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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

diques qui existent pour les petites valeurs de $\mu$ et pour lesquelles $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots$ et $x_{n}$ ne prennent jamais que de très petites valeurs.

Pour que $\Delta$ s’annule, il faut et il suffit que l’un de ses facteurs s’annule, c’est-à-dire que l’on ait

$e^{\mathrm {S} _{i}\mathrm {T} }=1,$

$\mathrm {S} _{i}$ étant une des racines de l’équation en $\mathrm {S} .$ Pour que cela soit possible, il faut que $\mathrm {S} _{i}$ soit imaginaire ; l’équation en $\mathrm {S}$ admettra alors la racine imaginaire conjuguée $\mathrm {S} _{j}$ et on aura encore

$e^{\mathrm {S} _{j}\mathrm {T} }=1,$

ce qui montre que deux des facteurs de $\Delta$ s’annuleront à la fois.

Lunes sans quadrature.

52.Comme application, reprenons les équations de M. Hill

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}+\left({\frac {\mu }{r^{3}}}-3n^{2}\right)\xi &=0\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {\mu \eta }{r^{3}}}&=0\end{aligned}}\right\}\quad r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}.$

Ces équations sont satisfaites si l’on fait

(2)

$\eta =0,\qquad \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3n^{2}}}}\cdot$

On voit que $\xi$ et $\eta$ sont alors des constantes ; les équations (2) peuvent être regardées comme définissant une solution périodique des équations (1).

Il est aisé d’apercevoir la signification astronomique de cette solution. L’équation $\eta =0$ signifie que la Lune est constamment en conjonction ou en opposition, et la seconde des équations (2) signifie que la distance de la Lune à la Terre est constante. Cette solution périodique n’est donc autre chose que celle qu’a définie Laplace dans sa Mécanique céleste, Livre VI, Chapitre X.

Mais nous nous proposons de déterminer les solutions périodiques qui en diffèrent fort peu, en appliquant les principes du numéro précédent.