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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Si
sont deux intégrales des équations (1),
on aura
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\Phi }{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}-{\frac {d\Phi }{dy_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27273ecc50b1b13a741ce9181fcd26582b6b16af)
C’est le théorème de Poisson.
Considérons le cas particulier où les
désignent les coordonnées
rectangulaires de
points dans l’espace ; nous les désignerons par
la notation à double indice
![{\displaystyle x_{1i},\quad x_{2i},\quad x_{3i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca59eb74674af50aca89b8b35c0f1578f67a5ef8)
le premier indice se rapportant aux trois axes rectangulaires de
coordonnées et le second indice aux
points matériels. Soit
la masse du
ième point matériel. On aura alors
![{\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}x_{ki}}{dt^{2}}}={\frac {dV}{dx_{ki}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f117eb26c85809efc0df42819187fb932a0353)
étant la fonction des forces.
On aura alors pour l’équation des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {F} =\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{ki}}{dt}}\right)^{2}-\mathrm {V} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac3a41cd0565f2f416e74967e410a4fcaa84f6b)
Posons ensuite
![{\displaystyle y_{ki}=m_{i}{\frac {dx_{ki}}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3886897036be23fbdd906533a83f6a159195f3f)
d’où
(3)
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et
(1′)
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Soit
(4)
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une solution de ces équations (1′), une autre solution sera
![{\displaystyle x_{ki}=\varphi _{ki}(t+h),\quad y_{ki}=m_{i}\varphi '{ki}(t+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc30812e5e1e5d863efbaa32053779005a1e84a2)
étant une constante quelconque.