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CHAPITRE XXII.
Soit alors
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d966fefa1e01f7feacf88c4bc41f0c6cb3947fca)
un invariant d’ordre
des équations (1) ; par le changement de
variables du no 237, il deviendra
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3312606ba12ed2f44a58704916d4ae38a592d75)
étant le jacobien des
par rapport aux
et à
devra être
une fonction des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Alors
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37437db9dc5485ae897a36fa6ee72c491a22440b)
sera un invariant des équations (2 ter) ;
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {MJ} }{\mathrm {Z} }}\,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a40ea330b66093e15010b5391dbddeb0b1b41bb)
sera un invariant des équations (2 bis), et enfin
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Z} }}\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d8bc573add8fde0f9a68edc0d7a89a923a512d)
sera un invariant des équations (2).
Remarques diverses.
253 bis. Considérons un système d’équations différentielles
(1)
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et leurs équations aux variations
(2)
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Supposons que les équations (1) admettent un invariant intégral
du premier ordre
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099a2f1e6aeb5e8de6418e7bbce73d4fbfd0034f)
l’expression
sera une intégrale des équations (2).