Œuvres de Fermat/I/Méthode d’élimination

Pierre de Fermat

Méthode d’élimination

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 181-188).

NOVUS SECUNDARUM
ET
ULTERIORIS ORDINIS RADICUM
IN ANALYTICIS USUS.

Reductio secundarum et ulterioris ordinis radicum ad primas, quæ maximi est in Algebraicis momenti, unicam pro fundamento agnoscit duplicatse æqualitatis analogiam, eamque, quoties opus fuerit, iterandam progressus ipse quxestionis ostendit.

Proponatur

A cubus + E cubo æquari Z solido;item B in A + E quad. -- D in E equari N quad.

Ut secunda radix devolvatur ad primam, hSec sunto prsecepta:

Quæcumque a secunda radice adficientur homogenea in unam æquationis partem transeunto: ut, in superiori exemplo, quum

Ac. - Ec. æquetur Zs.,ergo Zs. - Ac. æquabitur Ec.Similiter, quum B in A - Eq. -- D inE equetur Nq.,ergo Nq. -B in A wequabitur E q. - D in E.

In utraque igitur equatione homogenea abs E (sive abs secunda radice) adfecta unam œquationis partem constituunt; si igitur duplicata ejusmodi æqualitas ad analogiam revocetur, erit

ut Zs.-Ac. ad Ec., ita Nq.- Bin ad Eq.+D in E.

Quum itaque facturn sub extremis comparabitur facto sub mediis, tanquam ipsi equale, omnia homogenea divisionem admittent per E (sive per secundam radicem); ut patet, quia secundus et quartus terminus abs E adficiuntur.

Erit nempe

Zs. inEq.- Ac. inEq. 4- Zs. in D inE - Ac. in D in E æquale Nq. in Ec. - B in A in Ec.

Omnia dividantur toties per E, donec aliquod ex homogeneis adfectione sub E omnino liberetur: erit

Zs. in E - Ac. in E -v Zs. in D - Ac. in D æquale Nq. in Eq. -- B in A in Eq.

Quo peracto, nova h1ec æquatio uno ad minus gradu depressior erit (quoad secundam radicem) quam elatior ex duabus primumn propositis: patet nempe elatiorem ex duabus primum propositis adfici sub cubo E, istius vero nullam abs E adfectionem excedere Eq.

Nec tamen sic quiescendum, sed iteranda duplicatæ aqualitatis analogia, donec adfectio secundæ radicis fiat tantum sub latere, ut asymmetria omnis evanescat.

Præparetur itaque ultima hlic quatio juxta modum præscriptum, ut homogenea sub E quomodocumque adfecta unam æquationis partem faciant. Erit itaque

Zs. in D - Ac. in D aquale Nq. inEq. - B in A in Eq. - Zs. in E + Ac. in E.

Sed, ex duabus primum propositis, quæ depressior est, exhibet equationem sequentern, ut diximus:

Nq. -Bin A æquale Eq. - D in E. Revocetur rursum ad analogiam duplicata ista iequalitas: erit itaque Zs. in D - Ac. in D ad Nq. in Eq. - B in A in Eq. - Zs. in E - Ac. in E ul Nq.-BinA ad Eq.- +DinE.

Quum itaque factum sub extremis equabitur facto sub mediis, tanquam ipsi æquale, omnia homogenea poterunt dividi per E, ut supra demonstratum est: erit nempe

Zs. in Eq. 4- Zs. in D q. in E - Ac. in D in Eq. - Ac. in Dq. in E æquale Nqq. inEq.- Nq. in B in A inEq. - Nq. inZs. in E - Nq. inAc. inE - B inin Nq. inEq. - Bq. inAq. inEq. 4- B inZs. in A in E - B inAqq. inE,et, omnibus abs E divisis, fiet tandem Zs. in DinE + 7Zs. inDq. - Ac. inD inE -- Ac. inDq. æquale Nqq. inE - Nq. inB in A i E - Nq. in Zs. - Nq. in Ac. -B in AinNq. inE-+-Bq. inAq. inE -+B in Zs.iin A AB inAqq.

Quo peracto, nova hæc æquatio unius adhuc gradus depressionem (quoad secundam radicem) lucrata est, ut hic patet: quum enim homogenea sub E adfecta in unam equationis partem transierint, fiet

Zs. inDq. - Ac. in Dq.4- Nq. inZs. - Nq. inAc. - B inZs. in A +-B in Aqq. sequale Nqq. inE -Nq. inB in A inE - B in A in Nq. in E - B q. in Aq. inE -Zs. inD inE 4- Ac. in D in E.

Neque ulterius progrediendum, quum jam secunda radix sub latere tantum appareat, ideoque, solo applicationis beneficio, ipsius E relatio ad primam radicem manifestabitur: ut hic

${\frac {Zs.inDq.-Ac.inDq.-Nq.inZs.-N.inAc.-BinZs.inA4-Pinlq.}{Nqq.-Nq.inBinA--Nq.inBinA--Bq.inAq.-Zs.iin)+Ac.in)}}$ æquabitur E,

quo tendendum erat.

Ut igitur duæ primum propositse radices in unam transeant, resu matur ex duabus prioribus equationibus quam volueris; depressior tamen idonea magis, ne altius ascendat equatio.

Quum itaque in una ex sequationibus primnun propositis

B in A - Eq. + D in E æquetur Nq.,

loco ipsius E subrogetur jam agnitus ejus valor per relationem vel ad terminos cognitos vel ad priorem radicem, que in exemplo proposito est A; et rursum sub hac nova specie ordinetur æquatio. Manifestum est evanuisse omnino secundam radicem et in æquationem ab omni asymmetria liberam itum esse, methodumque esse generalem.

Si enim plures duobus terminis proponantur incogniti, methodus iterata tertias, si opus fuerit, radices ad primas et secundas, deinde secundas ad primas, etc., eodem prorsus artificio reducet.

APPENDIX AD SUPERIOREM METHODUM ^[1].

Superiori methodo debetur perfecta et absoluta asymmetriarum in Algebraicis expurgatio; neque enim symmetrica climactismus Vietæa ^[2], quæ unicum hactenus ad asymmetrias fuit remedium, efficax satis et sufficiens inventa est.

Proponatur quippe

lat. cub. (B in Aq. - Ac.) + lat. quad. (Aq. + Z in A) + lat. quad. quad. (Dc. in A - Aqq.) -+ lat. quad. (G in A - Aq.) æquari rectæ N.

Qua ratione ab asymmetriis hujusmodi extricabit se et qusestionenm suam analysta Vieteus? An non potius, dum crescet labor, crescet dif ficultas, et tandem, fatigatus et delusus, novum ab Analytice lumen exposcet?

Hoc sane luculenter superior methodus subministrat: unicum exemplum, idque brevissimum, adjungimus; recluso enim semel fundamento, cætera apertissime manifestantur.

Proponatur

lat. cub.(ZinAq. - Ac.) - lat. cub. (Ac. + B q. in A) æequari D.

Ita primum ordinetur æquatio ut unica ex asymmetriis unam illius partem faciat: fiat nempe

D - lat. cub. (Ac. + B q. in A) æqualis lat. cub. (Z in Aq. - Ac.).

Hoc peracto, omnes termini asymmetri a secundis et ulterioribus, si opus fuerit, radicibus denominentur, excepto eo quem unicum in unam æquationis partem rejecimus: fingatur, verbi gratia,

lat. cub. (Ac. +- Bq. in A) esse E.

Hac enim via ad earn, quam injungit superior methodus, duplicate æqualitatis analogiam deveniemus: erit nempe

D- E æqualis lat. cub. (Z in Aq. - Ac.),

et, omnibus in cubum ductis,

Dc. + D in Eq. ter- Dq. in E ter - Ec. wequabitur ZinAq. -Ac.

Sed, ex hypothesi,

Ec. æquatur Ac. + Bq. in A.

Ergo oritur duplicata sequalitas et in utraque, juxta methodumn, termini abs secunda radice adfecti in unam Tequationis partem sunt conjiciendi: erit nempe

ZinAq. -Ac. -Dc. tequalis D inEq. ter -Dq. inEter Ec.;

item

Ac. + Bq. in A æqualis Ec.

Iteretur toties operatio donec secunda radix ad primam revocetur; quo peracto, loco ipsius E, novus ipsius valor usurpetur et sub hac nova specie qusevis ex prioribus sequalitatibus ordinetur: omnia constabunt.

Nec inutilia adjungo, aut moror in superfluis: quis enim non videt singulos terminos asymrmetros posse eadem ratione, si non sufficiant secunde radices, tertiis, quartis, etc. in infinitum insigniri? Quo casu, quartam, sive ultimarm, radicem tanquam secundam considerabis; reliquas vero tantisper vel pro primis vel pro terminis cognitis habebis, donee ultima illa omnino evanuerit sive ad primas, secundas et tertias reducta fuerit. Simili prorsus artificio tertias reduces ad secundas et primas, ac denique secundas ad primas, ut jam ssepius inculcavimlus.

Nulla est ergo asymmetria quam non cogat exsulare hle mnethodus, cujus usus presertim eximius, imo et necessarius, in numerosa potestatum resolutione. Statim enim nempe atque asymmetriœ evanuerint, non deerit Vietæum ^[3] in arithmeticis quæstionibus artificium et, si veris explicari numeris quTestio non possit, proximL quantumvis libuerit suppetent solutiones, quum tamen proximas veris solutiones nullo pacto, quamdiu duraverint asymmetri1e, consequi possis.

SED et ulterius inquirenti obtulit se mira ad locorum superficialium plenam et perfectam notitiam exinde derivanda methodus, quas et iis problematis inservit, in quibus dantur ab initio plura quam requirat ipsa problematis construendi determinatio.

Quod ut clarius intelligas, sunt quædam problemata quse unicam tantum agnoscunt positionem ignotam, qut vocari possunt determinata, ad differentiam inter ipsa et problemata localia constituendam. Sunt alia quedam quæ duas positiones ignotas habent et ad unicam tantum nunquan possunt reduci: ea problemata sunt localia.

In prioribus illis unicum tantum punctum inquirimus, in istis lineam; sed, si problema propositum tres ignotas positiones admittat, problema hujusmodi non jam punctum duntaxat, aut lineam tantum, sed integram superficiem quæstioni idoneam investigat: indeque oriuntur loci ad superficiem, etc. in reliquis. Sicut auter in prioribus data ipsa sufficiunt ad determinationem qusestionis, ila in secundis unum datum deest ad determinationem, in tertiis vero duo tanturm data determinationem possunt complere.

At contra potest fieri ut, quemadmodum in his casibus data aut sufficiant aut desint, ita in plerisque aliis data ipsa superflua sint et abundent: exemplo res fiet evidens.

In recta AC (fig. 94) data, datur rectangulum ABC; datur etiam differentia quadratorum AB et BC.

Fig. 94.

In hoc casu plura patet offerri data quam determinatio ideoque solutio ipsius questionis exposcat. Frequentissimus tamen horum problematum, in Physicis presertim et apud artifices, est usus, eaque omnia per applicationem simplicem beneficio nostre methodi expediuntur, neque recurrendum ad extractionem radicum, licet equationes ad quasvis potestates ascendant.

Proponatur, verbi gratia, in quadam quæstione,

A cub. 4- B quad. in A wequari Z quad. in D;

item etiam, quum ex hypothesi qusestio supponatur esse abundans (has enim qusestiones abundantes, sicut locales deficientes, appellare consuevimus),

G sol. in A - A quad. quad. equari B quad. in N pl.

Duplicata hæc æqualitas ad analogiam revocetur et, ex præscripta methodo, consideretur unica nostra radix ignota, que in hoc exemplo est A, sicut in præcedentibus secundam aut ulterioris ordinis radicem consideravimus, et toties, juxta methodumn, iteretur operatio donec adfectio sub A per simplicem applicationem possit expediri, sive non tam ad primas radices quam ad terminos omnino notos reduci. Patebit solutio problematis simplicissima, nec analystam deinceps æquationes quadratics, cubicæ, quadratoquadraticœ, etc. remorabuntur.

Lubet et, coronidis loco, famosi illius problematis:

Datis ellipsi et puncto extra ipsius planum, superficiem conicam, cu jus vertex sit punctum datum et basis ellipsis data, ita plano secare ut sectio sit circulus,

solutionem, que huic methodo debetur, indicare, eamque simplicissimam.

Eo deducunt questionem Geometre ut, sumptis quinque punctis ad libitum in ellipsi et junctis rectis a vertice conice superficiei ad puncta illa, per junctas quinque rectas circulum describant; inveniuntque problema hoc pacto esse solidum. Sed, quum puncta in ellipsi sint infinita, si loco quinque punctorum sumantur sex, fiet problema abundans et orietur necessario duplicata sequalitas, quse tandem ignotam quantitatem per simplicem applicationem patefaciet.

Eadem ratione, si detur quecumque linea curva in piano aut etiam superficies localis, cujuscumque tandem gradus sint, invenientur diametri et axes figurarum; imo et in superficie locali exhibebuntur omnes omnino curvæ loci superficialis constitutive, etc.

Exponatur, verbi gratia, superficies conica, cujus vertex sit punctum datum, basis vero parabole aut ellipsis cubica aut quadratoquadratica aut ulterioris in infinitum gradus. Potest hujusmodi superficies conica, beneficio istius methodi, ita secari ut in ea exhibeatur quselibet curva quæ, ex constitutione figure, in ea superficie potest describi, et problematis solutio semper evadet simplicissima.

Nihil addimus de tangentibus curvarum ^[4] et plerisque aliis hujus methodi usibus: fient quippe obvii nee sedulam indagatoris analytici meditationem effugient.

1. Voir la lettre de Fermat a Carcavi, du 20 aout i65o, lettre qui accompagnait l'envoi de tout leTraite. Voir egalement le billet de Fermat dans la lettre de Descartes (6d. Clerselier, II1, 83) du i8 d6cembre i648, billet qui semble aussi avoir 6t6 adress6 primitivement a Carcavi.
2. Viète, De emendatione equationum, cap. V (ed. Schooten, p. S4o).
3. Fermat fait allusion au Trait De D numeosa potestatum purarum atque adfectarum ad exegesin resolutione de Viète ( ed. Schooten, p. I62-228).
4. Voir plus haut, page 153.