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PRINCIPE DE HUYGHENS
On a donc la relation
(2)
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Les relations (1) et (2) détermineront les fonctions
et
Une solution particulière des équations des mouvements transversaux qui est intéressante en optique est celle où l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(r)=0,\qquad \qquad \qquad \mathrm {F} (r)=e^{-i\alpha r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ea290db7ff2c76f6a08f2709784273631ac10e)
La valeur de
est alors
![{\displaystyle \xi ={\frac {e^{-i\alpha \left(r-\mathrm {V} t\right)}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b164bd0ea4ec29092f763c3b797d7c898c9396)
Sa dérivée seconde par rapport à
a pour valeur
Comme
satisfait aux équations du mouvement, on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1603417332f3bbf7782195f775dd2326f798e314)
![{\displaystyle -\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi =\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c412c2d131892866f79a777da9c99f0df9c57044)
ou enfin
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70. Intégrales générales des équations des mouvements transversaux. — Considérons la première de ces équations que nous écrirons sous la forme
(1)
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Nous aurons l’intégrale générale de cette équation si nous trouvons une fonction
de
et
qui y satisfasse identiquement et qui se réduise, pour
à une fonction arbitraire