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CHAPITRE I.

Je puis observer de plus que le développement de

${\frac {e\cos h}{\xi }},\quad {\frac {e\sin h}{\eta }},\quad {\frac {i\cos \zeta }{p}},\quad {\frac {i'\sin \zeta }{q}},\quad \ldots$

ne contient que des puissances paires des variables (5) ; j’en conclurai que le développement de $\mathrm {F}$ sera de la forme suivante

(6)

$\sum \mathrm {N} \xi ^{\mu _{3}}\eta ^{\nu _{3}}\xi '^{\mu _{4}}\eta '^{\nu _{4}}p^{\mu _{5}}q^{\nu _{5}}p'^{\mu _{6}}q'^{\nu _{6}}{\begin{array}{c}{\cos }\\{\sin }\end{array}}\left(m_{1}\lambda +m_{2}\lambda '\right)\,,$

$\mathrm {N}$ étant un coefficient qui dépend seulement de $\Lambda$ et $\Lambda '.$

Les nombres $\mu _{i},\,\nu _{i}$ sont des entiers positifs ou nuls, dont la somme

$\mu _{3}+\nu _{3}+\mu _{4}+\nu _{4}+\mu _{5}+\nu _{5}+\mu _{6}+\nu _{6}$

est égale à $|m_{1}+m_{2}|+\;$ un nombre pair positif ou nul.

J’ai laissé subsister dans l’expression (6) le double signe $\cos$ ou $\sin \,;$ on doit prendre le cosinus quand la somme

$\nu _{3}+\nu _{4}+\nu _{5}+\nu _{6}$

est paire, et le sinus dans le cas contraire.

Il résulte de là que la fonction $\mathrm {F}$ ne change pas quand on change à la fois le signe des $\lambda ,$ des $\eta$ et des $q\,;$ et qu’elle ne change pas non plus quand on change $\lambda$ et $\lambda '$ en $\lambda +\pi$ et $\lambda '+\pi ,$ et qu’en même temps l’on change les signes des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p$ et des $q.$

La fonction $\mathrm {F}$ jouit d’une autre propriété sur laquelle il est nécessaire d’attirer l’attention ; elle ne change pas quand on change à la fois le signe de $p,$ $q,$ $p'$ et $q'.$

Problème général de la Dynamique.

13.Nous sommes donc conduit à nous proposer le problème suivant :

Étudier les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

en supposant que la fonction $\mathrm {F}$ peut se développer suivant les puissances d’un paramètre très petit $\mu$ de la manière suivante :

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$