Éléments de thermodynamique cinétique/06

Jean Villey

Éléments de thermodynamique cinétique

Gauthier-Villars, éditeurs, 1933 (p. 9-11).

6. Énergie cinétique et Énergie potentielle. — Le principe de l’inertie, en vertu duquel la vitesse $v$ d’un point matériel abandonné à lui-même reste constante, entraîne que n’importe quelle fonction de cette seule vitesse $v$ reste constante lorsque la force agissante est nulle. Parmi ces fonctions, on voit, d’après le paragraphe précédent, l’intérêt que présente l’énergie cinétique $\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right),$ liée à la force agissante par la relation très simple qu’exprime l’équation (7).

D’après cette relation, lorsque l’énergie cinétique du point matériel diminue, c’est qu’il est soumis à une force $f$ qui produit un travail négatif, autrement dit qui absorbe du travail.

Si cette force $f$ est définie par un champ de forces permanent, il suffira que le point matériel revienne en sens inverse suivant le même parcours pour qu’elle produise un travail positif juste égal au travail absorbé, lequel entraîne une augmentation d’énergie cinétique juste égale à la diminution observée tout à l’heure. On dira alors tout naturellement que la perte cinétique avait été accompagnée d’une augmentation d’énergie potentielle égale au travail absorbé, donc égal à l’énergie cinétique disparue, et récupérable.

Le seul cas que nous aurons à envisager est celui où les composantes $f_{x},$ $f_{y}$ et $f_{z}$ de la force sont les dérivées partielles d’une certaine fonction des seules coordonnées $(x,\,y,\,z)$ du point matériel, que nous écrirons $-\mathrm {U} (xyz).$ Alors le travail de la force agissante

${\mathfrak {T}}=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz$

est égal à

$-\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}dz\right)$

c’est-à-dire qu’il se confond avec la diminution de la fonction $\mathrm {U} (xyz).$ Cette fonction $\mathrm {U}$ (définie à une constante additive près) n’est donc pas autre chose que l’énergie potentielle du point, liée seulement à son emplacement $(xyz).$ On a

$-d\mathrm {U} =d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)$

ou

$d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)+d\mathrm {U} =0$

ou encore

(9)

${\frac {1}{2}}mv^{2}+\mathrm {U} ={\text{const.}}$(9)(9)

La somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle reste constante. C’est le principe de la conservation de l’énergie mécanique d’un point matériel, lequel s’applique seulement si les frottements sont nuls ou négligeables, restriction tout à fait essentielle dont la signification sera précisée au Chapitre II.

Considérons par exemple le cas particulier du champ de pesanteur dans une région peu étendue ; il est uniforme, et, si l’axe Oz est dirigé verticalement vers le haut, on a

$d{\mathfrak {T}}=-mgdz,$        d’où        $d\mathrm {U} =mgdz$        ou        $\mathrm {U} =mgz.$

On a un exemple d’application de l’équation fondamentale (9) dans les oscillations du pendule simple, qui comportent des transformations périodiques d’énergie cinétique en énergie potentielle et inversement. En réalité le phénomène se complique, au moins en apparence, du fait qu’intervient, outre la force de pesanteur qui dérive du potentiel $mgz,$ la force exercée sur le point matériel par le fil tendu qui le retient sur sa trajectoire circulaire ; mais, comme cette force est à tout instant perpendiculaire sur le déplacement, elle ne produit aucun travail et n’altère en rien l’équation (9).

Si l’on considère un système matériel, on aura encore, par addition de toutes les équations (9) relatives aux divers points matériels qui le constituent, et sous la même restriction relative à l’absence de frottements, le résultat que la somme de l’énergie cinétique totale et de l’énergie potentielle totale reste constante. Il y a lieu de noter d’ailleurs que, si le système est déformable avec modification de distance entre les points qui exercent les uns sur les autres des forces intérieures, l’énergie potentielle pourra comporter une partie liée au travail absorbé par les forces intérieures. On l’appellera énergie potentielle interne pour la distinguer de l’énergie potentielle liée aux déplacements du système dans le champ des forces extérieures.