rapprochera beaucoup de Pour très grand, le ième antécédent de sera très voisin d’un des points du système et son ième conséquent très voisin d’un des points du système
La solution est donc doublement asymptotique.
Toutes ces conséquences n’ont rien d’absurde.
Mais deux cas sont à distinguer. Ou bien les deux solutions et coïncident, de sorte que d’abord très rapprochée de s’en éloigne beaucoup et se rapproche ensuite de nouveau beaucoup de cette même trajectoire Je pourrai dire alors que la solution est homocline. Ou bien diffère de et de je dirai alors que est hétérocline.
L’existence des solutions homoclines sera bientôt démontrée ; celle des solutions hétéroclines reste douteuse au moins dans le cas du problème des trois corps.
Solutions homoclines.
395.À la fin du no 312, nous avons vu que « les arcs et se coupent. » Or, l’arc appartient à la courbe qui est une courbe asymptotique de la première famille et l’arc fait partie de la courbe qui est de la deuxième famille.
Le raisonnement est général et nous devons conclure que les deux surfaces asymptotiques qui passent par une même trajectoire fermée doivent toujours se couper en dehors de cette trajectoire. Les courbes asymptotiques de la première famille qui aboutissent aux points d’un système périodique coupent toujours les courbes de la deuxième famille qui aboutissent à ces mêmes points.
En d’autres termes, sur chaque surface asymptotique, il y a au moins une solution doublement asymptotique homocline ; nous verrons bientôt qu’il y en a une infinité ; mais nous allons voir tout de suite qu’il y en a au moins deux.
Revenons pour cela à la figure de la page 194. D’après le raisonnement des nos 308 et 312, l’invariant intégral étendu au quadrilatère doit être nul ; c’est pour cette raison que ce quadrilatère curviligne ne saurait être convexe et que les côtés
