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CHAPITRE XXVII.
premiers termes de la série
de telle façon que
![{\displaystyle \Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f7195c3403b46fd74567cdb242b3179895616c)
l’équation
(4 bis)
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sera vraie aux quantités près de l’ordre ![{\displaystyle \mu ^{\frac {p+1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267668acce9e0122c67b61ee45441b0b574d5d71)
Mais l’équation (4 bis) représente une surface fermée et
est
aussi grand que l’on veut.
Nous devons donc conclure que la distance
est un infiniment
petit d’ordre infini (cf. nos 225 et suivants). D’autre part,
la distance
(ou
) est de l’ordre de
et est par
conséquent infiniment petit d’ordre
La distance
est donc infiniment petite par rapport
à
ce qui montre que la quatrième hypothèse doit être
rejetée.
La seule hypothèse possible est donc la troisième.
Donc les deux arcs
et
se coupent.
Application au problème restreint.
313.Je vais appliquer les principes précédents au problème
du no 9 et j’adopterai les notations de ce numéro ; nous aurons
par conséquent les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05df470312adb0a9d9646d2a3a393a6045caf01)
où l’on a posé
(5)
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et, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {R} +\mathrm {G} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots ,\\\mathrm {F} _{0}&={\frac {1}{{2}x_{1}'^{2}}}+x_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f47e6b7c952e3ba6a466ccac3024eb91058fc6)
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1168560f1e2a9f852080c3250f765ed39f5f401)