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INVARIANTS INTÉGRAUX.
réduisent à des lignes ; il peut arriver que l’intégrale
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a20d43eacf69c24523772fe508a0daef0199fd)
ait même valeur pour
et
et soit invariant intégral ; mais il
peut arriver aussi que l’intégrale
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8c5e8e3c529ce8b1ded8d5ac3bea5432b90f11)
où les
et les
sont comme les
des fonctions de
il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour
et
et il serait facile d’imaginer d’autres exemples analogues.
Le nombre
s’appellera l’ordre de l’invariant intégral.
Relations entre les invariants et les intégrales.
237.Reprenons le système
(1)
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Si l’on savait l’intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.
Si en effet l’intégration était effectuée, on pourrait en mettre le
résultat sous la forme
(2)
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étant des constantes arbitraires, les
et
étant
des fonctions données des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles,
au lieu des
les
et
Considérons alors un invariant intégral quelconque ; cet invariant
devra contenir sous le signe
qui sera répété
fois si
l’invariant est d’ordre
il devra contenir, dis-je, une certaine