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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Au contraire, pour les satellites nouveaux dont il s’agit et que l’on rencontre après la Lune de lunaison maximum, $\xi '_{0}$ est positif et $\xi$ s’annule pour

$t=0,\quad t=\pm \eta _{0}^{0}{\sqrt {\frac {3\xi '_{0}}{\mu \,n}}}\cdot$

Il y a donc trois valeurs de $t$ très petites pour lesquelles $\xi$ s’annule, c’est-à-dire trois quadratures à des époques très rapprochées.

La trajectoire relative pour $\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0}$ présente donc la forme représentée par la figure ci-contre.

Fig. 1.

Dans le cours d’une période, la masse $\mathrm {B}$ se trouve six fois en quadrature, car sa trajectoire relative coupe l’axe des $\eta$ en deux points doubles et en deux points simples.

Ainsi M. Hill se trompe en supposant que cette sorte de satellites ne seraient jamais en quadrature ; il y aurait, au contraire, trois quadratures entre deux syzygies consécutives.

Ce n’est pas qu’il n’existe des solutions périodiques pour lesquelles la masse $\mathrm {B}$ ne peut jamais être en quadrature : nous les étudierons plus loin, au n^o 52 ; mais ces solutions ne sont pas la continuation analytique de celles dont M. Hill a fait si magistralement l’étude dans l’American Journal.

Les mêmes résultats sont encore vrais quand on ne néglige pas la parallaxe du Soleil, sauf que la symétrie par rapport à l’axe des $\eta$ disparaît.

Application au problème général de la Dynamique.

42. Nous allons maintenant, avant d’aborder l’étude des solutions périodiques de la deuxième et de la troisième sorte, étudier