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CHAPITRE XIX.
Divergence des séries.
212.Les séries que nous avons obtenues dans ce Chapitre
sont divergentes au même titre que celles de MM. Newcomb et
Lindstedt.
Considérons en effet une des séries
définies au no 204. Cette
série dépendra d’un certain nombre de constantes arbitraires.
Nous avons en premier lieu
![{\displaystyle x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f298a55c7c732548da0cc192f72ea3edd5d773)
Ces constantes sont liées entre elles par la relation
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b42ad7b47441e34144f0e600b3bf365ff2537ad)
Supposons, comme dans les nos 205 et suivants,
![{\displaystyle m_{1}=1,\quad m_{2}=m_{3}=\ldots =m_{n}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94ed3ae2de3b16ee56f14225f2a895352fa2c98)
nous avons vu que cela était toujours permis ; notre relation deviendra
![{\displaystyle -n_{1}^{0}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba23d0c6a12122c16ca62a1bd992ec8ce81a9998)
Cette équation pourra être résolue par rapport à
ce qui donnera
(1)
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de plus ces
constantes sont liées à
par la relation
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,x_{3}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0})=\mathrm {C} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18deeb8be159ec226e40f276ebb2b4039af5c6ef)
Nous avons ensuite, outre
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2},\quad \mathrm {C} _{4},\quad \mathrm {C} _{6},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200faffd52970bf7ab0b250125acbca19a5e3134)
Nous avons enfin
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{1}^{p},\quad \alpha _{2}^{p},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n}^{p},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21de3ba9e380e62dbe25bfb50d46cc1374624245)
Mais nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que
ces quantités sont liées entre elles par les relations (9) et (10) du