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CHAPITRE IV.
En regardant
comme infiniment petit, on obtiendra une solution
des équations (2′) qui correspondent à (1′) comme les équations
(2) correspondent à (1)
![{\displaystyle \xi _{ki}=h\varphi '_{ki}(t)=h{\frac {y_{ki}}{m_{i}}},\quad \eta _{ki}=hm_{i}\varphi ''_{ki}(t)=h{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d4c131fad80619adfdb157d62d9a9b249adac9)
désignant un facteur constant très petit que l’on peut supprimer
quand on ne considère que les équations linéaires (2′).
Connaissant une solution
![{\displaystyle \xi ={\frac {y}{m}},\quad \eta ={\frac {d\mathrm {V} }{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982466a6c413de6ae03c75d0d275c3137ec9ce51)
de ces équations, on peut déduire une intégrale
![{\displaystyle \sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773e47a7ef11bed9d8b41ea6ecb63c6492ccb509)
Mais cette même intégrale s’obtient très aisément en différentiant
l’équation des forces vives (3).
Si les points matériels sont soustraits à toute action extérieure,
on peut déduire de la solution (4) une autre solution
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}x_{1i}&=\varphi _{1i}(t)+h+kt,\quad &y_{1i}&=m_{i}\varphi '_{1i}(t)+m_{i}k,\\x_{2i}&=\varphi _{2i}(t),&y_{2i}&=m_{i}\varphi '_{2i}(t),\\x_{3i}&=\varphi _{3i}(t),&y_{3i}&=m_{i}\varphi '_{3i}(t),\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2087c4912fd441e79de7ae3c1703fad7dfa211a3)
et
étant des constantes quelconques. En regardant ces constantes
comme infiniment petites, on obtient deux solutions des
équations (2′)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\xi _{1i}&=1,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{1i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,&\\\xi _{1i}&=t,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,\quad &\eta _{1i}&=m_{i}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbcbb83edc373b081d1da4e6c46abb5de8293a2)
On obtient ainsi deux intégrales de (2′)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\sum _{i}\eta _{1i}=\mathrm {const.} ,\\\sum \eta _{1i}t-\sum m_{i}\xi _{1i}=\mathrm {const.} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae785492d7d1c95eec684b53ea142fd4f3c079c)
On peut obtenir ces intégrales en différentiant les équations du