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CHAPITRE XXXII.
CHAPITRE XXXII.
SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE DEUXIÈME ESPÈCE.
385.Reprenons les équations du no 13,
(1)
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avec
degrés de liberté. D’après ce que nous avons vu au no 42,
ces équations admettront des solutions périodiques telles que,
quand
augmente de la période
les variables
augmentent respectivement de
![{\displaystyle 2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad 2k_{p}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a98671515913ad81a59d24b101e471219fee6e)
Les entiers
peuvent être quelconques.
Mais cela n’est vrai que si le hessien de
par rapport aux
n’est pas nul. La démonstration du no 42 est en défaut, quand-ce
hessien est nul, et en particulier quand
ne dépend pas de
toutes les variables
Or, c’est précisément ce qui arrive dans le problème des trois
corps. Je rappelle que
représentent alors
respectivement les longitudes moyennes des planètes, celles des
périhélies et celles des nœuds, et que
dépend seulement des
deux premières variables
et
qui sont proportionnelles aux
racines carrées des grands axes.
Considérons alors une solution périodique ; d’après les conventions
faites, une solution sera regardée comme périodique pourvu
que les différences des
augmentent de multiples de
quand
augmente d’une période, et en effet
ne dépend que de ces différences.
Soient donc
![{\displaystyle 2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,\quad 2k_{3}\pi ,\quad 2k_{4}\pi ,\quad 2k_{5}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123b8b462514b3db215691abecf48c6f637cc996)