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INVARIANTS INTÉGRAUX.
La première de ces relations nous apprend que
est une intégrale des équations (1).
253 ter.Soit
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b47822c287a5c7e20cde9aeca611d1485982a08)
une intégrale des équations (2) ; la fonction
doit être une forme,
c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux
dont les coefficients dépendent d’ailleurs des
d’une façon quelconque.
Soit
le degré de ce polynôme. L’expression
![{\displaystyle \int {\sqrt[{m}]{\Phi '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afee577be947e624fe19f73d4865b83d2c4ef7b)
(où
n’est autre chose que
où les
ont été remplacés par les
différentielles
), cette expression, dis-je, sera un invariant
intégral des équations (1).
Cela posé, soit
un invariant quelconque de la forme
Faisons le changement de variables du no 237, les équations (1)
deviendront
(1 bis)
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et, si l’on désigne par
et
les variations de
et
les équations
aux variations de (I bis) se réduiront à
![{\displaystyle {\frac {d\eta _{i}}{dt}}={\frac {d\zeta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7a1a4d15eff27e53d8fe10536b64f38d809140)
Avec ces nouvelles variables,
deviendra une forme
entière,
homogène et de degré
par rapport aux
et à
les coefficients
peuvent être des fonctions quelconques des
mais d’après le
théorème du no 237, puisque nous avons affaire à un invariant
intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Les
sont des fonctions des
et de
et l’on en déduit entre
les variations les relations suivantes
(4)
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Les
sont donc des fonctions linéaires des
et de
et le détermi-