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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
pour les dérivées secondes de
par rapport à
et à
En faisant la somme de ces dérivées secondes, on aura
(3)
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71. Cherchons maintenant la dérivée seconde de l’intégrale (2) par rapport au temps. Si nous donnons au temps
un accroissement
sans faire varier
le centre de la sphère ne changera pas, mais son rayon subira un accroissement :
![{\displaystyle dr=\mathrm {V} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a77089d7a1ceadb757b3164d25e0d74c0f294b)
L’élément de surface
deviendra
On peut faire disparaître
de l’intégrale en introduisant l’angle solide
sous lequel cet élément est vu du centre de la sphère ; on a
![{\displaystyle d\omega =r^{2}d\sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae2003519fc8a197678a0714d0a968b0c65d4d5)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{r}}=r\,d\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c44134b4c143d7d0cf8d9f07d556dfda632699e)
Par conséquent, l’intégrale devient
(4)
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et comme
est le même pour tous les éléments de l’intégrale, on peut écrire
![{\displaystyle \xi =r\int \mathrm {F} (x'\,y'\,z')\,d\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cabe1a510f44016ee07b3bda591a9a1f772ae1a)
Si donc
subit un accroissement
l’accroissement
qui en résultera pour
sera
![{\displaystyle d\xi =dr\int \mathrm {F} \,d\sigma +r\,d.\int \mathrm {F} \,d\sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7094bdb0144026ec59015dffcaf244b8c501f948)