Éléments de thermodynamique cinétique/05

Gauthier-Villars, éditeurs (p. 7-9).

5. Quantité de mouvement et force vive. — Ces notions fondamentales étant rappelées, on peut se proposer de préciser comment on traduira analytiquement la relation vectorielle fondamentale relative à chacun des points matériels du système.

Pour exprimer algébriquement cette relation vectorielle, il faut écrire les équations qui relient les projections de ces vecteurs sur les trois axes de coordonnées d’un trièdre de référence que nous prendrons trirectangle. On obtient alors

(3) (3)


ou

(4) (4)


et les deux équations analogues en projections sur les axes Ox et Oy. C’est la relation fondamentale des quantités de mouvement, que l’on énonce : En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à l’impulsion élémentaire de la force qui agit sur lui.

Si, après avoir écrit cette relation fondamentale pour chacun des points matériels d’un système, on additionne ensemble toutes les équations ainsi obtenues, dans la somme totale les forces intérieures deux à deux égales et opposées, s’annulent mutuellement ; cette somme se réduit donc à la somme des projections des forces extérieures soit

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et l’on obtient l’énoncé fondamental que :

En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement totale d’un système matériel est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces extérieures, égale elle-même d’ailleurs à l’impulsion élémentaire de la somme géométrique (ou résultante) des forces extérieures.

Mais on peut chercher aussi à traduire la relation vectorielle par une relation analytique indépendante de tout choix d’axes de coordonnées. On y arrive facilement par une combinaison simple des équations (3) relatives aux axes de coordonnées. On écrira


ou

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d’où l’on tire par addition

                                              


Mais le premier membre représente le produit du déplacement par la projection sur lui de la force, ou inversement le produit de la force par la projection sur elle du déplacement, c’est-à-dire encore le produit de la force par le déplacement et par le cosinus de l’angle qu’ils font l’un avec l’autre ; on l’appelle le produit scalaire des deux vecteurs et et on le représente par le symbole Ce produit scalaire s’appelle le travail de la force dans le déplacement élémentaire On écrira donc

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que l’on énonce : la variation de la demi-force vive d’un point matériel est égale au travail de la force qui lui est appliquée. L’expression de force vive, consacrée par l’usage, est d’ailleurs malheureuse car cette grandeur n’a rien de commun avec une force ; il vaut mieux employer le terme énergie cinétique pour désigner la demi-force vive

Si l’on fait l’addition des équations (7) relatives à tous les points matériels d’un système, on obtient au second membre la variation élémentaire de la somme de toute les énergies cinétiques, autrement dit de l’énergie cinétique totale ; cette variation est égale à la somme des travaux de toutes les forces. Mais ici, l’égalité deux à deux des forces intérieures opposées, n’entraîne pas qu’elles donnent ensemble un travail total nul. Cette simplification est réalisée seulement lorsque la distance des deux points considérés reste invariable ; c’est le cas en particulier des systèmes indéformables.

Dans un système déformable, la variation de l’énergie cinétique totale est égale à la somme algébrique du travail total des forces extérieures et du travail total des forces intérieures

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