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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
planète troublée au corps central peut s’annuler, mais il n’en est
pas de même de la distance
des deux planètes.
Cette hypothèse correspond à la suivante que nous avons faite
aux pages 198 et 199 ; à savoir que la courbe
présente
l’aspect de la fig. 9 et que le point
reste sur l’arc utile
Nous allons adopter les notations du no 313 ; nous introduirons
donc les variables képlériennes
Mais il y a deux manières
de définir ces variables képlériennes. Nous pourrions,
comme au no 9, rapporter le corps troublé au centre de gravité
du corps troublant et du corps central, et envisager l’ellipse osculatrice
décrite autour de ce centre de gravité. Mais il est préférable
de rapporter le corps troublé au corps central lui-même et
d’envisager l’ellipse osculatrice décrite autour de ce corps central.
Ces deux procédés sont également légitimes ; nous avons vu en
effet au no 11 que l’on peut rapporter le corps
au corps
et le
corps
au centre de gravité de
et de
Il est clair qu’on
pourrait également rapporter
à
et
au centre de gravité de
et
Si
représente le corps central,
le corps troublant et
le
corps troublé, on voit que la première solution est celle qui a été
adoptée au no 9 et que dans la seconde solution, que nous adopterons
désormais, les deux corps
et
sont rapportés tous deux
au corps central, puisque, la masse de
étant nulle, le centre de
gravité de
et de
est en
Il vient alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {R} +\mathrm {G} ={\frac {\sqrt {1-\mu }}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} +{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2ac331c8be7323739073fd4cfae1eaac2a5d7a)
où
et
désignent les masses du corps troublant et du corps
central,
la distance des deux planètes,
la distance constante
du corps troublant au corps central,
celle du corps troublé au
corps central.
Nous poserons, comme au no 313,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1168560f1e2a9f852080c3250f765ed39f5f401)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},&\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} ={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaebba48d58182f9db05d7db05f8166891c2992b)
![{\displaystyle \mu \,\mathrm {F} _{1}={\frac {{\sqrt {1-\mu }}-1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}\left(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8db42ad82e52bd1ef9043063f7432e8fe7d7506)