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PRINCIPE DE HUYGHENS
On obtient alors, pour la relation (7),
(8)
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72. En remplaçant, dans l’équation (1) du mouvement,
par sa valeur tirée de cette dernière relation, et
par sa valeur (3), l’équation sera satisfaite. Par conséquent
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {\mathrm {F} (x',y',z')}{r}}d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb41562ec987176948b82e689845244281e8d25a)
est une solution particulière de l’équation du mouvement. Ce ne peut être encore l’intégrale générale, puisqu’elle ne contient qu’une fonction arbitraire.
Cherchons les valeurs initiales de
et de
Quand
tend vers zéro, le rayon de la sphère
tend vers zéro, et la valeur de
tend vers
Si
diffèrent peu de
l’intégrale
![{\displaystyle \int \mathrm {F} (x',y',z')\,d\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1f0d0e65caea80485b92a27e3bc9d6ac676c7f)
aura une valeur voisine de
![{\displaystyle \mathrm {F} (x,y,z)\int d\sigma =4\pi \mathrm {F} (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83ebc2dceb612d4603cb2b2b8098004e17a6207)
Il en résulte que la valeur de
donnée par l’expression (4) diffère peu de
![{\displaystyle r.4\pi \mathrm {F} (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b8460ef5d2046b7a1230d3e63abe97f3d3b205)
À la limite, quand
est égal à zéro,
est donc nul. Par conséquent la valeur initiale de
est nulle.