45
FORMATION DES INVARIANTS.
On arriverait à un théorème analogue en partant de l’un quelconque
des invariants
Mais, d’après la remarque que je viens de faire à l’instant, tous
ces théorèmes ne sont pas réellement distincts de celui de Poisson.
Cependant, parmi tous ces invariants, il y en a un auquel il
convient d’attacher une grande importance, c’est le dernier
d’entre eux
![{\displaystyle \mathrm {J} _{n}=\int dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}\,\ldots \,dx_{n}\,dy_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297295e7e3e0fece8eaa2ff77966cd1d2101a343)
On aurait pu l’obtenir par le procédé du numéro précédent ; on
sait, en effet, que les équations de la Dynamique admettent pour
dernier multiplicateur l’unité.
256.Je suppose, maintenant, que les
désignent les coordonnées
rectangulaires de
points dans l’espace, et je reprends
les notations de la page 169 du Tome 1.
Nous avons trouvé, page 170, l’intégrale suivante des équations
aux variations
![{\displaystyle \sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773e47a7ef11bed9d8b41ea6ecb63c6492ccb509)
L’invariant intégral correspondant s’écrit
![{\displaystyle \int \sum \left({\frac {y\,dy}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee95a082fd3798d3d7c87a97bece3b2f4e933c9)
De même, à l’intégrale
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\eta _{1i}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c54778b3f522b049799f3e22392403d157d395)
correspond l’invariant
![{\displaystyle \int \left(dy_{11}+dy_{12}+\ldots +dy_{1n}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1719bdd1be746d1e194d868020a0275b9320fd5)
à l’intégrale
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(x_{1i}\eta _{2i}-y_{1i}\xi _{2i}-x_{2i}\eta _{1i}+y_{2i}\xi _{1i}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992fcf3b1f6ae130300cb997ffabeeea7f49f00c)
correspond l’invariant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\left(x_{1i}\,dy_{2i}-y_{1i}\,dx_{2i}-x_{2i}\,dy_{1i}+y_{2i}\,dx_{1i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8709e5de436601ce2582303380a33f030b708a0)
Mais tous ces invariants ne présentent pas grand intérêt puisqu’on
peut les déduire immédiatement des intégrales des forces vives,
du centre de gravité et des aires.