52b89b467335341350)
soit un carré.
Supposons, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle b^{2}-4ac=\mathrm {A} ,\quad bd-2ae=g,\quad d^{2}-4af=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1d9f49dfd32f7556a3f76dae235eab64216e9d)
et il faudra que
soit un carré ; supposons ce carré ![{\displaystyle =y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00aa19a681304c44ac483c8e743d5bcda4381a1)
en sorte que l’on ait l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} s^{2}+2gs+h=y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66d4d5af0ff7dca1ead4b8f35c160cc80b3dbb9)
et, tirant la valeur de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} s+g={\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+g^{2}-\mathrm {A} h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6150a5c83f22f57655a12929afab579c9b7419f)
de sorte qu’il ne s’agira plus que de rendre carrée la formule
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{2}+g^{2}-\mathrm {A} h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66005a00adfc327ad1884c9fe855f404cd83c28c)
Donc, si l’on fait encore
![{\displaystyle g^{2}-\mathrm {A} h=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64ab99418588b902a07c169cd699d7054326ba3)
on aura à rendre rationnel le radical
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c548d593febdc8f4b50f592a2c9f6c7d35c4f86)
c’est à quoi on parviendra par les méthodes données.
Soit
en sorte que l’équation à résoudre soit
![{\displaystyle \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105eafa4745557b6c4c86dc33c83dadc7a6daa9)
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {A} s+g=\pm x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d898309d9fb0dd9f3a9043516d36eba689c6b487)
d’ailleurs on a déjà
![{\displaystyle 2ar+bs+d=\pm y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63365cfc9bbfa580014ed86ce7ab99d4f3e3bd69)
Ainsi, dès qu’on aura trouvé les valeurs de
et
on aura celles de
et
par les deux équations
![{\displaystyle s={\frac {\pm x-g}{\mathrm {A} }},\quad r={\frac {\pm y-d-bs}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec527b49691e15b777f58c14945a50a4eaf2dc7)
Or, comme
et
doivent être des nombres entiers, il est visible qu’il faudra : 1o que
et
soient des nombres entiers aussi ; 2o que
soit divisible par
et qu’ensuite
le soit par
Ainsi, après avoir trouvé toutes les valeurs possibles de
et
en. nombres entiers, il restera encore à trouver parmi ces valeurs celles qui pourront rendre
et
des nombres entiers.
Si
est un nombre négatif ou un nombre positif carré, nous avons vu que le nombre des solutions possibles en nombres entiers est toujours limité, de sorte que dans ces cas il n’y aura qu’à essayer successivement pour
et
les valeurs trouvées ; et, si l’on n’en rencontre aucune qui donne pour
et
des nombres entiers, on en conclura que l’équation proposée n’admet point de solution de cette espèce.
La difficulté ne tombe-donc que sur le cas où
est un nombre positif non carré, cas dans lequel on a vu que le nombre des solutions possibles en entiers peut être infini ; comme l’on aurait alors un nombre infini de valeurs à essayer, on ne pourrait jamais bien juger de la résolubilité de l’équation proposée, à moins d’avoir une règle qui réduise le tâtonnement entre certaines limites c’est ce que nous allons rechercher.
77. Puisqu’on a (no 65)
![{\displaystyle x=ny-\mathrm {B} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accff64a2b062ce96cffdb3f7ac5f736b300c866)
et (no 72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&pt-(\mathrm {B} q-np)u,\\z=&qt+(\mathrm {C} p-nq)u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0d27beec1334a7ef5fc8f53b7567e068814887)
il est facile de voir que les expressions générales de
et
seront de cette forme
![{\displaystyle r={\frac {\alpha t+\beta u+\gamma }{\delta }},\quad s={\frac {\alpha _{1}t+\beta _{1}u+\gamma _{1}}{\delta _{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbac88de2651b0b2fe3f54569e5da7c22848a74)
étant des nombres entiers connus, et
étant donnés par les formules du no 75, dans lesquelles l’exposant
peut être un nombre entier positif quelconque. Ainsi la question se réduit à trouver quelle valeur on doit donner à
pour que les valeurs de
et
soient des nombres entiers.
78. Je remarque d’abord qu’il est toujours possible de trouver une valeur de
qui soit divisible par un nombre quelconque donné
supposant
l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ce9a66296db7fc84d353a82966061d61501186)
deviendra
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} \Delta ^{2}\omega ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b694bbb0e86a6cec3663c0653217eff7cc2fc81a)
laquelle est toujours résoluble en nombres entiers ; et l’on trouvera les plus petites valeurs de
et
en faisant le même calcul qu’auparavant, mais en prenant
à la place de
Or, comme ces valeurs satisfont aussi à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
elles seront nécessairement renferméesdans les formules du no 75. Ainsi il y aura nécessairement une valeur de
qui rendra l’expression de
divisible par ![{\displaystyle \Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f768bd0f5ad6d36e95172cf0e044e88c5d119dc)
Qu’on dénote cette valeur de
par
et je dis que si, dans les expressions générales de
et
du numéro cité, on fait
la valeur de
sera divisible par
et celle de
étant divisée par
donnera
pour reste.
Car, si l’on désigne par
et
les valeurs de
et
où
et par
et
celles où
on aura (no 75)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{\mu }} ,\\&\mathrm {T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{2\mu }} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddac1daace887e7d92013780b625102fcde68b)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\left(T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}\right)^{2}=T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452603c5d7dade086db11c8d08ca12147686a51b)
c’est-à-dire, en comparantla partie rationnelle du premier membre avec la rationnelle du second, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle,
![{\displaystyle \mathrm {T_{2}=T_{1}^{2}+AU_{1}^{2},\quad U_{2}=2T_{1}U_{1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622fb5312e20c9b0831b5876408bdc673915f9dc)
donc, puisque
est divisible par
le sera aussi, et
laissera le même reste que laisserait
mais on a
(hyp.) : donc
doit être divisible par
et même par
puisque
l’est déjà ; donc
et par conséquent aussi
étant divisés par
laisseront le reste ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Maintenant je dis que les valeurs de
et
qui répondent à un exposant quelconque
étant divisées par
laisseront les mêmes restes que les valeurs de
et
qui répondraient à l’exposant
car, désignant ces dernières par
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t\pm u\mathrm {{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m},\\&\theta \pm \upsilon \mathrm {{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m+2\mu }\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b86207589f670f883a3f3e0d673970e1240509d)
donc
![{\displaystyle \theta \pm \upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{2\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe9d4002a5ed11dfe57617445ca8f2b399d8a57)
Mais nous venons de trouver ci-dessus
![{\displaystyle \mathrm {T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{2\mu }} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e1f00a3ab6f7926d438ef0352361c2bdbaca10)
donc on aura
![{\displaystyle \theta \pm \upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a96ff161ea956be162f67885eefbc7d70435f1)
d’où l’on tire, en faisant la multiplication et comparant ensuite les parties rationnelles ensemble et les irrationnelles ensemble,
![{\displaystyle \theta =t\mathrm {T} _{2}+\mathrm {A} u\mathrm {U} _{2},\quad \upsilon =t\mathrm {U} _{2}+u\mathrm {T} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d647de97db6116a4c6aeba2f87b3c0985fc277c2)
Or
est divisible par
et
laisse le reste
donc
laissera le même reste que
et
le même reste que
.
Donc, en général, les restes des valeurs de
et
répondant aux exposants
seront les mêmes que ceux des valeurs qui répondent à l’exposant quelconque
.
De là on peut donc conclure que, si l’on veut avoir les restes provenant de la division des termes
et
qui répondent à ![{\displaystyle m=1,2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea5b20445f5c27331c91c446bcba693fc0fd678)
par le nombre
il suffira de trouver ces restes jusqu’aux termes
et
inclusivement ; car, après ces termes, les mêmes restes reviendront dans le même ordre, et ainsi de suite à l’infini.
Quant aux termes
et
auxquels on pourra s’arrêter, ce seront ceux dont l’un
sera exactement divisible par
et dont l’autre
laissera l’unité pour reste ; ainsi il n’y aura qu’à pousser les divisions jusqu’à ce qu’on parvienne aux restes
et
alors on sera assuré que les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes que l’on a déjà trouvés.
On pourrait aussi trouver l’exposant
a priori ; car il n’y aurait qu’à faire le calcul indiqué dans le no 71, 2o, premièrement pour le nombre
et ensuite pour le nombre
et, si l’on nomme
le numéro du terme de la série
qui, dans le premier cas, sera
et
le numéro du terme qui sera
dans le second cas, on n’aura qu’a chercher le plus petit multiple de
et de
lequel, étant divisé par
donnera la valeur cherchée de
Ainsi, si l’on a, par exemple,
et
on trouvera dans la Table du no 41, pour le radical
![{\displaystyle \mathrm {P_{0}=1,\quad P_{1}=-2,\quad P_{2}=1} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286037fa42708669aaeafe9af52df093a90851e3)
donc
ensuite on trouvera dans la même Table, pour le radical ![{\displaystyle {\sqrt {6.9}}={\sqrt {54}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2a8768f5f33b87679147853db525a85d257f16)
![{\displaystyle \mathrm {P_{0}=1,\quad P_{1}=-5,\quad P_{2}=9,\quad P_{3}=-2,\quad P_{4}=9,\quad P_{5}=-5,\quad P_{6}} =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad7a6ceb255b376270367d7296495f24334d13c)
donc
or le plus petit multiple de
et
est
qui, étant divisé par
donne
pour quotient, de sorte qu’on aura ici
et ![{\displaystyle 2\mu =6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d118ba8d94f925058adff984859a1977cffb964)
Donc, pour avoir dans ce cas tous les restes de la division des termes
et
par
il suffira de chercher ceux des six premiers termes de l’une et de l’autre série ; car les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes, c’est-à-dire que les septièmes termes donneront les mêmes restes que les premiers, les huitièmes les mêmes restes que les seconds, et ainsi de suite à l’infini.
Au reste, il peut arriver quelquefois que les termes
et
aient les mêmes propriétés que les termes
et
c’est-à-dire que
soit divisible par
et que
laisse l’unité pour reste. Dans ces cas on pourra s’arrêter à ces mêmes termes ; car les restes des termes suivants
seront les mêmes que ceux des termes
et ainsi des autres.
En général, nous désignerons par
la plus petite valeur de l’exposant
qui rendra
et
divisibles par
79. Supposons maintenant que l’on ait une expression quelconque composée de
et
et de nombres entiers donnés, de manière qu’elle représente toujours des nombres entiers, et qu’il s’agisse de trouver les valeurs qu’il faudrait donner à l’exposant
pour que cette expression devienne divisible par un nombre quelconque donné
il n’y aura qu’à faire successivement
jusqu’à
et, si aucune de ces suppositions ne rend l’expression proposée divisible par
on en conclura hardiment qu’elle ne peut jamais le devenir, quelques valeurs qu’on donne à
.
Mais, si l’on trouve de cette manière une ou plusieurs valeurs de
qui rendent la proposée divisible par
alors nommant
chacune de ces valeurs, toutes les valeurs possibles de
qui pourront faire le même effet seront
![{\displaystyle \mathrm {N,\quad N+M,\quad N+2M,\quad N+3M} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e49af82c44606623ec9bd7ef6dfe3865b811f09)
et, en général,
![{\displaystyle \mathrm {N+\lambda M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5778125f4ae212712daf6e92aed0526beb0d8a4)
étant un nombre entier quelconque.
De même, si l’on avait une autre expression composée de même de
et de nombres entiers donnés, laquelle dût être en même temps divisible par un autre nombre quelconque donné
on chercherait pareillement les valeurs convenables de
et de
que nous désignerons ici par
et
et toutes les valeurs de l’exposant
qui pourront satisfaire à la condition proposée seront renfermées dans la formule
![{\displaystyle \mathrm {N_{1}+\lambda _{1}M_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afc25b510db9495a438ea15fe915649b9509199)
étant un nombre quelconque entier. Ainsi il n’y aura plus qu’à chercher les valeurs qu’on doit donner aux nombres entiers
et
pour que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {N+\lambda M=N_{1}+\lambda _{1}M_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78ad0024404f0198e479cf4aacb5133a0cf50be)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {M\lambda -M_{1}\lambda _{1}=N_{1}-N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7767faf097446362a3e04330373ee142b5df63)
équation résoluble par la méthode du no 42.
Il est maintenant aisé de faire l’application de ce que nous venons de dire au cas du no 77, où les expressions proposées sont de la forme
![{\displaystyle \alpha t+\beta u+\gamma ,\quad \alpha _{1}t+\beta _{1}u+\gamma _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f648dfd1f3a9247b732ced7d084a81b44df904b)
et les diviseurs sont
et ![{\displaystyle \delta _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc12ab8e656b0205255f309239f74befce152622)
Il faudra seulement se souvenir de prendre les nombres
et
successivement en plus et en moins, pour avoir tous les cas possibles.
Exemple I.
80. Soit proposé de rendre rationnelle cette quantité
![{\displaystyle {\sqrt {30+62s-7s^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87237ccebb0a679bc4a134998999f38478ee159)
en ne prenant pour
que des nombres entiers.
On aura donc à résoudre cette équation
![{\displaystyle 30+62s-7s^{2}=y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e522886d9a0fe06bb3789bd43e92af2fe26a50)
laquelle, étant multipliée par
peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle 7.30+(31)^{2}-(7s-31)^{2}=7y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19adfbde45371cb54ffbede75434a1d24339ef9a)
ou bien, en faisant
et transposant,
![{\displaystyle x^{2}=1171-7y^{2},\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+7y^{2}=1171.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9adb5e1d36c53f13aa167b4b34c7586e5fb360)
Cette équation est donc maintenant dans le cas du no 64, de sorte qu’on aura
et
d’où l’on voit d’abord que
et
doivent être premiers entre eux, puisque ce dernier nombre ne renferme aucun facteur carré.
On fera, suivant la méthode du no 65,
![{\displaystyle x=ny-1171z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9b0676d5235e950042b631d3b506ec7cdd3d2a)
et il faudra, pour que l’équation soit résoluble, que l’on puisse trouver pour
un nombre entier, positif ou négatif, non
c’est-à-dire non
tel que
ou
soit divisible par
ou par ![{\displaystyle 1171.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29a5cba1c8749b8b12124cc892ed87a2a29b141)
Je trouve
ce qui donne
ainsi je substitue dans l’équation précédente
à la place de
moyennant quoi elle se trouve toute divisible par
et la division faite, elle devient
![{\displaystyle 88y^{2}\mp 642yz+1171z^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2d39ab90377bab58ed933e23a63cd2747fb87f)
Pour résoudre cette équation je vais faire usage de la seconde méthode exposée dans le no 70, parce qu’elle est en effet plus simple et plus commode que la première. Or, comme le coefficient de
est plus petit que celui de
j’aurai ici
et
donc, retenant pour plus de simplicité la lettre
à la place de
, et mettant
à la place de
je ferai le calcul suivant, où je supposerai d’abord
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}m\ \,=&{\frac {321}{88}}=4,&n_{1}=&321-4.88=-31,\\m_{1}=&{\frac {-31}{11}}=-3,&n_{2}=&-31+3.11=2,\\m_{2}=&{\frac {2}{1}}=2,&n_{3}=&2-2.1=0,\\\\\mathrm {D} _{2}=&{\frac {31^{2}+7}{88}}=11,\qquad &y\ \,=&4y_{1}+y_{2},\\\mathrm {D} _{3}=&{\frac {4+7}{11}}=1,&y_{1}=&-3y_{2}+y_{3},\\\mathrm {D} _{4}=&{\frac {7}{1}}=7,&y_{2}=&2y_{3}+y_{4}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8197ad370c519ebd172cb1932db464bed25f419)
Puisque
et par conséquent
et
on s’arrêtera ici et l’on fera
![{\displaystyle \mathrm {D_{3}=M=1,\quad D_{4}=L} =7,\quad n_{3}=0=\mathrm {N} ,\quad {\text{et}}\quad y_{3}=\xi ,\quad y_{4}=\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bb4493cf012774e142622ec77d202fada1eca5)
à cause que
est ![{\displaystyle <\mathrm {D} _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b60d655279f028bea88db0406c4c3d76f89dd9)
Maintenant je remarque que,
étant
et par conséquent négatif, il faut, pour la résolubilité de l’équation, que l’on ait
c’est ce que l’on vient de trouver, de sorte qu’on en peut conclure d’abord que la résolution est possible. On supposera donc
et l’on aura, par les formules ci-dessus,
![{\displaystyle y_{2}=\pm 1,\quad y_{1}=\mp 3=z,\quad y=\mp 12\pm 1=\mp 11,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c7c6d5ce1cac8b4fda1a72797640d2150b7562)
les signes ambigus étant à volonté. Donc
![{\displaystyle x=321y-1171z=18,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5025f518fa69fcf8a2fc318c95d94808cefaf12b)
et conséquemment
![{\displaystyle s={\frac {x+31}{7}}={\frac {31\mp 18}{7}}={\frac {13}{7}},\quad {\text{ou}}\quad ={\frac {49}{7}}=7.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4399b07918a34aa9775590821b4c5b36218cb60d)
Or, comme on exige que la valeur de
soit égale à un nombre entier, on ne pourra prendre que
.
Il est remarquable que l’autre valeur de
savoir
quoique fractionnaire, donne néanmoins un nombre entier pour la valeur du radical
et le même nombre
que donne la valeur
de sorte que ces deux valeurs de
seront les racines de l’équation
![{\displaystyle 30+62s-7s^{2}=121.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb4ba7ee3da481154e70eeb45258291ec31ad9e)
Nous avons supposé ci-dessus
or on peut faire également
mais il est facile de voir d’avance que tout le changement qui en résultera dans les formules précédentes, c’est que les valeurs de
et de
changeront de signe ; moyennant quoi les valeurs de
et de
deviendront aussi de différents signes, ce qui ne donnera aucun nouveau résultat, puisque ces valeurs ont déjà d’elles-mêmes le signe ambigu
Il en sera de même dans tous les autres cas, de sorte qu’on pourra toujours se dispenser de prendre successivement la valeur de
en plus et en moins.
La valeur
que nous venons de trouver, résulte de la valeur de
on pourrait trouver d’autres valeurs de
si l’on trouvait d’autres valeurs de
qui eussent la condition requise ; mais, comme le diviseur
est un nombre premier, il ne saurait y avoir d’autres valeurs de
de la même qualité, comme nous l’avons démontré ailleurs [Mémoires de Berlin pour l’année 1767, page 194[15]], d’où il faut conclure que le nombre
est le seul qui puisse satisfaire à la question.
J’avoue, au resté, qu’on peut résoudre le Problème précédent avec plus de facilité par le simple tâtonnement ; car, dès qu’on est parvenu à l’équation
![{\displaystyle x^{2}=1171-7y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7464cb95041ba3171ae85fbb6bbd3686796e4e2c)
il n’y aura qu’à essayer pour
tous les nombres entiers dont les carrés multipliés par
ne surpasseront pas
c’est-à-dire tous les nombres ![{\displaystyle <{\sqrt {\frac {1171}{7}}}<13.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa21a6300bfdc7f530f600ba569db05fa92b76c)
Il en est de même de toutes les équations où
est un nombre négatif ; car, dès qu’on est arrivé à l’équation
![{\displaystyle x^{2}=\mathrm {B} +\mathrm {A} y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481a5f89783fd9ec9cb8e808a34a80e436aa1235)
ou, en faisant ![{\displaystyle \mathrm {A} =-a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae3309233ac91bbb019ea61b8158ed1c678d4dc)
![{\displaystyle x^{2}=\mathrm {B} -ay^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab4a9eec1d10ae3feb11045e902faa438d988ca)
il est clair que les valeurs satisfaisantes de
, s’il y en a, ne pourront se trouver que parmi les nombres
Aussi n’ai-je donné des méthodes particulières, pour le cas de
négatif, que parce que ces méthodes ont une liaison intime avec celles qui concernent le cas de
positif, et que toutes ces méthodes, étant ainsi rapprochées les unes des autres, peuvent se prêter un jour mutuel et acquérir un plus grand degré d’évidence.
Exemple II.
81. Donnons maintenant quelques Exemples pour le cas de
positif, et soit proposé de trouver tous les nombres entiers qu’on pourra prendre pour
en sorte que la quantité radicale
![{\displaystyle {\sqrt {13y^{2}+101}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf193d1eaad5d492aa79cca93bae0121d0fe5c55)
devienne rationnelle.
On aura ici, no 64,
et l’équation à résoudre en entiers sera
![{\displaystyle x^{2}-13y^{2}=101,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dfa13dac82b12a5f867482db1eb6bfc2f6d1e7)
dans laquelle, à cause que
n’est divisible par aucun carré,
sera nécessairement premier à ![{\displaystyle 101.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5a39e9a6f7fcd4ac59e1791f0cb363e1e67c74)
On fera donc (no 65)
![{\displaystyle x=ny-101z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa503fc1a33dcf9a8fcf8c57a420e75c32cbcd6)
et il faudra que
soit divisible par
en prenant ![{\displaystyle n<{\frac {101}{2}}<51.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57253e1d42448a4dda2fd425a4792390d7cf6326)
Je trouve
ce qui donne
![{\displaystyle n^{2}=1225,\quad {\text{et}}\quad n^{2}-13=1212=101.12\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d492355eefa79346384c08a8377c57e7272308)
ainsi l’on pourra prendre
et substituant, au lieu de
on aura une équation toute divisible par
qui, la division faite, sera
![{\displaystyle 12y^{2}\mp 70yz+101z^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3913c27b6b16b81c90a95dd3ccb773d842bc386b)
Employons encore, pour résoudre cette équation, la méthode du no 70 ; faisons
mais, au lieu de la lettre
nous conserverons la lettre
et nous changerons seulement
en
comme dans l’exemple précédent.
Soit : 1o
on fera le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}m\ \,=&{\frac {35}{12}}=3,\quad &n_{1}=&35-3.12=-1,\quad &\mathrm {D} _{2}=&{\frac {1-13}{12}}=-1,\quad &y\ \,=&3y_{1}+y_{2},\\m_{1}=&{\frac {-1}{-1}}=1,&n_{2}=&-1+1=0,&\mathrm {D} _{3}=&{\frac {-13}{-1}}=13,&y_{1}=&y_{2}+y_{3}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35bf32add69c2ca2a4c5007d2067ac96e6aa947)
Comme
et conséquemment
et
on s’arrêtera ici et l’on aura la transformée
![{\displaystyle \mathrm {D} _{3}y_{2}^{2}-2n_{2}y_{2}y_{3}+\mathrm {D} _{2}y_{3}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c687cd8dccd37b33f43b7af49097e391969056c2)
ou bien
![{\displaystyle 13y_{2}^{2}-y_{3}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d81f30a42a7b888736caaeaec1e670064317132)
laquelle, étant réduite à cette forme
![{\displaystyle y_{3}^{2}-13y_{2}^{2}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be70e174b94c7796095bcc729cfe468eb99284c1)
sera susceptible de la méthode du no 71, 2o ; et, comme
est
on pourra faire usage de la Table du no 41.
Ainsi il n’y aura qu’à voir si, dans la série supérieure des nombres qui répondent à
il se trouve le nombre
dans une place paire ; car il faut, pour que l’équation précédente soit résoluble, que dans la série
il se trouve un terme
mais on a
donc, etc. Or, dans la série
on trouve justement
à la sixième place, en sorte que
donc on aura une solution de l’équation proposée, en prenant
et
les nombres
étant calculés d’après les formules du no 25, en donnant à
les valeurs
qui forment la série inférieure des nombres répondant à
dans la même Table.
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p_{0}=&1,&q_{0}=&0,\\p_{1}=&3,&q_{1}=&1,\\p_{2}=&p_{1}+p_{0}=4,&q_{2}=&1,\\p_{3}=&p_{2}+p_{1}=7,&q_{3}=&q_{2}+q_{1}=2,\\p_{4}=&p_{3}+p_{2}=11,\qquad &q_{4}=&q_{3}+q_{2}=3,\\p_{5}=&p_{4}+p_{3}=18,&q_{5}=&q_{4}+q_{3}=5.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c87686d43a37de7a95fea3a5754a1de486052e)
Donc
et
donc
![{\displaystyle y_{1}=y_{2}+y_{3}=23,\quad {\text{et}}\quad y=3y_{1}+y_{2}=74.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d2840d158e2f714887b937b72f1431c4237355)
Nous avons supposé ci-dessus
mais on peut aussi prendre
Soit donc : 2o
on fera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}m\ \,=&{\frac {-35}{12}}=-3,\quad &n_{1}=&-35+3.12=1,\quad &\mathrm {D} _{2}=&{\frac {1-13}{12}}=-1,\quad &y\ \,=&-3y_{1}+y_{2},\\m_{1}=&{\frac {1}{-1}}=-1,&n_{2}=&1-1=0,&\mathrm {D} _{3}=&{\frac {-13}{-1}}=13,&y_{1}=&-y_{2}+y_{3}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3d7785660ca51eeaa46d147e0d54a508914746)
ainsi l’on aura les mêmes valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {D_{2},D_{3}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8830ac2b771e0ca018694147d1ed1dfc9147bba5)
et
![{\displaystyle n_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840e456e3058bc0be28e5cf653b170cdbfcc3be4)
qu’auparavant, de sorte que la transformée en
![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998)
et
![{\displaystyle y_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e73a90104a9b6484a6bc2df35edf469d6307b2c)
sera aussi la même.
On aura donc aussi
et
donc
![{\displaystyle y_{1}=-y_{2}+y_{3}=13,\quad {\text{et}}\quad y=-3y_{1}+y_{2}=-34.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ca17356b4c24fd786305bf4eb140217ee0c8d4)
Nous avons donc trouvé deux valeurs de
avec les valeurs correspondantes de
ou
et ces valeurs résultent de la supposition de
or, comme on ne peut trouver aucune autre valeur de
qui ait les conditions requises, il s’ensuit que les valeurs précédentes seront les seules valeurs primitives que l’on puisse avoir ; mais on pourra ensuite en trouver une infinité de dérivées par la méthode du no 72.
Prenant donc ces valeurs de
et
pour
et
on aura, en général (numéro cité),
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&74t-(101.23-35.74)u=74t+267u,\\z=&23t+(12.74-35.23)u=23t+83u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005ba9a43fc361ca2362a7aa9ad4fe8d3bdde875)
ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&-34t-(101.13-35.34)u=-34t-123u,\\z=&13t+(-12.34+35.13)u=13t+47u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3187dc04552065d8e91f8cad51c5938e4c247aa4)
et il n’y aura plus qu’à tirer les valeurs de
et
de l’équation
![{\displaystyle t^{2}-13u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9da507b5904c818c136aca44a922f99498beba)
Or ces valeurs se trouvent déjà toutes calculées dans la Table qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent ; on aura donc sur-le-champ
et
de sorte que, prenant ces valeurs pour
et
dans les formules du no 75, on aura en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&{\frac {\left(649+180{\sqrt {13}}\right)^{m}+\left(649-180{\sqrt {13}}\right)^{m}}{2}},\\u=&{\frac {\left(649+180{\sqrt {13}}\right)^{m}-\left(649-180{\sqrt {13}}\right)^{m}}{2{\sqrt {13}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4bfd4fe2c488e133d4887484cf5f70ffe64266)
où l’on pourra donner à
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
telle valeur qu’on voudra, pourvu qu’on ne prenne que des nombres entiers positifs.
Or, comme les valeurs de
et
peuvent être prises tant en plus qu’en moins, les valeurs de
qui peuvent satisfaire à la question seront toutes renfermées dans ces deux formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&\pm 74t\pm 267u,\\y=&\pm 34t\pm 123u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f909609d0d5ed53d0f1b353e6f2fb23d65c9d6)
les signes ambigus étant à volonté.
Si l’on fait
on aura
et
donc
![{\displaystyle r=\pm 74,\quad {\text{ou}}\quad =\pm 34,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1348189d790670328bad30c302ae3224c7c6b2a0)
et cette dernière valeur sera la plus petite qui puisse résoudre le Problème.
Nous avons déjà résolu ce même Problème dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1768, page 243[16] ; mais, comme nous y avons fait usage d’une méthode un peu différente de la précédente, et qui revient au même pour le fond que la première méthode du no 66 ci-dessus, nous avons cru devoir le redonner ici, pour que la comparaison des résultats, qui sont les mêmes par l’une et l’autre méthode, puisse leur servir de confirmation, s’il en est besoin.
Exemple III.
82. Soit proposé encore de trouver des nombres entiers qui, étant pris pour
rendent rationnelle la quantité
![{\displaystyle {\sqrt {79y^{2}+101}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80cb1ab725805be304987bfb844cf201513103f6)
On aura donc à résoudre en entiers l’équation
![{\displaystyle x^{2}-79y^{2}=101,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2668fb463c0cd761cfcfad1b16f790af13ffb514)
dans laquelle
sera premier à
puisque ce nombre ne renferme aucun facteur carré.
Qu’on suppose donc
![{\displaystyle x=ny-101z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa503fc1a33dcf9a8fcf8c57a420e75c32cbcd6)
et il faudra que
soit divisible par
en prenant
on trouve
ce qui donne
![{\displaystyle n^{2}-79=1010=101.10.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f838170461bfc9a9b63c60bf730ba17768e6525)
Ainsi l’on pourra prendre
et ces valeurs seront les seules qui aient la condition requise.
Substituant donc
à la place de
et divisant toute l’équation par
on aura cette transformée
![{\displaystyle 10y^{2}\mp 66yz+101z^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb07f488aef9d449b7f164ec9abba400f29029d5)
On fera donc
et, prenant d’abord
en plus, on opérera comme dans l’Exemple précédent ; on aura ainsi
![{\displaystyle m={\frac {33}{10}}=3,\quad n_{1}=33-3.10=3,\quad \mathrm {D} _{2}={\frac {9-79}{10}}=-7,\quad y=3y_{1}+y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06309ae7e23c8bc5bdc9e639637bc17177ff9ad)
Or, comme
est déjà
et
il ne sera pas nécessaire d’aller plus loin ; ainsi l’on aura la transformée
![{\displaystyle -7y_{1}^{2}-6y_{1}y_{2}+10y_{2}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c0b9c58f1e212b27118f0e86915f44d7443ac1)
laquelle, étant multipliée par
pourra se mettre sous cette forme
![{\displaystyle (7y_{1}+3y_{2})^{2}-79y_{2}^{2}=-7.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457cc7c8474733abd23d118e079c5509a978b596)
Puisque donc
est
si cette équation est résoluble, il faudra que le nombre
se trouve parmi les termes de la série supérieure des nombres qui répondent à
dans la Table du no 41, et même que ce nombre
y occupe une place paire, puisqu’il a le signe
Mais la série dont il s’agit ne renferme que les nombres
qui reviennent toujours ; donc on doit conclure sur-le-champ que la dernière équation n’est pas résoluble, et qu’ainsi la proposée ne l’est pas, au moins, d’après la valeur de
Il ne reste donc qu’à essayer l’autre valeur
laquelle donnera
![{\displaystyle m={\frac {-33}{10}}=-3,\quad n_{1}=-33+3.10=-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4745f21f866236f652b6180df28e55e15699cb)
![{\displaystyle \mathrm {D} _{2}={\frac {-9-79}{10}}=-7,\quad y=-3y_{1}+y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0601d41918087d954bbfd5e231531664a78ff4d8)
de sorte qu’on aura cette autre transformée,
![{\displaystyle -7y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}+10y_{2}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044db133cbcd7a16c292ed578ec1477f3a4193e7)
laquelle se réduit à la forme
![{\displaystyle (-7y_{1}-3y_{2})^{2}-79y_{2}^{2}=-7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd111e8e3e27274e336223261379e7831bc4396b)
qui est semblable à la précédente ; d’où je conclus que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.
Remarque.
83. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
lorsque
est un nombre premier ; c’est que l’équation doit être possible toutes les fois que
sera de la forme
ou
mais l’Exemple précédent met cette règle en défaut ; car
est un nombre premier de la forme
en faisant
et
cependant l’équation
![{\displaystyle x^{2}-79y^{2}=101}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca005234cb009a9cba805305b2487c0b04818e0)
n’admet aucune solution en nombres entiers.
Si la règle précédente était vraie, il s’ensuivrait que, si l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8251dc1c35a34d5cc7f7a5ad6b08ddc0f4b3db26)
est possible lorsque
a une valeur quelconque
elle le serait aussi en prenant
pourvu que
fût un nombre premier. On pour-
rait limiter cette dernière règle, en exigeant que
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
fût aussi un nombre premier ; mais avec cette limitation même elle se trouverait démentie par l’Exemple précédent, car on a
![{\displaystyle 101=4\mathrm {A} n+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e446b12ee560835488341c7745bcb5e253fb190e)
en prenant
![{\displaystyle n=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c989c8b70aa672c17f1044381903ef294387689)
et
![{\displaystyle b=733.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4716cf10b8dc9db0668dabaed32f541ab5daee93)
Or
![{\displaystyle 733}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c807055c3d00607f4f00f6a4ba684a85f2d1570c)
est un nombre premier de la forme
![{\displaystyle x^{2}-79y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a7a13a46ce942757ff1e1bf215aba36dc5ef4a)
en faisant
![{\displaystyle x=38}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3f39c10380f1e44180d1cb925e6c631f977118)
et
![{\displaystyle y=3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40140b65edc4bf9cef9bfff201356683adc6dbc)
cependant
![{\displaystyle 101}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a2f2ba5c3a850b0cc3d7efb40a3a7442ec6acc)
n’est pas de la même forme
§ VIII. —
Remarques sur les équations de la forme
et sur la manière ordinaire de les résoudre en nombres entiers.
84. La méthode du Chapitre VII du Traité précédent, pour résoudre les équations de cette espèce, est la même que celle que Wallis donne dans son Algèbre (Chapitre XCVIII), et qu’il attribue à mylord Brouncker ; on la trouve aussi dans l’Algèbre d’Ozanam, qui en fait honneur à Fermat. Quoi qu’il en soit de l’inventeur de cette méthode, il est au moins certain que Fermat est l’Auteur du Problème qui en fait l’objet ; il l’avait proposé comme un défi à tous les géomètres anglais, ainsi qu’on le voit par le Commercium epistolicum de Wallis c’est ce qui donna occasion à mylord Brouncker d’inventer la méthode dont nous parlons ; mais il ne paraît pas que cet Auteur ait connu toute l’importance du Problème qu’il avait résolu on ne trouve même rien sur ce sujet dans les écrits qui nous sont restés de Fermat, ni dans aucun des Ouvrages du siècle passé où l’on traite de l’Analyse indéterminée. Il est bien naturel de croire que Fermat, qui s’était principalement occupé de la Théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d’ailleurs laissé de très-beaux théorèmes, avait été conduit au Problème dont il s’agit par les recherches qu’il avait faites sur la résolution générale des équations de la forme
![{\displaystyle x^{2}=\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5667e0d16163a04307e4935678e8f1cc10ce5c)
auxquelles se réduisent toutes les équations du second degré à deux inconnues cependant ce n’est qu’à Euler que nous devons la remarque que ce Problème est nécessaire pour trouver toutes les solutions possibles de ces sortes d’équations. (Voir le Chapitre VI ci-dessus, le tome VI des anciens Commentaires de Pétersbourg, et le tome IX des nouveaux.)
La méthode que nous avons suivie pour démontrer cette proposition est un peu différente de celle d’Euler, mais aussi est-elle, si je ne me trompe, plus directe et plus générale ; car, d’un côté, la méthode d’Euler conduit naturellement à des expressions fractionnaires lorsqu’il s’agit de les éviter, et de l’autre on ne voit pas clairement que les suppositions qu’on y fait pour faire disparaître les fractions soient les seules qui puissent avoir lieu. En effet, nous avons fait voir ailleurs qu’il ne suffit pas toujours de trouver une seule solution de l’équation
![{\displaystyle x^{2}=\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5667e0d16163a04307e4935678e8f1cc10ce5c)
pour pouvoir en déduire toutes les autres à l’aide de l’équation
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} q^{2}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b7559ce1d8957ddf44e5e15a74278817ff3ee5)
et qu’il peut y avoir souvent, au moins lorsque
n’est pas un nombre premier, des valeurs de
et
qui ne sauraient être renfermées dans les expressions générales d’Euler. [Voir le no 45 de mon Mémoire sur les Problèmes indéterminés, dans les Mémoires de Berlin, année 1767[17].]
Quant à la méthode de résoudre les équations de la forme
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} q^{2}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b7559ce1d8957ddf44e5e15a74278817ff3ee5)
il nous semble que celle du Chapitre VII, quelque ingénieuse qu’elle soit, est encore assez imparfaite ; car 1o elle ne fait pas voir que toute équation de ce genre est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque
est un nombre positif non carré ; 2o il n’est pas démontré qu’elle doive faire parvenir toujours à la résolution cherchée. Wallis, il est vrai, a prétendu prouver la première de ces deux propositions ; mais sa démonstration n’est, si j’ose le dire, qu’une simple pétition de principe. (Voir le Chapitre XCIX de son Algèbre.) Je crois donc être le premier qui en ait donné une tout à fait rigoureuse ; elle se trouve dans les Mélanges de Turin, tome IV[18] ; mais elle est très-longue et très-indirecte ; celle du no 37 ci-dessus est tirée des vrais principes de la chose, et ne laisse, ce me semble, rien à désirer. Cette méthode nous met aussi en état d’apprécier celle du Chapitre VII, et de reconnaître les inconvénients où l’on pourrait tomber si on la suivait sans aucune précaution ; c’est ce que nous allons discuter.
85. De ce que nous avons démontré dans le § II, il s’ensuit que les valeurs de
et
qui satisfont à l’équation
ne peuvent être que les termes de quelqu’une des fractions principales déduites de la fraction continue qui exprimerait la valeur de
de sorte que, supposant cette fraction continue représentée ainsi
![{\displaystyle \mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+{\cfrac {1}{\mu _{3}+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13049ed9fab292047239ddf646427d68746fe0b2)
on aura nécessairement
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots +{\cfrac {1}{\mu _{\rho }}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55cc37228d2d9df48dd9fdd8b42d23d4f47844a)
étant un terme quelconque de la série infinie
dont le quantième
ne peut se déterminer qu’a posteriori.
Il faut remarquer que dans cette fraction continue les nombres ![{\displaystyle \mu ,\mu _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734249de2bbaecbadceafe7813ea14d6bcb03cce)
doivent être tous positifs, quoique nous ayons vu dans le no 3 qu’on peut, en général, dans les fractions continues, rendre les dénominateurs positifs ou négatifs, suivant que l’on prend les valeurs approchées plus petites ou plus grandes que les véritables ; mais la méthode du Problème I (nos 23 et suivants) exige absolument que les valeurs approchées
soient toutes prises en défaut.
86. Maintenant, puisque la fraction
est égale à une fraction continue dont les termes sont
il est clair, par le no 4, que
sera le quotient de
divisé par
que
sera celui de
divisé par le reste,
celui de ce reste divisé par le second reste, et ainsi de suite ; de sorte que, nommant
les restes dont il s’agit, on aura, par la nature de la division,
![{\displaystyle p=\mu q+r,\quad q=\mu _{1}r+s,\quad r=\mu _{2}s+t,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36fb9b7f28a7dfefec99ab071d6bf9b333771c9)
où le dernier reste sera nécessairement
et l’avant-dernier
à cause que
et
sont des nombres premiers entre eux. Ainsi
sera la valeur entière approchée de
celle de
celle de
etc., ces valeurs étant toutes prises moindres que les véritables, à l’exception de la dernière
qui sera exactement égale à la fraction correspondante, à cause que le reste suivant est supposé nul.
Or, comme les nombres
sont les mêmes pour la fraction continue qui exprime la valeur de
et pour celle qui exprime la valeur de
on peut prendre, jusqu’au terme
c’est-à-dire
Ainsi on cherchera d’abord la valeur approchée en défaut de
c’est-à-dire de
et ce sera la valeur de
ensuite on substituera dans
à la place de
sa valeur
ce qui donnera
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)q^{2}+2\mu qr+r^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f649422b2b88e6201766b1bd3f60ef8731004d0f)
et l’on cherchera de nouveau la valeur approchée en défaut de
c’est-à-dire de la racine positive de l’équation
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)\left({\frac {q}{r}}\right)^{2}+2\mu {\frac {q}{r}}+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644cf855e88117fe94a88b19dd22f55710d27e21)
et l’on aura la valeur de ![{\displaystyle \mu _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7579f6c2fa795243fecfaa63b3ec3714641cef1c)
On continuera à substituer dans la transformée
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)q^{2}+2\mu qr+r^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f649422b2b88e6201766b1bd3f60ef8731004d0f)
à la place de
![{\displaystyle \mu _{1}r+s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318655a75875167711ec2dc3b1cc72d08488b085)
on aura une équation dont la racine sera
![{\displaystyle {\frac {r}{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585251c89ac2a10bc66a7e4df82964614a6fc131)
on prendra la valeur approchée en défaut de cette racine, et l’on aura la valeur de
![{\displaystyle \mu _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d328662f7cf33d673c19e410da073e440149c67)
On substituera
![{\displaystyle \mu _{2}r+s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22be69f9b15517d57d85b60c12144bc985fb6996)
à la place de
![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
etc.
Supposons maintenant que
soit, par exemple, le dernier reste, qui doit être nul ;
sera l’avant-dernier, qui doit être
donc, si la transformée en
et
de la formules
est
![{\displaystyle \mathrm {P} s^{2}+\mathrm {Q} st+\mathrm {R} t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695e944236972b1f9c7129cf38bc15819cc4bf28)
il faudra qu’en y faisant
et
elle devienne
pour que l’équation proposée
ait lieu ; donc
devra être
Ainsi il n’y aura qu’à continuer les opérations et les transformations ci-dessus jusqu’à ce que l’on parvienne à une transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité ; alors on fera dans cette formule la première des deux indéterminées, comme
égale à
et la seconde, comme
égale à zéro, et en remontant on aura les valeurs convenables de
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
On pourrait aussi opérer sur l’équation même
en ayant seulement soin de faire abstraction du terme tout connu
et par conséquent aussi des autres termes tout connus qui peuvent résulter de celui-ci, dans la détermination des valeurs approchées
de
dans ce cas on essayera, à chaque nouvelle transformation, si l’équation transformée peut subsister en y faisant l’une des deux indéterminées
et l’autre
quand on sera parvenu à une pareille transformée, l’opération sera achevée, et il n’y aura plus qu’à revenir sur ses pas pour avoir les valeurs cherchées de
et de
.
Nous voilà donc conduits à la méthode du Chapitre VII. À examiner cette méthode en elle-même et indépendamment des principes d’où nous venons de la déduire, il doit paraître assez indifférent de prendre les valeurs approchées de
plus petites ou plus grandes que les véritables, d’autant que, de quelque manière qu’on prenne ces valeurs, celles de
doivent aller également en diminuant jusqu’à zéro (no 6).
Aussi, Wallis remarque-t-il expressément qu’on peut employer à volonté les limites en plus ou en moins pour les nombres
et il propose même ce moyen comme propre à abréger souvent le calcul c’est aussi ce que Euler fait observer dans le no 102 et suivant du Chapitre cité ; cependant je vais faire voir par un exemple qu’en s’y prenant de cette manière on peut risquer de ne jamais parvenir à la solution de l’équation proposée.
Prenons l’Exemple du no 101 du même Chapitre, où il s’agit de résoudre une équation de cette forme
![{\displaystyle p^{2}=6q^{2}+1,\quad {\text{ou bien}}\quad p^{2}-6q^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359ac937c6b5cc11e004b49f0744f72b76576924)
On aura donc
et, négligeant le terme constant
donc
et
prenons la limite en moins, et faisons
et ensuite
substituant donc cette valeur, on aura
![{\displaystyle -2q^{2}+4qr+r^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8437c221de3dc5dbd930c1b36688f5ce12672275)
donc
![{\displaystyle q={\frac {2r+{\sqrt {6r^{2}-2}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b151117a835bc7dc6f9e0cd3e75080ff9c272a)
ou bien, en rejetant le terme constant ![{\displaystyle -2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb5d712782dc39d55b585dfb6f09d13ea8de163)
![{\displaystyle q={\frac {2r+r{\sqrt {6}}}{2}},\quad {\text{d’où}}\quad {\frac {q}{r}}={\frac {2+{\sqrt {6}}}{2}}>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c56ed5957d932520c03c6d5b9c18dc50944ded3)
et
![{\displaystyle <3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504216a3c03bf1f2173a7019f545bdc78f14040b)
Prenons de nouveau la limite en moins, et faisons
la dernière équation deviendra
![{\displaystyle r^{2}-4rs-2s^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfac534f28122974ca50915c83aba00ceddc704d)
où l’on voit d’abord qu’on peut supposer
et
ainsi l’on aura
![{\displaystyle p=5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fc7830513d5e6b7ea693bf0ba13cf5a36f779c)
Maintenant reprenons la première transformée
![{\displaystyle -2q^{2}+4qr+r^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588d7ca76966df38fd29e7661b7885ab7b309afb)
où nous avons vu que
et
et, au lieu de prendre la limite en
moins, prenons-la en plus, c’est-à-dire, supposons
![{\displaystyle q=3r+s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afca8d7ca5c77946d953830241981cf5936d4128)
ou bien, puisque
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
doit être alors une quantité négative,
![{\displaystyle q=3r-s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825ca7d111eee03086ce3625cae91f2e6ec35aa4)
on aura la transformée suivante
![{\displaystyle -5r^{2}+8rs-2s^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5595bc62149bea1048420359b30c1a0a678970e3)
laquelle donnera
![{\displaystyle r={\frac {4s+{\sqrt {6s^{2}+5}}}{5}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544094200c83e40cf4f41847f64caf404f380bf4)
donc, négligeant le terme constant ![{\displaystyle 5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b13068804ccdd036a5e780d3848bf98ed516a4d)
![{\displaystyle r={\frac {4s+s{\sqrt {6}}}{5}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {r}{s}}={\frac {4+{\sqrt {6}}}{5}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7fee9aded56d8b257a8ecafdd1d7d4a38b4927)
et
![{\displaystyle <2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466708c9ee7e47e93191222377bf85efe4e7d378)
Prenons de nouveau la limite en plus, et faisons
on aura
![{\displaystyle -6s^{2}+12st-5t^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cb997f7721e0ee00655400985cc0a5228d5007)
donc
![{\displaystyle s={\frac {6t+{\sqrt {6t^{2}-6}}}{6}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b023bc0ae71b57f37635e7a03227fbb3efa0bc)
donc, rejetant le terme ![{\displaystyle -6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1e697fe2bf58f2171f3370f7d219d714e697d3)
![{\displaystyle s={\frac {6t+t{\sqrt {6}}}{6}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {s}{t}}=1+{\frac {\sqrt {6}}{6}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8ddfe528751ccf16830a9d411a6c662af42856)
et
![{\displaystyle <2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466708c9ee7e47e93191222377bf85efe4e7d378)
Qu’on continue à prendre les limites en plus, et qu’on fasse
il viendra
![{\displaystyle -5t^{2}+12tu-6u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1384967f9abc65c559305969c1ea2015d3f7032c)
donc
![{\displaystyle t={\frac {6u+{\sqrt {6u^{2}-5}}}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a458dd0d21d5300fc15ce1fb6848cf687a3981a2)
donc
![{\displaystyle {\frac {t}{u}}={\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c12edd642b35194229c47f644343f19cc7aef5)
et
![{\displaystyle <2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466708c9ee7e47e93191222377bf85efe4e7d378)
Faisons donc de même
on aura
![{\displaystyle -2u^{2}+8ux-5x^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967534ded0a6657d4570eb86fa8e92756ed7dac1)
donc, etc.
Continuant de cette manière à prendre toujours les limites en plus, on ne trouvera jamais de transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité, comme il le faut, pour qu’on puisse trouver une solution de la proposée.
La même chose arrivera nécessairement toutes les fois qu’on prendra la première limite en moins et les suivantes toutes en plus ; je pourrais en donner la raison a priori ; mais, comme le lecteur peut la trouver aisément par les principes de notre Théorie, je ne m’y arrêterai pas. Quant à présent, il me suffit d’avoir montré la nécessité de traiter ces sortes de Problèmes d’une manière plus rigoureuse et plus profonde qu’on ne l’avait encore fait.
§ IX. — De la manière de trouver des fonctions algébriques de tous les degrés, qui, étant multipliées ensemble, produisent toujours des fonctions semblables.
(Addition pour les Chapitres XI et XII.)
87. Je crois avoir eu, en même temps qu’Euler, l’idée de faire servir les facteurs irrationnels et même imaginaires des formules du second degré à trouver les conditions qui rendent ces formules égales à des carrés ou à des puissances quelconques ; j’ai lu sur ce sujet à l’Académie, en 1768, un Mémoire qui n’a pas été imprimé, mais dont j’ai donné un précis à la fin de mes Recherches sur les Problèmes indéterminés, qui se trouvent dans le volume pour l’année 1767[19], lequel a paru en 1769, avant même la traduction allemande de l’Algèbre d’Euler.
J’ai fait voir, dans l’endroit que je viens de citer, comment on peut étendre la même méthode à des formules de degrés plus élevés que le second ; et j’ai par ce moyen donné la solution de quelques équations dont il aurait peut-être été fort difficile de venir à bout par d’autres voies. Je vais maintenant généraliser encore davantage cette méthode, qui me paraît mériter particulièrement l’attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité.
88. Soient
et
les deux racines de l’équation du second degré
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)
et considérons le produit de ces deux facteurs
![{\displaystyle (x+\alpha y)(x+\beta y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363372362260ce4c4843b509565ad960f162a26a)
qui sera nécessairement réel ; ce produit sera
![{\displaystyle x^{2}+(\alpha +\beta )xy+\alpha \beta y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6373280d82a380b9a17f8c8433daa28c5e6dcf)
or on a
et
par la nature de l’équation
donc on aura cette formule du second degré
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
laquelle est composée des deux facteurs
![{\displaystyle x+\alpha y\quad {\text{et}}\quad x+\beta y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6abcd31a89466faeaa1de8da60a993a6922b748)
Maintenant il est visible que, si l’on a une formule semblable
![{\displaystyle x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cf69237dcde02bad40b9340180edc76bffbfcc)
et qu’on veuille les multiplier l’une par l’autre, il suffira de multiplier ensemble les deux facteurs
et les deux
ensuite les deux produits l’un par l’autre. Or le produit de
par
est
![{\displaystyle xx_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1})+\alpha ^{2}yy_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee81142128d6c51a2c5c1f7a8efb856e0e2a09e)
mais, puisque
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{2}-a\alpha +b=0\,;\quad {\text{donc}}\quad \alpha ^{2}=a\alpha -b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bf32e0e284e053ac905c1b6387badf3555767e)
donc, substituant cette valeur de
![{\displaystyle \alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850832395fd0deec6790b4b2265df6656f08ef2)
dans la formule précédente, elle deviendra
![{\displaystyle xx_{1}-byy_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1}+ayy_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bfbea16db07eb5a042842ba4325a51e039fe15)
de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&xx_{1}-byy_{1},\\\mathrm {Y} =&xy_{1}\,-yx_{1}+ayy_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feade9370fd8b397f58fbe676f801a427a60780)
le produit des deux facteurs
sera
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf53965a28622392a44098ff48db168634fb895)
et par conséquent de la même forme que chacun d’eux. On trouvera de même que le produit des deux autres facteurs
et
sera
![{\displaystyle \mathrm {X+\beta Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db50316fe42ba715dfd3cdf28186bea533069b4)
de sorte que le produit total sera
![{\displaystyle \mathrm {(X+\alpha Y)(X+\beta Y)} ,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805252fe8a03f75665b421e90fe446d0b7dfcec5)
C’est le produit des deux formules semblables
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ff8170b6dd4630d9c1b9d7745aac0c78189edd)
Si l’on voulait avoir le produit de ces trois formules semblables
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},\\&x_{2}^{2}+ax_{2}y_{2}+by_{2}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0bf913fad2d637935556566e3be24e70b62e83)
il n’y aurait qu’à trouver celui de la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
par la dernière
et il est visible par les formules ci-dessus qu’en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&\mathrm {X} x_{2}-b\mathrm {Y} y_{2},\\\mathrm {Y} _{1}=&\mathrm {X} y_{2}\,+\mathrm {Y} x_{2}+a\mathrm {Y} y_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bef16cfb9ffcc04e0da89d0c055e922f4452747)
le produit cherché serait
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X} _{1}\mathrm {Y} _{1}+b\mathrm {Y} _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe7de8665c41d222560e336916e9be596048399)
On pourra trouver de même le produit de quatre ou d’un plus grand nombre de formules semblables à celle-ci
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et ces produits seront toujours aussi de la même forme.
89. Si l’on fait
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{2}-by^{2},\quad \mathrm {Y} =2xy+ay^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab135605e71b7c4eaa1a1dab5310b41b7c8eed6c)
et par conséquent
![{\displaystyle \left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{2}=\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1990dc23448685008b4f5b4cf990b00b9ffa9e)
Donc, si l’on veut trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
devienne un carré, il n’y aura qu’à donner à
et à
les valeurs précédentes, et l’on aura pour la racine du carré la formule
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et
étant deux indéterminées.
Si l’on fait de plus
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} x-b\mathrm {Y} y,\quad \mathrm {Y} _{1}=\mathrm {X} y+\mathrm {Y} x+a\mathrm {Y} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d9a0542d8f36ebb1dcb11c97f03b8ef4a6b50f)
c’est-à-dire, en substituant les valeurs précédentes de
et ![{\displaystyle \mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfe55c77be1229851f04a8368f8b6f25f51f47d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&x^{3}-3bxy^{2}-aby^{3},\\\mathrm {Y} _{1}=&3x^{2}y+3axy^{2}+\left(a^{2}-b\right)y^{3}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c377ee89804f79b7d876f92b5ad49d43f8a8b812)
donc
![{\displaystyle \left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{3}=\mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3997b3b1814730e0fdce3ae1dad52cb85f4f483)
Ainsi, si l’on proposait de trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6205b358c4001236d343b45b9376cf1c7b2f623)
devînt un cube, il n’y aurait qu’à donner à
et
les valeurs précédentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine serait
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et
étant deux indéterminées.
On pourrait résoudre d’une manière semblable les questions où il s’agirait de produire des puissances quatrièmes, cinquièmes,… ; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance quelconque
sans passer par les puissances inférieures.
Soit donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
devienne une puissance
c’est-à-dire qu’il s’agisse de résoudre l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}=\mathrm {Z} ^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667eccb21ffbe1077bb2a20f663c9e52920a695e)
Comme la quantité
est formée du produit des deux facteurs
et
il faudra, pour que cette quantité devienne une puissance de degré
que chacun de ses deux facteurs devienne aussi une semblable puissance.
Faisons donc d’abord
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y} =(x+\alpha y)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f26ba8ae1b5a51eee95149e3bad34b63c6afb73)
et, développant cette puissance par le théorème de Newton, on aura
![{\displaystyle x^{m}+mx^{m-1}y\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\alpha ^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\alpha ^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be021789b8e2acb90867a24f50a2f24f2df4648f)
Or, puisque
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)
on aura aussi
![{\displaystyle \alpha ^{2}-a\alpha +b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ab5d2929033c0ce37b3b1d6bf5f9b46f3ed5d)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ^{2}=&a\alpha -b,\qquad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha -ab,\\\alpha ^{4}=&\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-ab\alpha =\left(a^{3}-2ab\right)\alpha -a^{2}b+b^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb3dfe2fb271d71f3f8fd290bbb4697ce6d9552)
et ainsi de suite. Ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans la formule précédente, et elle se trouvera par là composée de deux parties, l’une toute rationnelle qu’on comparera à
et l’autre toute multipliée par la racine
qu’on comparera à ![{\displaystyle \alpha \mathrm {Y} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bcb152cf1bdddd1ebe73a9d936c3bb91a80e03)
Si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} _{1}&=1,&\mathrm {B} _{1}&=0,\\\mathrm {A} _{2}&=a,&\mathrm {B} _{2}&=b,\\\mathrm {A} _{3}&=a\mathrm {A} _{2}-b\mathrm {A} _{1},&\mathrm {B} _{3}&=a\mathrm {B} _{2}-b\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {A} _{4}&=a\mathrm {A} _{3}-b\mathrm {A} _{2},&\mathrm {B} _{4}&=a\mathrm {B} _{3}-b\mathrm {B} _{2},\\\mathrm {A} _{5}&=a\mathrm {A} _{4}-b\mathrm {A} _{3},\qquad &\mathrm {B} _{5}&=a\mathrm {B} _{4}-b\mathrm {B} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9206340a29a72a2050ea45b55fcc617461a9c076)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ \,&=\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}} ,\\\alpha ^{2}&=\mathrm {A_{2}\alpha -B_{2}} ,\\\alpha ^{3}&=\mathrm {A_{3}\alpha -B_{3}} ,\\\alpha ^{4}&=\mathrm {A_{4}\alpha -B_{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d07669c674f0de4043fbbd0de84fda0a8558e5)
Donc, substituant ces valeurs et comparant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{m}-mx^{m-1}y\mathrm {B} _{1}-{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\mathrm {B} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e0a2195980234bde81151d66e33f786a040106)
![{\displaystyle -{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\mathrm {B} _{3}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f960885b202f796160172ef7c3719e073d7eae2)
![{\displaystyle \mathrm {Y} =mx^{m-1}y\mathrm {A} _{1}+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\mathrm {A} _{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\mathrm {A} _{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56cf7538665927ae4e12eef4f333517e3695557)
Or, comme la racine
n’entre point dans les expressions de
et
il est clair qu’ayant
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y} =(x+\alpha y)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f26ba8ae1b5a51eee95149e3bad34b63c6afb73)
on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {X+\beta Y} =(x+\beta y)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5031cbabf3364ad05709988c9d68d68a11dbea)
donc, multipliant ces deux équations l’une par l’autre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}=\left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434920cd7a5b16eaa3ef47239d79d4bb1f36771a)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {Z} =x^{2}+axy+by^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e34f232b95c29672f4a2450a8167ccdef0ab88)
Ainsi le Problème est résolu.
Si
était
les formules précédentes deviendraient beaucoup plus simples ; car on aurait
![{\displaystyle \mathrm {A_{1}=1,\ \ A_{2}=0,\ \ A_{3}} =-b,\ \ \mathrm {A_{4}=0,\ \ A_{5}} =b^{2},\ \ \mathrm {A_{6}=0,\ \ A_{7}} =-b^{3},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9a42623b88fb5c2cc9a8023715854f8e97fb1c)
et de même
![{\displaystyle \mathrm {B_{1}=0,\ \ B_{2}} =b,\ \ \mathrm {B_{3}=0,\ \ B_{4}} =-b^{2},\ \ \mathrm {B_{5}=0,\ \ B_{6}} =b^{3},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115360f9ec514a15a3bd2bd81a56fdd223ffcea1)
donc
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{m}-{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}b+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}x^{m-4}y^{4}b^{2}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21eadf4d96fb936a320e06a9ca1787a5d0e04644)
![{\displaystyle \mathrm {Y} =mx^{m-1}y+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2523d11b18f07afe25091777972d1bca9cd146)
![{\displaystyle +{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}}x^{m-5}y^{5}b^{2}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da02b61e49a7020b75b4824d95cc0b681e5379f)
et ces valeurs satisferont à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+b\mathrm {Y} ^{2}=\left(x^{2}+by^{2}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ab0daf19dd01e1df87a66448c732c212bfa557)
90. Passons maintenant aux formules de trois dimensions ; pour cela nous désignerons par
les trois racines de l’équation du troisième degré,
![{\displaystyle s^{3}-as^{2}+bs-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ecae7be38a5addd01a1428510af61140607050)
et nous considérerons ensuite le produit de ces trois facteurs
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa804c0894e9ce37284fe71bae8040b7e4c25a6)
lequel sera nécessairement rationnel, comme on va le voir. La multiplication faite, on aura le produit suivant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}&+(\alpha +\beta +\gamma )x^{2}y+\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)x^{2}z+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )xy^{2}\\&+\left(\alpha ^{2}\beta +\alpha ^{2}\gamma +\beta ^{2}\alpha +\beta ^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha +\gamma ^{2}\beta \right)xyz+\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}\right)xz^{2}\\&+\alpha \beta \gamma y^{3}+\left(\alpha ^{2}\beta \gamma +\beta ^{2}\alpha \gamma +\gamma ^{2}\alpha \beta \right)y^{2}z+\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma +\alpha ^{2}\gamma ^{2}\beta +\beta ^{2}\gamma ^{2}\alpha \right)yz^{2}\\&+\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}z^{3}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461d7d2318210b3890dd8c3881c2e5c82bab1a45)
or, par la nature de l’équation, on a
![{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =a,\quad \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =b,\quad \alpha \beta \gamma =c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c82357cadea8a9687ec04516bb6259489570129)
de plus, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )=a^{2}-2b,\\&\alpha ^{2}\beta +\alpha ^{2}\gamma +\beta ^{2}\alpha +\beta ^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha +\gamma ^{2}\beta =(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )-3\alpha \beta \gamma \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =ab-3c,\\&\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}=(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )^{2}-2(\alpha +\beta +\gamma )\alpha \beta \gamma =b^{2}-2ac,\\&\alpha ^{2}\beta \gamma +\beta ^{2}\alpha \gamma +\gamma ^{2}\alpha \beta =(\alpha +\beta +\gamma )\alpha \beta \gamma =ac,\\&\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma +\alpha ^{2}\gamma ^{2}\beta +\beta ^{2}\gamma ^{2}\alpha =(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )\alpha \beta \gamma =bc\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eee3274a970e094e6647215f06f94c66e8e524a)
donc, faisant ces substitutions, le produit dont il s’agit sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9207ae4c6b9f92d0ff4b860bbd9b5b25464a3f3)
Et cette formule aura la propriété que, si l’on multiplie ensemble autant de semblables formules que l’on voudra, le produit sera toujours aussi une formule semblable.
En effet, supposons qu’on demande le produit de cette formule-là par cette autre-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}&+ax_{1}^{2}y_{1}+\left(a^{2}-2b\right)x_{1}^{2}z_{1}+bx_{1}y_{1}^{2}+(ab-3c)x_{1}y_{1}z_{1}\\&+\left(b^{2}-2ac\right)x_{1}z_{1}^{2}+cy_{1}^{3}+acy_{1}^{2}z_{1}+bcy_{1}z_{1}^{2}+c^{2}z_{1}^{3}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3491d01110a065e845b29e1cc696d190f276ae8)
il est clair qu’il n’y aura qu’à chercher celui de ces six facteurs
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}x\ \,+\alpha y\ \,+\alpha ^{2}z,&x\ \,+\beta y\ \,+\beta ^{2}z,&x\ \,+\gamma y\ \,+\gamma ^{2}z,\\x_{1}+\alpha y_{1}+\alpha ^{2}z_{1},&x_{1}+\beta y_{1}+\beta ^{2}z_{1},&x_{1}+\gamma y_{1}+\gamma ^{2}z_{1},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4233818c44c7ee89687da1e7cb7f43d8a969bf7e)
qu’on multiplie d’abord
par
on aura ce produit partiel
![{\displaystyle xx_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1})+\alpha ^{2}(xz_{1}+zx_{1}+yy_{1})+\alpha ^{3}(yz_{1}+zy_{1})+\alpha ^{4}zz_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38447332f93bcaa3b5e1b7de973075a525510240)
or,
étant une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{3}-as^{2}+bs-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ecae7be38a5addd01a1428510af61140607050)
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{3}-a\alpha ^{2}+b\alpha -c=0,\quad {\text{par conséquent}}\quad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha +c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84859d3c443180accd8cd0b0d3a9b33832104b0d)
donc
![{\displaystyle \alpha ^{4}=a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+c\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-(ab-c)\alpha +ac\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b10bcedff4de247fade2ff61b605540ff27141b)
de sorte qu’en substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&xx_{1}+c(yz_{1}+zy_{1})+aczz_{1},\\\mathrm {Y} =&xy_{1}+yx_{1}-b(yz_{1}+zy_{1})-(ab-c)zz_{1},\\\mathrm {Z} =&xz_{1}+zx_{1}+yy_{1}+a(yz_{1}+zy_{1})+\left(a^{2}-b\right)zz_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fde556082165c0fbbe9d1f03a77be7cee131a58)
le produit dont il s’agit deviendra de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd473104fe0a782c0baed6397e85ff7e37e7eeb)
c’est-à-dire de la même forme que chacun des produisants. Or, comme la racine
n’entre point dans les valeurs de
il est clair que ces quantités seront les mêmes en changeant
en
ou en
donc, puisque l’on a déjà
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)\left(x_{1}+\alpha y_{1}+\alpha ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3707910c71ec4264252d5304e18a05a7189a015)
on aura aussi, en changeant
en ![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
![{\displaystyle \left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)\left(x_{1}+\beta y_{1}+\beta ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\beta Y+\beta ^{2}Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e2534d297f8db66a3594530613ac7f3ed8af75)
et, en changeant
en ![{\displaystyle \gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e69b347b17068b0ddc3ff4626f10a4d1e8dc94)
![{\displaystyle \left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right)\left(x_{1}+\gamma y_{1}+\gamma ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\gamma Y+\gamma ^{2}Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cd2130a73764d4157bce4c7469366da67753af)
donc, multipliant ces trois équations ensemble, on aura d’un côté le produit des deux formules proposées, et de l’autre la formule
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} +b\mathrm {XY^{2}} +(ab-3c)\mathrm {XYZ} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+ac\mathrm {Y^{2}Z} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f5442e2db9d5c824356886978d99018cf3fc35)
qui sera donc égale au produit demandé, et qui est, comme l’on voit, de la même forme que chacune des deux formules dont elle est composée.
Si l’on avait une troisième formule telle que celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}^{3}&+ax_{2}^{2}y_{2}+\left(a^{2}-2b\right)x_{2}^{2}z_{2}+bx_{2}y_{2}^{2}+(ab-3c)x_{2}y_{2}z_{2}\\&+\left(b^{2}-2ac\right)x_{2}z_{2}^{2}+cy_{2}^{3}+acy_{2}^{2}z_{2}+bcy_{2}z_{2}^{2}+c^{2}z_{2}^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919559936528f4395d7a74fc6b3ece933df85c94)
et qu’on voulût avoir le produit de cette formule et des deux précédentes, il est clair qu’il n’y aurait qu’à faire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&\mathrm {X} x_{2}+c(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})+ac\mathrm {Z} z_{2},\\\mathrm {Y} =&\mathrm {X} y_{2}+\mathrm {Y} x_{2}-b(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})-(ab-c)\mathrm {Z} z_{2},\\\mathrm {Z} =&\mathrm {X} z_{2}+\mathrm {Z} x_{2}+\mathrm {Y} y_{2}+a(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})+\left(a^{2}-b\right)\mathrm {Z} z_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7595550be35ed33735dadd32f46f1abba20904)
et l’on aurait pour le produit cherché
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}^{3}&+a\mathrm {X_{1}^{2}Y_{1}} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X_{1}^{2}Z_{1}} +b\mathrm {X_{1}Y_{1}^{2}} +(ab-3c)\mathrm {X_{1}Y_{1}Z_{1}} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {X_{1}Z_{1}^{2}} +c\mathrm {Y} _{1}^{3}+ac\mathrm {Y_{1}^{2}Z_{1}} +bc\mathrm {Y_{1}Z_{1}^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} _{1}^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f81b7e2c929babc0dd8573e14ad9aeec52ad38d)
94. Faisons maintenant
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&x^{2}+2cyz+acz^{2},\\\mathrm {Y} =&2xy-2byz-(ab-c)z^{2},\\\mathrm {Z} =&2xz+y^{2}+2ayz+(a^{2}-b)z^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef0bb742e0c36ef3dd6921fc6c2ecc4eb761aa1)
et ces valeurs satisferont à l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +b\mathrm {XY^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} \\&+(ab-3c)\mathrm {XYZ} +ac\mathrm {Y^{2}Z} +\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3}=\mathrm {V} ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724695a34b2332a4363e78a4f7a62b0f05c69fe1)
en prenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+bxy^{2}+cy^{3}+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z\\&+(ab-3c)xyz+acy^{2}z+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728737210507043dc1334d8aa29b48cfab785c45)
donc, si l’on avait, par exemple, à résoudre une équation de cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{3}+a\mathrm {X^{2}Y} +b\mathrm {XY^{2}} +c\mathrm {Y^{3}=V^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b10aef1c70551667b49bd6548ee81f42dd5004)
étant des quantités quelconques données, il n’y aurait qu’à
rendre
![{\displaystyle \mathrm {Z} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72d1d853ff580870f378d46b4b3d1f06cd8944b)
en faisant
![{\displaystyle 2xz+y^{2}+2ayz+\left(a^{2}-b\right)z^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4613d93d159a59bb248d2e657e655616fb122a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x=-{\frac {y^{2}+2ayz+\left(a^{2}-b\right)z^{2}}{2z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a062a8721b161f7a8ba8a2e5ff4f50a3c8bc4bc)
et, substituant cette valeur de
dans les expressions précédentes de
et
on aura des valeurs très-généralesde ces quantités, qui satisferont l’équation proposée.
Cette solution mérite d’être bien remarquée à cause de sa généralité et de la manière dont nous y sommes parvenus, qui est peut-être l’unique qui puisse y conduire facilement.
On aurait de même la résolution de l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}^{3}&+a\mathrm {X_{1}^{2}Y_{1}} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X_{1}^{2}Z_{1}} +b\mathrm {X_{1}Y_{1}^{2}} +(ab-3c)\mathrm {X_{1}Y_{1}Z_{1}} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {X_{1}Z_{1}^{2}} +c\mathrm {Y} _{1}^{3}+ac\mathrm {Y_{1}^{2}Z_{1}} +bc\mathrm {Y_{1}Z_{1}^{2}} +c^{2}\mathrm {Z_{1}^{3}=V^{3}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6cadfc75f82a4ed0a8f0be5a0c1c3e48538ba6)
en faisant, dans les formules ci-dessus,
![{\displaystyle x_{2}=x_{1}=x,\quad y_{2}=y_{1}=y,\quad z_{2}=z_{1}=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13fd3c159c99365c2bbf5f0b72cf1c8540ddf50)
et prenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d71af714bb18a7a3123f7cf73dd5acbbf96125)
Et l’on pourrait résoudre aussi successivement les cas où, au lieu de la troisième puissance
on aurait
mais nous allons traiter ces questions d’une manière tout à fait générale, comme nous l’avons fait dans le no 90 ci-dessus.
92. Soit donc proposé de résoudre une équation de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} +b\mathrm {XY^{2}} +(ab-3c)\mathrm {XYZ} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+ac\mathrm {Y^{2}Z} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3}=\mathrm {V} ^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339f3d28661cea27bee440f3fe85a4733c932b8b)
Puisque la quantité qui forme le premier membre de cette équation n’est autre chose que le produit de ces trois facteurs
![{\displaystyle \mathrm {\left(X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z\right)\left(X+\beta Y+\beta ^{2}Z\right)\left(X+\gamma Y+\gamma ^{2}Z\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46825703d3e1f18789a99e317ddf0d07ed99072f)
il est clair que, pour rendre cette quantité égale à une puissance du degré
![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
il ne faudra que rendre chacun de ses facteurs en particulier égal à une pareille puissance. Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =(x+\alpha y+\alpha ^{2}z)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc51672fa20cd27f62396f6ebdec6369c9191fb0)
on commencera par développer la puissance
de
par le théorème de Newton, ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}(y+\alpha z)\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}(y+\alpha z)^{2}\alpha ^{2}\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}(y+\alpha z)^{3}\alpha ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ceb79f390de350512557b464b680522d0eb6e44)
ou bien, en formant les différentes puissances de
et ordonnant ensuite par rapport aux dimensions de ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}y\alpha +\left[mx^{m-1}z+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\right]\alpha ^{2}\\&+\left[m(m-1)x^{m-2}yz+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\right]\alpha ^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb8a43217c0c0df90a3f87379d0bfd9286c8e3a)
Mais, comme dans cette formule on ne voit pas aisément la loi des termes, nous supposerons, en général,
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}=\mathrm {P+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+P_{3}\alpha ^{3}+P_{4}\alpha ^{4}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bca1f749a16d43530a11b12bdff80eca3ef627)
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} \ \,&=x^{m},\\\mathrm {P} _{1}&={\frac {my\mathrm {P} }{x}},\\\mathrm {P} _{2}&={\frac {(m-1)y\mathrm {P} _{1}+2mz\mathrm {P} }{2x}},\\\mathrm {P} _{3}&={\frac {(m-2)y\mathrm {P} _{2}+(2m-1)z\mathrm {P} _{1}}{3x}},\\\mathrm {P} _{4}&={\frac {(m-3)y\mathrm {P} _{3}+(2m-2)z\mathrm {P} _{2}}{4x}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407ca24e76ba5cd8125621b0604adce983e3ac32)
c’est ce qui se démontre facilement par le Calcul différentiel.
Maintenant on aura, à cause que
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{3}-as^{2}+bs-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ecae7be38a5addd01a1428510af61140607050)
on aura, dis-je,
![{\displaystyle \alpha ^{3}-a\alpha ^{2}+b\alpha -c=0,\quad {\text{d’où}}\quad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha +c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3baa9fff96e67a6d65010cd81dd237762cc6b388)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ^{4}=&a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+c\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-(ab-c)\alpha +ac,\\\alpha ^{5}=&\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{3}-(ab-c)\alpha ^{2}+ac\alpha \\=&\left(a^{3}-2ab+c\right)\alpha ^{2}-\left(a^{2}b-b^{2}-ac\right)\alpha +\left(a^{2}-b\right)c,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a743553892e043f19c52e88b4e02dbaca320ba4)
et ainsi de suile.
De sorte que, si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}&=0,\\\mathrm {A} _{2}&=1,\\\mathrm {A} _{3}&=a,\\\mathrm {A} _{4}&=a\mathrm {A} _{3}-b\mathrm {A} _{2}+c\mathrm {A} _{1},\\\mathrm {A} _{5}&=a\mathrm {A} _{4}-b\mathrm {A} _{3}+c\mathrm {A} _{2},\\\mathrm {A} _{6}&=a\mathrm {A} _{5}-b\mathrm {A} _{4}+c\mathrm {A} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\\mathrm {B} _{1}&=1,\\\mathrm {B} _{2}&=0,\\\mathrm {B} _{3}&=b,\\\mathrm {B} _{4}&=a\mathrm {B} _{3}-b\mathrm {B} _{2}+c\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {B} _{5}&=a\mathrm {B} _{4}-b\mathrm {B} _{3}+c\mathrm {B} _{2},\\\mathrm {B} _{6}&=a\mathrm {B} _{5}-b\mathrm {B} _{4}+c\mathrm {B} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\\mathrm {C} _{1}&=0,\\\mathrm {C} _{2}&=0,\\\mathrm {C} _{3}&=c,\\\mathrm {C} _{4}&=a\mathrm {C} _{3}-b\mathrm {C} _{2}+c\mathrm {C} _{1},\\\mathrm {C} _{5}&=a\mathrm {C} _{4}-b\mathrm {C} _{3}+c\mathrm {C} _{2},\\\mathrm {C} _{6}&=a\mathrm {C} _{5}-b\mathrm {C} _{4}+c\mathrm {C} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bef61476f9e7cc9f6f8aedcaec946e38ba00a6a)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ \,&=\mathrm {A_{1}\alpha \ \,-B_{1}\alpha +C_{1}} ,\\\alpha ^{2}&=\mathrm {A_{2}\alpha ^{2}-B_{2}\alpha +C_{2}} ,\\\alpha ^{3}&=\mathrm {A_{3}\alpha ^{2}-B_{3}\alpha +C_{3}} ,\\\alpha ^{4}&=\mathrm {A_{4}\alpha ^{2}-B_{4}\alpha +C_{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d5d87432dd496d1d0f45771c8a2b4c779404ac)
Substituant donc ces valeurs dans l’expression de
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f24bb81aeb5f133371d45a7ac2b21b2fbe1fe23)
elle se trouvera composée de trois parties, l’une toute rationnelle, l’autre toute multipliée par
et la troisième toute multipliée par
ainsi il n’y aura qu’à comparer la première à
la deuxième à
et la troisième à
et l’on aura par ce moyen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X=P+P_{1}C_{1}+P_{2}C_{2}+P_{3}C_{3}+P_{4}C_{4}} +\ldots ,\\&\mathrm {Y=-P_{1}B_{1}-P_{2}B_{2}-P_{3}B_{3}-P_{4}B_{4}} -\ldots ,\\&\mathrm {Z=P_{1}A_{1}+P_{2}A_{2}+P_{3}A_{3}+P_{4}A_{4}} +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6f597cda639bdf75fb6006afc94ec9ace6ac50)
Ces valeurs satisferont donc à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f33e007ce89764ab5b48bee21e7e592e559f773)
et, comme la racine
n’entre point en particulier dans les expressions de
et
il est clair qu’on pourra changer
en
ou en
de sorte qu’on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X+\beta Y+\beta ^{2}Z} =\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)^{m},\\&\mathrm {X+\gamma Y+\gamma ^{2}\,Z} =\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right)^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eb9d2526b8e8f0f665100a5236f9e6491031b2)
Or, multipliant ensemble ces trois équations, il est visible que le premier membre sera le même que celui de l’équation proposée, et que le second sera égal à une puissance
dont la racine étant nommée
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d71af714bb18a7a3123f7cf73dd5acbbf96125)
Ainsi on aura les valeurs demandées de
et
lesquelles renfermeront trois indéterminées
93. Si l’on voulait trouver des formules de quatre dimensions qui eussent les mêmes propriétés que celles que nous venons d’examiner, il faudrait considérer le produit de quatre facteurs de cette forme,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x+&\alpha y&&+\alpha ^{2}z&&+\alpha ^{3}t,\\x+&\beta y&&+\beta ^{2}z&&+\beta ^{3}t,\\x+&\gamma y&&+\gamma ^{2}z&&+\gamma ^{3}t,\\x+&\delta y&&+\delta ^{2}z&&+\delta ^{3}t,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74a7d3203b5a0419339488889af682da8d0369d)
en supposant que
fussent les racines d’une équation du quatrième degré, telle que celle-ci
![{\displaystyle s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129cebac049d0a20afc8f3862e7f2bc9a52109d5)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma +\delta =a,\\&\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =b,\\&\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =c,\\&\alpha \beta \gamma \delta =d,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aed8460b29ce6537c8765172508a8fd4b20f8cf)
moyennant quoi on pourra déterminer tous les coefficients des différents termes du produit dont il s’agit, sans connaître les racines
en particulier ; mais, comme il faudra faire pour cela différentes réductions qui peuvent ne pas se présenter facilement, on pourra s’y prendre, si on le juge plus commode, de la manière que voici.
Qu’on suppose, en général,
![{\displaystyle x+sy+s^{2}z+s^{3}t=\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad106079b6db57921e402b5b1e13e9c8c5980f0)
et, comme
est déterminé par l’équation
![{\displaystyle s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d818e23518da796dc963d0ef236361fbd2c8cf65)
qu’on chasse
de ces deux équations par les règles connues, et l’équa-
tion résultante de l’évanouissement de
![{\displaystyle s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5748cdb81bf00075de8e7e6828c343687513830)
étant ordonnée par rapport à l’inconnue
![{\displaystyle \rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bed314e4bed19299ed16afd79f67ea5c4593c)
montera au quatrième degré, de sorte qu’elle pourra se mettre sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {\rho ^{4}-N\rho ^{3}+P\rho ^{2}-Q\rho +R} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f406cc0fb54ca5c5ea25dc5157cfcc623c3e91a)
Or cette équation en
ne monte au quatrième degré que parce que
peut avoir les quatre valeurs
et qu’ainsi
peut avoir aussi ces quatre valeurs correspondantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x+&\alpha y&&+\alpha ^{2}z&&+\alpha ^{3}t,\\x+&\beta y&&+\beta ^{2}z&&+\beta ^{3}t,\\x+&\gamma y&&+\gamma ^{2}z&&+\gamma ^{3}t,\\x+&\delta y&&+\delta ^{2}z&&+\delta ^{3}t,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74a7d3203b5a0419339488889af682da8d0369d)
lesquelles ne sont autre chose que les facteurs dont il s’agit d’avoir le produit ; donc, puisque le dernier terme
doit être le produit de toutes les quatre racines ou valeurs de
il s’ensuit que cette quantité
sera le produit demandé.
Mais en voilà assez sur ce sujet, que nous pourrons peut-être reprendre dans une autre occasion.
Je terminerai ici ces Additions, que les bornes que je me suis prescrites ne me permettent pas d’étendre plus loin ; peut-être même les trouvera-t-on déjà trop longues ; mais les objets que j’y ai traités étant d’un genre assez nouveau et peu connu, j’ai cru devoir entrer dans plusieurs détails nécessaires pour se mettre bien au fait des méthodes que j’ai exposées, et de leurs différents usages.
table des matières
contenues
dans les additions à l’analyse indéterminée.
Pages
§ I. Sur les fractions continues considérées par rapport à l’Arithmétique.
§ II. Méthodes pour déterminer les nombres entiers qui donnent les minima
des formules indéterminées à deux inconnues.
§ III. Sur la résolution des équations du premier degré à deux inconnues
en nombres entiers.
§ IV. Méthode pour résoudre en nombres entiers les équations indéterminées
à deux inconnues, lorsque l’une des inconnues ne passe pas le
premier degré, et lorsque les deux inconnuesne forment que des
produits d’une même dimension.
§ V. Méthode directe et générale pour trouver les valeurs de
qui
peuvent rendre rationnelles les quantités de la forme ![{\displaystyle {\sqrt {a+bx+cx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f604c5254bbc2d4ca8da79beb0ab4a479947027)
et pour résoudre en nombres rationnels les équations indéterminées
du second degré à deux inconnues, lorsqu’elles admettent des solutions
de cette espèce.
Résolution de l’équation
en nombres entiers.
§ VI. Sur les doubles et triples égalités.
Résolution de l’équation
en nombres entiers.
Première méthode.
Seconde méthode.
De la manière de trouver toutes les solutions possibles de
l’équation
lorsqu’on en connaît une seule.
De la manière de trouver toutes les solutions possibles en nombres
entiers des équations du second degré à deux inconnues.
§ VIII. Remarques sur les équations de la forme
et sur
la manière ordinaire de les résoudre en nombres entiers.
§ IX. De la manière de trouver des fonctions algébriques de tous les degrés,
qui, étant multipliées ensemble, produisent toujours
des fonctions semblables