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CHAPITRE XXI.
Divergence des séries.
225.Nous avons vu au no 212 que les séries auxquelles conduit
la méthode de M. Bohlin sont généralement divergentes et
j’ai cherché à expliquer le mécanisme de cette divergence. Je crois
devoir revenir sur ce sujet et étudier avec quelques détails un
exemple simple qui fera mieux comprendre ce mécanisme. Soit
![{\displaystyle -\mathrm {F} =p+q^{2}-2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}-\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8cc3785abd41734dd03a2c62dea0d2bced475a)
où
sont deux paires de variables conjuguées,
une fonction périodique de
de période
et où
et
sont deux
constantes que je supposerai très petites.
Formons les équations canoniques
(1)
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d’où
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2\mu \sin y+2\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfea1ec7f39044ce4b4eeea786df469d851bf63a)
L’intégration de ces équations est presque immédiate quand
Écrivons l’équation aux dérivées partielles de Jacobi et
soit
(2)
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étant une constante. Développons
et
suivant les puissances
de
et soit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\mathrm {S} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\mathrm {C} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {C} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee215863fadee0e29d5d7ed1b1bf9f6b139e6b6)
Pour
l’équation (2) devient
(3)
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L’intégration, ai-je dit plus haut, est presque immédiate, et